Thomae関数

分母が $q$ の有理数 $p/q$ が $[a,b]$ にあれば $qa\le p\le qb$ である。長さ $q(b-a)$ の閉区間に含まれる整数 $p$ は $q(b-a)+1$ 個以下なので、$q=1,\dots,N$ について足せば個数の評価を得る。$T(x)\ge1/N$ は「$x$ が有理数で、分母が $N$ 以下」と同値である。

$\varepsilon>0$ をとり、$1/N<\varepsilon$ となる整数 $N\ge1$ を選ぶ。lem-thomae-small-denominators により、$[a-1,a+1]$ に含まれ $T(x)\ge1/N$ となる点は有限個である。そこから $a$ 自身を除いた有限集合を $K$ とし、
$$ \delta:=\min\bigl(\{1\}\cup\{|y-a|\mid y\in K\}\bigr) $$
とおく。$K$ の点はどれも $a$ と異なるので $\delta>0$ である。$0<|x-a|<\delta$ なら $x\in[a-1,a+1]$ かつ $x\notin K\cup\{a\}$ なので $T(x)<1/N<\varepsilon$ であり、$T(x)\ge0$ とあわせて $|T(x)-0|<\varepsilon$ となる。よって $\lim_{x\to a}T(x)=0$ である。
$T$ が $a$ で連続であることは $\lim_{x\to a}T(x)=T(a)$ と同値であり、極限は $0$ なので、これは $T(a)=0$、すなわち $a$ が無理数であることと同値である。左右の極限は、両側からの極限 $0$ に一致する。

$N+1$ 個の数 $kx$（$k=0,\dots,N$）の小数部分を $N$ 個の箱に分けて 鳩の巣原理 を使う。

有理点では $T$ は不連続（thm-thomae-limit）なので微分可能でない。無理点 $x$ では、lem-thomae-dirichlet の有理数 $p/q$ が $x$ に $1/(qN)$ 未満まで近く、そこでの値が $1/q$ 以上なので、差分商が $N$ を超える。

下限和．長さが正のどの区間にも無理数がある（Riemann積分 の記事の例「反例：至るところ不連続な関数」の議論）。$T\ge0$ で無理点では $T=0$ なので、どの分割 $P$ のどの小区間でも下限は $0$ であり、$L(P,T)=0$ である。
上限和．$\varepsilon>0$ をとり、$(b-a)/N<\varepsilon/2$ となる整数 $N\ge1$ を選ぶ。lem-thomae-small-denominators により $K:=\{x\in[a,b]\mid T(x)\ge1/N\}$ は有限集合で、その個数を $M$ とする。$[a,b]$ を $k$ 等分する分割 $P$（幅 $h:=(b-a)/k$）を、$2Mh<\varepsilon/2$ となるようにとる。$K$ の点を含む小区間を「悪い小区間」と呼ぶ。1 点は高々 2 つの閉小区間にしか含まれないので、悪い小区間は高々 $2M$ 個であり、そこでの上限は $1$ 以下である。悪くない小区間では、すべての点で $T(x)<1/N$ なので上限は $1/N$ 以下である。したがって
$$ U(P,T)\le2M\cdot h\cdot1+\frac1N\,(b-a)<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon $$
である（$M=0$ でも同じ式が成り立つ）。
結論．$U(P,T)-L(P,T)<\varepsilon$ なので、Riemann積分 の記事の定理「可積分性の判定条件」により $T$ は積分可能で、$0=L(P,T)\le\int_a^bT\le U(P,T)<\varepsilon$ である。$\varepsilon$ は任意なので $\int_a^bT=0$ である。残りの主張は約束から従う。

$J$ の内部に有理数 $r$ をとり、さらに $J$ の点で $u< r< v$ となる無理数 $u,v$ をとる（有理数も無理数も稠密）。$T(u)=0< T(r)$ なので $T$ は $J$ 上で単調減少でなく、$T(r)>0=T(v)$ なので単調増加でもない。

thm-thomae-integral により、すべての $x$ で $F(x)=\int_0^xT=0$ である。よって任意の $x$ と $h\ne0$ で $(F(x+h)-F(x))/h=0$ となり、$F'(x)=0$ である。$T(x)=0$ となるのは $x$ が無理数のときちょうどなので、残りの主張が従う。

導関数は中間値の性質をもつが、$T$ は $0$ と $1/q$ の間の値 $2/(2q+1)$ をとらない。

上半連続性は、$a$ の近くで $T$ が極限 $0$ に近いことから従う。

$|f-g|$ が正になる点の近くで、積分が正の値で下から押さえられる。

上半連続性は prop-thomae-usc（制限しても近傍の条件は保たれる）と、定数関数が連続であることから従う。$|T-0|=T$ なので、thm-thomae-integral により $d(T,0)=\int_a^bT=0$ である。$[a,b]$ は有理点 $r$ を含み、そこで $T(r)>0$ である。

