Sobolev–Slobodeckij空間

要点：$L^p$ の極限をとり、ほとんど至る所で収束する部分列に Fatou の補題を当てる。

二重積分を $|x-y|<1$ の部分と $|x-y|\ge1$ の部分に分ける。前者では $|x-y|^{-d-sp}\le|x-y|^{-d-s'p}$ なので、その部分の積分は $[u]_{W^{s',p}}^p$ 以下である。後者では $|u(x)-u(y)|^p\le2^{p-1}\bigl(|u(x)|^p+|u(y)|^p\bigr)$ と、極座標による
$$ \int_{|h|\ge1}\frac{dh}{|h|^{d+sp}}=\omega_{d-1}\int_1^\infty r^{-1-sp}\,dr=\frac{\omega_{d-1}}{sp} $$
から、その部分の積分は $2^{p-1}\cdot2\cdot\frac{\omega_{d-1}}{sp}\|u\|_{L^p}^p$ 以下である。足し合わせればよい。$\square$

段 1（平行移動の評価）．$h\in\mathbb R^d$ について
$$ \|u(\cdot+h)-u\|_{L^p(\mathbb R^d)}\le|h|\,\|\nabla u\|_{L^p}\qquad(u\in W^{1,p}(\mathbb R^d)) $$
を示す。$u\in C_c^\infty(\mathbb R^d)$ なら $u(x+h)-u(x)=\int_0^1\nabla u(x+th)\cdot h\,dt$ であり、積分の形の Minkowski の不等式と $L^p$ ノルムの平行移動不変性から右辺の評価を得る。一般の $u$ には、$C_c^\infty(\mathbb R^d)$ の関数で $W^{1,p}$ ノルムで近似する（零境界Sobolev空間 の例「全空間」）。両辺は $W^{1,p}$ ノルムについて連続なので、評価は極限でも成り立つ。
段 2（積分）．Tonelli の定理と変数変換 $y=x+h$ により
$$ [u]_{W^{s,p}(\mathbb R^d)}^p=\int_{\mathbb R^d}\frac{\|u(\cdot+h)-u\|_{L^p}^p}{|h|^{d+sp}}\,dh $$
である。$|h|<1$ の部分には段 1 を、$|h|\ge1$ の部分には $\|u(\cdot+h)-u\|_{L^p}\le2\|u\|_{L^p}$ を使うと、極座標で
$$ [u]_{W^{s,p}}^p\le\|\nabla u\|_{L^p}^p\,\omega_{d-1}\int_0^1r^{p-1-sp}\,dr+2^p\|u\|_{L^p}^p\,\omega_{d-1}\int_1^\infty r^{-1-sp}\,dr $$
となり、1 の評価を得る（$p-sp>0$ を使った）。
段 3（領域）．2 の $\Omega$ には、Sobolev空間の延長作用素 の定理「$C^1$ 級の開集合の延長作用素」により、有界線形作用素 $P\colon W^{1,p}(\Omega)\to W^{1,p}(\mathbb R^d)$ で $Pu|_\Omega=u$ となるものがある。二重積分の範囲を $\Omega\times\Omega$ に縮めると値は増えないので、$[u]_{W^{s,p}(\Omega)}\le[Pu]_{W^{s,p}(\mathbb R^d)}$ であり、1 と $P$ の有界性から結論が従う。$\square$

段 1（定数）．$|e^{i\eta_1}-1|\le\min\{|\eta_1|,2\}\le\min\{|\eta|,2\}$ なので、
$$ c_{d,s}\le\int_{|\eta|<1}|\eta|^{2-d-2s}\,d\eta+4\int_{|\eta|\ge1}|\eta|^{-d-2s}\,d\eta=\frac{\omega_{d-1}}{2-2s}+\frac{4\,\omega_{d-1}}{2s}<\infty $$
である。被積分関数は非負で、$\eta_1\notin2\pi\mathbb Z$ となる $\eta$（ほとんどすべての $\eta$）で正なので、$c_{d,s}>0$ である。
段 2（1 つの $h$ ごとの Plancherel）．$h\in\mathbb R^d$ を固定し、$g_h:=u(\cdot+h)-u$ とおく。$\widehat{u(\cdot+h)}(\xi)=e^{ih\cdot\xi}\widehat u(\xi)$ なので $\widehat{g_h}(\xi)=(e^{ih\cdot\xi}-1)\widehat u(\xi)$ であり、
$$ \int_{\mathbb R^d}|u(x+h)-u(x)|^2\,dx=(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb R^d}|e^{ih\cdot\xi}-1|^2\,|\widehat u(\xi)|^2\,d\xi $$
である。
段 3（$h$ で積分）．変数変換 $y=x+h$ と Tonelli の定理（被積分関数はすべて非負）により
$$ [u]_{W^{s,2}}^2=\int_{\mathbb R^d}\frac{\|g_h\|_{L^2}^2}{|h|^{d+2s}}\,dh=(2\pi)^{-d}\int_{\mathbb R^d}|\widehat u(\xi)|^2\,I(\xi)\,d\xi,\qquad I(\xi):=\int_{\mathbb R^d}\frac{|e^{ih\cdot\xi}-1|^2}{|h|^{d+2s}}\,dh $$
である。
段 4（$I(\xi)$ の計算）．$I(0)=0$ である。$\xi\ne0$ なら、直交行列 $R$ を $R\xi=|\xi|e_1$ となるようにとり、$h=R^{\mathsf T}\eta/|\xi|$ と変数変換する。$h\cdot\xi=\eta\cdot R\xi/|\xi|=\eta_1$、$|h|=|\eta|/|\xi|$、$dh=|\xi|^{-d}d\eta$ なので
$$ I(\xi)=\int_{\mathbb R^d}\frac{|e^{i\eta_1}-1|^2}{(|\eta|/|\xi|)^{d+2s}}\,|\xi|^{-d}\,d\eta=c_{d,s}|\xi|^{2s} $$
である。段 3 に代入すれば主張を得る。$\square$

