ウェッジ和(単体的集合)
概要
ウェッジ和(単体的集合)（wedge sum of simplicial sets）とは、点付き単体的集合の族に対し、各次数で単体の直和をとり基点から定まる単体だけを一点に同一視して得られる点付き単体的集合のことである。面写像・退化写像は成分ごとに定まり、この構成は点付き単体的集合の圏における余積になるので、点付き同型を除いて結合的・可換で一点単体的集合を単位に持つ。有限族で各成分の非退化単体が有限個のとき、非退化単体の個数は $1$ 次以上では各成分の総和、$0$ 次では総和から成分の個数より $1$ 少ない数を引いた個数である。幾何学的実現は左随伴なので余極限を保ち、実現は位相空間のウェッジ和と点付き同相になる。
前提知識: 単体的集合, 点付き単体的集合, 余積, 幾何学的実現
定義
単体的集合とは、単体圏 $\Delta$（対象は $[n]=\{0<1<\dots< n\}$、射は順序を保つ写像）の反対圏から集合の圏への関手 $X\colon\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ のことである。$X_n:=X([n])$ を $n$ 単体の集合、順序を保つ写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ が定める写像を $\alpha^{*}\colon X_n\to X_m$ と書く。$\Delta$ の射のうち、$i$ 番目の値を飛ばす単射 $\delta^i\colon[n-1]\to[n]$ を余面、$i$ 番目の値を重ねる全射 $\sigma^i\colon[n]\to[n-1]$ を余退化といい、それらが定める $(\delta^i)^{*}\colon X_n\to X_{n-1}$ を面写像、$(\sigma^i)^{*}\colon X_{n-1}\to X_n$ を退化写像という。$n$ 単体 $w\in X_n$ が退化単体であるとは、ある退化写像の像に入ること、すなわち $w=(\sigma^i)^{*}(u)$ となる $u\in X_{n-1}$ と $i$ が存在することをいい、そうでないものを非退化単体という。$[0]$ から出る余退化はないので、$0$ 単体はすべて非退化である。単体的写像 $f\colon X\to Y$ とは、写像の族 $f_n\colon X_n\to Y_n$ であって、すべての順序を保つ写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ について $f_m\circ\alpha^{*}=\alpha^{*}\circ f_n$ を満たすもののことである。点付き単体的集合とは、単体的集合 $X$ と $0$ 単体 $x\in X_0$ の対 $(X,x)$ のことをいい、$x$ を基点という。各 $n$ に対し、一意な写像 $[n]\to[0]$ が定める $x$ の像を $x_n\in X_n$ と書く（$x_0=x$）。点付き単体的写像 $f\colon(X,x)\to(Y,y)$ とは、単体的写像 $f$ で $f_0(x)=y$ を満たすもののことである（このとき各 $n$ で $f_n(x_n)=y_n$ である）。
点付き単体的集合の族 $\{(X_i,x_i)\}_{i\in I}$ に対し、各次数 $n$ で
$$\Bigl(\bigvee_{i\in I}X_i\Bigr)_n:=\Bigl(\bigsqcup_{i\in I}(X_i)_n\Bigr)\Big/\bigl\{(x_i)_n\mid i\in I\bigr\}$$
（各成分の $n$ 単体の直和において、基点から定まる $n$ 単体をすべて一点に同一視した商集合）とおき、順序を保つ写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ に対する写像を、各成分の $\alpha^{*}$ が誘導する写像とする。これは well-defined な単体的集合であり（prop-wedge-sum-simplicial-welldefined）、同一視して得られた $0$ 単体を基点とする点付き単体的集合を、族のウェッジ和（wedge sum、一点和）といい $\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)$ と書く。