$\varphi\circ g$ の不連続点は $g$ の不連続点に含まれるので、Lebesgue の判定条件を使う。

1．各 $x\mapsto\frac1q-2n^2\rho(x-\frac pq)$ は、$\rho$ の評価 $|\rho(y)-\rho(y')|\le|y-y'|$ により連続で、$\rho$ の周期性により周期 $1$ をもつ。有限個の連続関数の最大値 $\max(u,v)=\frac12(u+v+|u-v|)$ は連続なので、$G_n$ は連続で周期 $1$ をもつ。
2．$G_n$ の各項は $1/q\le1$ または $1/n\le1$ 以下なので $G_n\le1$ である。$p/q\in F_n$ なら $p/q\in F_{n+1}$ で、
$$ \frac1q-2(n+1)^2\rho\Bigl(x-\frac pq\Bigr)\le\frac1q-2n^2\rho\Bigl(x-\frac pq\Bigr)\le G_n(x) $$
である。$F_{n+1}$ に新しく加わる元は分母が $n$ なので、その項は $1/n\le G_n(x)$ 以下である。また $\frac1{n+1}<\frac1n\le G_n(x)$ である。よって $G_{n+1}\le G_n$ である。次に $T\le G_n$ を示す。$x$ が無理数なら $T(x)=0< G_n(x)$ である。$x=p/q$（既約、$q\ge1$）とし、$p=mq+p_0$（$m\in\mathbb Z$、$0\le p_0< q$）と割り算すると $\gcd(p_0,q)=\gcd(p,q)=1$ であり、$\rho(x-\frac{p_0}q)=\rho(m)=0$ である。$q< n$ なら $p_0/q\in F_n$ なので $G_n(x)\ge\frac1q=T(x)$ である。$q\ge n$ なら $T(x)=\frac1q\le\frac1n\le G_n(x)$ である。
3．$x=p/q$、$p_0$ を 2 と同じにとり、$n>q$ とする。$p_0/q\in F_n$ の項は $1/q$ である。$F_n$ のほかの元 $s=p'/q'$ については、頂点の分離の前半から $\rho(x-s)=\rho(\frac{p_0}q-s)\ge\frac1{qq'}$ なので、
$$ \frac1{q'}-2n^2\rho(x-s)\le\frac1{q'}\Bigl(1-\frac{2n^2}{q}\Bigr)<0 $$
である（$n>q$ から $2n^2/q>2n>1$）。また $1/n<1/q$ である。よって $G_n(x)=1/q=T(x)$ である。
4．有理数 $x$ については 3 から従う。$x$ を無理数とし、$\varepsilon>0$ をとる。$1/Q<\varepsilon$ となる整数 $Q\ge1$ を選び、分母が $Q$ 以下の $[0,1)$ の既約分数全体を $E$ とする。$E$ は有限集合で、$x$ は無理数なので各 $r\in E$ について $x-r$ は整数でなく、$\delta:=\min_{r\in E}\rho(x-r)>0$ である。$n$ を、$1/n<\varepsilon$ かつ $2n^2\delta\ge1$ となるようにとる。$G_n(x)$ の項のうち、分母が $Q$ 以下の元（$E\cap F_n$ の元）の項は $1-2n^2\delta\le0$ 以下、分母が $Q$ より大きい元の項は $1/q<1/Q<\varepsilon$ 以下、残りの項は $1/n<\varepsilon$ である。よって $0=T(x)\le G_n(x)<\varepsilon$ であり、2 により $G_n(x)$ は $n$ について減少するので、これ以降のすべての $n$ で同じ不等式が成り立つ。したがって $G_n(x)\to0=T(x)$ である。
5．2 から $0\le G_n-T\le1$ である。$n=1$ では $G_1\equiv1$ で、無理点で $G_1-T=1$ である。$n\ge2$ では $0\in F_n$ の項 $1-2n^2\rho(x)$ がある。$0<\varepsilon<1$ に対し $0< x<\varepsilon/(2n^2)$ となる無理数 $x$ をとると、$G_n(x)\ge1-\varepsilon$、$T(x)=0$ である。よって $\sup|G_n-T|=1$ である。一様収束は $\sup|G_n-T|\to0$ と同値である（一様収束 の記事の命題「差の上限による言い換え」）ので、収束は一様でない。

$p/q\in F_n$ の項が $\frac1n$ より大きいのは $\rho(x-\frac pq)<\alpha_{n,q}$ のときに限る。