thm-ss-fourier と Plancherel の定理から $\|u\|_{W^{s,2}}^2=(2\pi)^{-d}\int(1+c_{d,s}|\xi|^{2s})|\widehat u|^2\,d\xi$ である。$0< s\le1$ なので $\max\{1,|\xi|^{2s}\}\le\langle\xi\rangle^{2s}\le1+|\xi|^{2s}\le2\max\{1,|\xi|^{2s}\}$ であり、$m(1+|\xi|^{2s})\le1+c_{d,s}|\xi|^{2s}\le M(1+|\xi|^{2s})$ と合わせて評価を得る。
$s=k+\sigma$（$k\ge1$ は整数、$0< \sigma<1$）のときは、$H^k(\mathbb R^d)=W^{k,2}(\mathbb R^d)$（楕円正則性 の定義「Sobolev 空間 $H^s(\mathbb R^n)$」の後の注意 4）と $\widehat{D^\alpha u}=(i\xi)^\alpha\widehat u$ により、$\|u\|_{W^{s,2}}^2$ は $(2\pi)^{-d}\int\bigl(w_k(\xi)+c_{d,\sigma}|\xi|^{2\sigma}\sum_{|\alpha|=k}\xi^{2\alpha}\bigr)|\widehat u|^2\,d\xi$ に等しい。ここで $w_k(\xi):=\sum_{|\alpha|\le k}\xi^{2\alpha}$ は $\langle\xi\rangle^{2k}$ と同値な重みである。正の定数 $a,b$ で $a|\xi|^{2k}\le\sum_{|\alpha|=k}\xi^{2\alpha}\le b|\xi|^{2k}$ となるので（中辺の和は $2k$ 次の同次式で、単位球面上で正の連続関数である）、重みは $\langle\xi\rangle^{2k}+|\xi|^{2s}$ と同値であり、これは $\langle\xi\rangle^{2s}$ と同値である。$\square$

トレース作用素 の定理「$H^1$ のトレースの像」は、同記事の Fourier 変換によるノルム（この記事の $\|\cdot\|_{H^{1/2}}$ と同じもの）で、$\gamma(H^1(\mathbb R^N_+))=H^{1/2}(\mathbb R^{N-1})$、$\|\gamma u\|_{H^{1/2}}\le\|u\|_{H^1}$ と、等長な右逆 $E$（$\|Eg\|_{H^1}=\|g\|_{H^{1/2}}$）を与える。cor-ss-hs を $d=N-1$、$s=1/2$ で当てると、$H^{1/2}(\mathbb R^{N-1})=W^{1/2,2}(\mathbb R^{N-1})$ であり、ノルムの比較から 2 つの評価を得る。$\square$

$|u(x)-u(y)|$ は、$x,y$ の一方だけが $(0,1)$ に入るとき $1$、それ以外は $0$ である（端点は測度 $0$）。対称性から
$$ [u]_{W^{s,p}}^p=2\int_0^1\Bigl(\int_{-\infty}^0\frac{dy}{(x-y)^{1+sp}}+\int_1^\infty\frac{dy}{(y-x)^{1+sp}}\Bigr)dx=\frac{2}{sp}\int_0^1\bigl(x^{-sp}+(1-x)^{-sp}\bigr)\,dx $$
である。右辺は $sp<1$ のとき $\frac{2}{sp}\cdot\frac{2}{1-sp}$ に等しく、$sp\ge1$ のとき発散する。$u\in L^p(\mathbb R)$ は明らかである。$\square$

$u$ は定数でないので $u'(x_0)\ne0$ となる $x_0$ があり、$\delta>0$ と $c>0$ を $|x-x_0|< 2\delta$ で $|u'(x)|\ge c$ となるようにとる。$|x-x_0|< \delta$、$|x-y|< \delta$ なら $x,y$ はこの区間に入るので、平均値の定理から $|u(x)-u(y)|\ge c|x-y|$ である。よって積分は $c^p\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}\int_{|t|< \delta}|t|^{-1}\,dt\,dx=\infty$ 以上である。$\square$