二つの場合は $X\vee Y$ と書く。この構成は $I\neq\emptyset$ に対するものであり、$I=\emptyset$ のときは空族のウェッジ和を一点単体的集合 $\ast$（各次数が一元集合）と約束する。これは点付き単体的集合の圏の始対象であり、thm-wedge-sum-simplicial-coproduct の余積の普遍性を空族について満たす。実際、$\ast$ の各次数の唯一の単体は基点から定まる単体なので、点付き単体的写像 $\ast\to(Z,z)$ は各次数で基点から定まる単体を $z_n$ に写すほかなく、この対応は $\alpha^{*}(z_n)=z_m$ により単体的だから、ちょうど一つ存在する。
直感
単体的集合は次数ごとの集合の族なので、ウェッジ和も次数ごとに作れる。各次数で「基点から来た単体だけを貼り合わせ、他はそのまま並べる」だけである。位相空間のウェッジ和が商位相という点集合的な操作を要したのに対し、こちらは集合の商だけで済み、余積であることも次数ごとの計算に帰着する。位相空間と単体的集合が同等のホモトピー論を持つことの、最も簡単な現れの一つである。
例と反例
$n\ge0$ に対し、$(\Delta^n)_k=\mathrm{Hom}_{\Delta}([k],[n])$、$\alpha^{*}$ を $\alpha$ との合成 $\varphi\mapsto\varphi\circ\alpha$ とおいて定まる単体的集合を $\Delta^n$ と書く（$\Delta^0$ は各次数が一元集合で、上の $\ast$ と同じものである）。$\Delta^1$ について、$\partial\Delta^1$ をその二つの頂点（定値写像）から定まる単体の全体からなる部分単体的集合とする（各次数で $2$ 元）。各次数で $(\partial\Delta^1)_k$ の $2$ 元を一点に同一視した商 $\Delta^1/\partial\Delta^1$ を単体的円周という。
$\Delta^1$ の非退化単体は二つの頂点と恒等写像に対応する $1$ 単体だけである。実際、$k$ 単体 $\varphi\colon[k]\to[1]$ が退化であることは $\varphi$ が余退化を経由することであり、$\varphi$ が単射でなければ隣り合う二つの値が一致するのでその箇所の余退化 $\sigma^i$ を経由し、逆に余退化を経由すれば単射でない。単射な順序写像 $[k]\to[1]$ は $k=0$ の二つと $k=1$ の恒等写像に限る。商 $q\colon\Delta^1\to\Delta^1/\partial\Delta^1$ をとる。$k\ge1$ の次数で同一視される二つの単体は頂点から定まる単体なので（$c\colon[k]\to[0]$ を経由するから）いずれも退化である。したがって prf-wedge-sum-simplicial-nondegenerate と同じ議論——$q_k$ は同一視される単体以外で単射、退化写像と可換、$q_{k-1}$ は全射——により、$q_k$ は非退化 $k$ 単体全体の間の全単射を与える。$0$ 次では二つの頂点が一つになる。よって単体的円周は $0$ 単体が一つ、非退化な $1$ 単体が一つ、$2$ 次以上に非退化単体を持たない点付き単体的集合である。その幾何学的実現は、実現が余極限を保つことから $|\Delta^1|=[0,1]$ を $|\partial\Delta^1|$ の像で潰した空間である。$\partial\Delta^1$ は二つの頂点からなり、その実現は $[0,1]$ の両端点の二点なので、得られるのは $[0,1]$ の両端点を同一視した空間であり、これは円周と同相である（最後の同相は GJ99 I.1 を引用し、本記事では証明しない）。
これを $m$ 個ウェッジ和した $\bigvee_{j=1}^{m}\Delta^1/\partial\Delta^1$ は、prop-wedge-sum-simplicial-nondegenerate により $0$ 単体が一つ（$1+\dots+1-(m-1)=1$）、非退化な $1$ 単体が $m$ 個であり、その幾何学的実現は $m$ 個の円周のウェッジ和である（prop-wedge-sum-simplicial-realization）。
一点単体的集合 $\ast$（各次数が一元集合）を基点付きとみなすと、$(X,x)\vee\ast$ は $(X,x)$ と点付き同型である。実際、各次数で $\ast$ 側の唯一の単体は基点の単体と同一視されるので、$X_n\to(X\vee\ast)_n$ は全単射であり、面・退化写像と可換である。
次の例は「ウェッジ和の非退化 $n$ 単体の個数は、各成分の非退化 $n$ 単体の個数の総和に等しい」が成り立たないことを示す。$n=0$ の場合を考える。$X$ と $Y$ をともに一点単体的集合 $\ast$（各次数が一元集合。$\Delta^0$ とも書く）とし、基点をその唯一の $0$ 単体とすると、$X\vee Y$ は $\Delta^0$ であり、非退化 $0$ 単体は $1$ 個である。一方、各成分の非退化 $0$ 単体の個数の総和は $2$ である。基点は同一視されるので、正しい主張は「$n\ge1$ では非退化 $n$ 単体の個数は総和に等しく、$n=0$ では総和から $|I|-1$ を引いた個数になる」である（prop-wedge-sum-simplicial-nondegenerate）。
性質
def-wedge-sum-simplicial の対応 $[n]\mapsto(\bigvee_iX_i)_n$ と、順序を保つ写像に対する誘導写像は、単体的集合を定める。すなわち各 $\alpha^{*}$ は well-defined であり、$(\alpha\beta)^{*}=\beta^{*}\alpha^{*}$、$\mathrm{id}^{*}=\mathrm{id}$ を満たす。
$\alpha\colon[m]\to[n]$ とする。直和 $\bigsqcup_i(X_i)_n$ 上では、各成分の $\alpha^{*}$ を合わせた写像 $\tilde\alpha$ が定まる。同一視される単体は基点から定まる単体 $(x_i)_n$ たちであり、$[n]\to[0]$ と $\alpha$ の合成は $[m]\to[0]$ に等しいので $\alpha^{*}((x_i)_n)=(x_i)_m$ である。よって $\tilde\alpha$ は基点の単体をすべて基点の単体に写し、商集合の間の写像 $\alpha^{*}$ を誘導する（商集合の普遍性）。
関手性は各成分の関手性から従う：$\bigl((\alpha\beta)^{*}\bigr)$ と $\beta^{*}\alpha^{*}$ は商写像との合成が一致し、商写像が全射なので等しい。$\mathrm{id}^{*}$ も同様である。$\square$
$\{(X_i,x_i)\}_{i\in I}$ を点付き単体的集合の族、$W=\bigvee_i(X_i,x_i)$、$\iota_i\colon(X_i,x_i)\to W$ を、各次数で成分の包含 $(X_i)_n\hookrightarrow\bigsqcup_j(X_j)_n$ のあとに商写像 $q_n$ を合成して得られる写像とする（$\iota_i$ は誘導写像の定義から単体的写像であり、$\iota_{i,0}(x_i)$ は基点の類なので点付き単体的写像である）。任意の点付き単体的集合 $(Z,z)$ と点付き単体的写像の族 $f_i\colon(X_i,x_i)\to(Z,z)$ に対し、点付き単体的写像 $f\colon W\to(Z,z)$ で、すべての $i$ について $f\circ\iota_i=f_i$ となるものがただ一つ存在する。すなわち $W$ は点付き単体的集合の圏における族 $\{(X_i,x_i)\}$ の余積である。
各次数 $n$ で、集合の直和の普遍性により $g_n\colon\bigsqcup_i(X_i)_n\to Z_n$ が各成分で $(f_i)_n$ となるように一意に定まる。$g_n$ は同一視される単体を同じ値に写す：$(f_i)_n((x_i)_n)=z_n$ が各 $i$ で成り立つからである。よって商集合の普遍性により $f_n\colon W_n\to Z_n$ が一意に定まる。
$f=(f_n)$ が単体的写像であること、すなわち $\alpha\colon[m]\to[n]$ について $f_m\circ\alpha^{*}=\alpha^{*}\circ f_n$ であることを示す。両辺に商写像 $q_n$ を合成すると、成分ごとに $(f_i)_m\circ\alpha^{*}=\alpha^{*}\circ(f_i)_n$（各 $f_i$ が単体的写像）となって一致する。$q_n$ が全射なので両辺は等しい。基点は基点に写る。
一意性：$f'$ も条件を満たすとすると、各次数で $f'_n\circ q_n$ は成分ごとに $(f_i)_n$ に一致するので $f'_n\circ q_n=g_n=f_n\circ q_n$ であり、$q_n$ が全射なので $f'_n=f_n$ である。$\square$
ウェッジ和は、点付き同型を除いて結合的かつ可換であり、一点単体的集合 $\ast$ を単位に持つ。
thm-wedge-sum-simplicial-coproduct により、$(X\vee Y)\vee Z$・$X\vee(Y\vee Z)$・$X\vee Y\vee Z$ はいずれも族 $\{X,Y,Z\}$ の余積の普遍性を満たす（普遍性を二段に適用し、各段の一意性から対応が一対一になる）。同じ族の余積は普遍性から一意に定まる（互いの包含から定まる射の合成が恒等射になることを一意性で確かめる）ので、点付き同型が定まる。可換律は余積が添字集合だけで決まることから、単位は ex-wedge-sum-simplicial-unit から従う。$\square$
$\{(X_i,x_i)\}_{i\in I}$ を点付き単体的集合の有限族とし、各 $X_i$ の非退化 $n$ 単体は有限個とする。$n\ge1$ のとき、$\bigvee_iX_i$ の非退化 $n$ 単体の個数は各 $X_i$ の非退化 $n$ 単体の個数の総和に等しい。$n=0$ のときは、総和から $|I|-1$ を引いた個数に等しい。有限性を仮定しない場合は、$n\ge1$ で非退化 $n$ 単体全体の集合の間に全単射があると述べればよい。
$n\ge1$ とする。商写像 $q_n$ は、基点から定まる単体 $(x_i)_n$ たちを一点に写し、それ以外の単体には単射である。まず $(x_i)_n$ が退化単体であることを見る：$n\ge1$ のとき、一意な写像 $c_n\colon[n]\to[0]$ は $c_{n-1}\circ\sigma^0$ と分解するので、$(x_i)_n=c_n^{*}(x_i)=(\sigma^0)^{*}(c_{n-1}^{*}(x_i))=(\sigma^0)^{*}((x_i)_{n-1})$ となり、退化写像の像に入るからである。
$s$ を成分 $X_i$ の非退化 $n$ 単体とする。$s\neq(x_i)_n$ なので $q_n(s)$ は基点の類ではない。$q_n(s)$ が退化、すなわち $q_n(s)=\sigma^{*}(u)$（$\sigma$ は余退化 $[n]\to[n-1]$、$u\in W_{n-1}$）と仮定する。$q_{n-1}$ は全射なので $u=q_{n-1}(t)$ となる $t\in\bigsqcup_j(X_j)_{n-1}$ をとる。$q=(q_n)$ は prop-wedge-sum-simplicial-welldefined の誘導の定義により単体的写像なので $\sigma^{*}q_{n-1}=q_n\sigma^{*}$ であり、$q_n(s)=\sigma^{*}(q_{n-1}(t))=q_n(\sigma^{*}(t))$ である。$q_n(s)$ が基点の類でないので $\sigma^{*}(t)$ も基点の類ではなく、$q_n$ は基点以外で単射だから $s=\sigma^{*}(t)$ となる。直和の $\sigma^{*}$ は成分を保つので $t\in(X_i)_{n-1}$ であり、$s$ は $X_i$ の中で退化単体になって、$s$ が非退化であることに反する。よって $q_n(s)$ は非退化である。逆に $s$ が退化なら $q_n$ が退化写像と可換なので $q_n(s)$ も退化である。
したがって $q_n$ は、各成分の非退化 $n$ 単体全体の直和から $\bigvee_iX_i$ の非退化 $n$ 単体全体への全単射を与える（単射性は基点以外での単射性、全射性は $q_n$ の全射性と上の同値から）。よって個数は総和に等しい。
$n=0$ のとき、$[0]$ から出る余退化がないので $0$ 単体はすべて非退化であり、同一視されるのは $|I|$ 個の基点だけなので、個数は総和から $|I|-1$ を引いたものである。$\square$
補足：位相空間のウェッジ和との対応
単体的集合 $X$ の幾何学的実現 $|X|$ とは、各 $n$ 単体に標準 $n$ 単体 $\Delta^n_{\mathrm{top}}=\{(t_0,\dots,t_n)\mid t_i\ge0,\ \sum_it_i=1\}$ を一つずつ用意し、面写像・退化写像に沿って貼り合わせて得られる位相空間のことである（構成の詳細は GJ99 I.2 を引用し、本記事では扱わない）。$|{-}|$ は特異単体集合をとる関手 $\operatorname{Sing}$ の左随伴であり、ex-wedge-sum-simplicial-circle で定めた $\Delta^n$ については $|\Delta^n|$ が標準 $n$ 単体 $\Delta^n_{\mathrm{top}}$ になる。とくに一点単体的集合の実現 $|\ast|=|\Delta^0|$ は一点空間、$|\Delta^1|$ は閉区間 $[0,1]$ である。
幾何学的実現 $|{-}|$ は点付きウェッジ和と両立する。すなわち点付き単体的集合の族 $\{(X_i,x_i)\}$ について
$$\Bigl|\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\Bigr|\ \cong\ \bigvee_{i\in I}\bigl(|X_i|,|x_i|\bigr)$$
が点付き同相として成り立つ。右辺は位相空間のウェッジ和、すなわち点付き空間の族の直和において基点全体を一点に潰した商空間である（ウェッジ和）。
まず、def-wedge-sum-simplicial の構成が、単体的集合の圏における図式 $\ast\leftarrow\bigsqcup_i\ast\to\bigsqcup_iX_i$（右の射は各成分の基点、左の射は一意）の押し出しであることを見る。単体的集合の圏は前層の圏なので余極限は各次数で計算され、各次数での押し出しは集合の直和 $\bigsqcup_i(X_i)_n$ において基点から定まる単体をすべて一点に同一視した商集合である。これは定義そのものである。
$|{-}|$ は特異単体集合をとる関手 $\operatorname{Sing}$ の左随伴なので、余極限を保つ（GJ99 I.2 を引用し、本記事では証明しない）。よって実現はこの押し出しを押し出しに写す。$|\ast|$ は一点空間、$|\bigsqcup_iX_i|$ は $\bigsqcup_i|X_i|$（余積の保存）なので、像の押し出しは位相空間のウェッジ和の定義そのものである。基点はいずれも潰した点の像なので、この同相は点付きである。$\square$
基本群 $\pi_1$ や被約ホモロジー $\tilde H_k$ のように幾何学的実現を通じて定義される不変量については、位相空間側の主張を prop-wedge-sum-simplicial-realization によって単体的集合側へ移せる。実現 $|X_i|$ は CW 複体であり基点 $|x_i|$ は $0$ セルである（実現が CW 複体になることは GJ99 I.2 を引用し、本記事では証明しない）。一点からなる $0$ セルは部分複体なので $(|X_i|,\{|x_i|\})$ は CW 対であり、CW 対の包含はコファイブレーションなので（Hat02 第 0 章を引用）、$|x_i|$ は良い基点、すなわち包含 $\{|x_i|\}\hookrightarrow|X_i|$ がコファイブレーションであるような基点である。CW 対では基点が近傍の変位レトラクトにもなるので（同じく Hat02 第 0 章）、次に引用する二つの主張が要求する形の仮定も満たされる。したがって、良い基点を持つ点付き空間の族について成り立つ次の二つの主張が $\bigvee_i(|X_i|,|x_i|)$ に適用でき、prop-wedge-sum-simplicial-realization によりこれは $\bigl|\bigvee_iX_i\bigr|$ と点付き同相である：基本群は自由積に分解する（Hat02 §1.2 例 1.21）、被約ホモロジーは直和に分解する（Hat02 系 2.25）。いずれも引用であり、本記事では証明しない（位相空間側の詳細は ウェッジ和 の補足を参照）。位相空間と単体的集合が同等のホモトピー論を持つこと自体（GJ99 I.11 の Quillen 同値）は、本記事では用いない。
