部分対象

同義語：subobject

概要

定義

部分対象は、集合の部分集合、群の部分群といった「対象の中に入っている対象」を、圏の射だけで言い表したものである。部分集合 $S\subset X$ は包含写像 $S\hookrightarrow X$ という単射で表せるので、一般の圏では、対象 $X$ へのモノ射を部分対象の表示とみなす。ただし、同じ部分を表すモノ射は同型なものがたくさんあるので、それらを同一視する。
以下、圏 $\mathcal{C}$ の射 $m\colon A\to X$ がモノ射であるとは、任意の射 $a,b\colon T\to A$ について $m\circ a=m\circ b$ ならば $a=b$ となることをいい、$m\colon A\rightarrowtail X$ と書く。

部分対象

$\mathcal{C}$ を圏、$X$ を $\mathcal{C}$ の対象とする。$X$ を終域とするモノ射 $m\colon A\rightarrowtail X$、$n\colon B\rightarrowtail X$ に対し、

$n\circ u=m$ を満たす射 $u\colon A\to B$ が存在するとき、$m\le n$ と書き、$m$ は $n$ を経由して分解するという。
$n\circ u=m$ を満たす同型射 $u\colon A\to B$ が存在するとき、$m$ と $n$ は同値であるといい、$m\equiv n$ と書く。
$\equiv$ は $X$ へのモノ射の間の同値関係であり、その同値類を $X$ の部分対象（subobject）という。モノ射 $m$ の同値類を $[m]$ と書き、$X$ の部分対象の全体を $\operatorname{Sub}(X)$（圏を明示するときは $\operatorname{Sub}_{\mathcal{C}}(X)$）と書く。$\operatorname{Sub}(X)$ には $[m]\le[n]\ :\Longleftrightarrow\ m\le n$ で順序が入る（prop-subobject-order）。

$\equiv$ が同値関係であることは、恒等射が同型射であり、同型射の逆射と合成が同型射であることから従う（$n\circ u=m$ なら $m\circ u^{-1}=n$、$n\circ u=m$ かつ $l\circ v=n$ なら $l\circ(v\circ u)=m$）。部分対象の代表 $m\colon A\rightarrowtail X$ を取って「部分対象 $A\rightarrowtail X$」あるいは単に「部分対象 $A$」ということも多い。恒等射 $\mathrm{id}_X$ の類は $\operatorname{Sub}(X)$ の最大元である（任意の $m$ について $\mathrm{id}_X\circ m=m$）。
モノ射の全体は一般に集合とは限らないので、$\operatorname{Sub}(X)$ が集合になるとは限らない。すべての対象 $X$ について $\operatorname{Sub}(X)$ が集合（と一対一対応する）であるような圏を整冪（well-powered）であるという。集合・群・環・加群・位相空間の圏は整冪である（prop-subobject-concrete と ex-subobject-top により、部分対象は $X$ の部分集合と追加の構造で決まる）。

直感

部分集合 $S\subset X$ を知るには、$S$ という集合そのものよりも「$S$ が $X$ のどこに、どのように入っているか」が大事である。$\{1,2\}$ も $\{a,b\}$ も、単射 $\{1,2\}\to X$、$\{a,b\}\to X$ が同じ像をもてば、$X$ の部分集合としては区別する理由がない。部分対象の定義は、この考えを「$X$ へのモノ射を、$X$ 上の同型で同一視する」と表したものである。元をもたない対象についても部分を語れるので、前層・層・トポスでは部分対象が部分集合の役割を果たし、$\operatorname{Sub}(X)$ の順序構造が論理の真理値の構造（Heyting代数）を担う。ただし、構造をもつ対象では「同じ部分集合の上に異なる部分対象がある」ことが起こりうる（ex-subobject-top）。

例と反例

集合・群・環・加群の部分対象

$\mathbf{Set}$ では、$X$ の部分対象は $X$ の部分集合と一対一に対応し、順序は包含に対応する（prop-subobject-concrete）。同じく、群の圏では部分対象は部分群、環の圏では部分環、環 $R$ 上の加群の圏では部分加群に対応する。いずれも対応は $[m]\mapsto m(A)$（モノ射の像）で与えられ、逆向きは包含写像である。

前層の部分対象

小圏 $\mathcal{A}$ 上の前層の圏では、自然変換がモノ射であることは各成分が単射であることと同値である（モノ射の記事の例）。したがって前層 $P$ の部分対象は、部分前層、すなわち各対象 $U$ で部分集合 $S(U)\subset P(U)$ を与え、任意の射 $g\colon V\to U$ について $P(g)(S(U))\subset S(V)$ となるものに対応する。prf-subobject-concrete と同じ議論を各成分で行えばよい。特に、表現可能前層 $\mathcal{A}(-,U)$ の部分対象は $U$ 上の篩(圏論)にほかならない。

順序集合の部分対象

順序集合 $(P,\le)$ を、$x\le y$ のときに限り射 $x\to y$ がただ一つある圏とみなす。すべての射はモノ射であり、$x\le y$ で $x\to y$、$x'\to y$ が同値なのは $x=x'$ のときだけである（$x\le x'$ かつ $x'\le x$）。したがって $\operatorname{Sub}(y)$ は下集合 $\{x\in P\mid x\le y\}$ と順序同型である。

反例：位相空間の部分対象は部分空間とは限らない

位相空間と連続写像の圏 $\mathbf{Top}$ では、モノ射は単射な連続写像である（モノ射）。2 点以上をもつ集合 $X$ に密着位相を入れた空間を $X_i$、離散位相を入れた空間を $X_d$ とし、$X_i$ への 2 つのモノ射
$$ m:=\mathrm{id}\colon X_i\to X_i,\qquad n\colon X_d\to X_i,\ n(x):=x $$
を考える。どちらも像は $X$ 全体である。$m\circ n=n$ なので $[n]\le[m]$ である。しかし $[m]\le[n]$ ではない。実際 $n\circ u=m$ を満たす連続写像 $u\colon X_i\to X_d$ があれば、$u$ は写像として恒等写像であるが、点 $x\in X$ について $\{x\}$ は $X_d$ で開で、その逆像 $\{x\}$ は $X_i$ で開でないので $u$ は連続でない。よって $[n]\ne[m]$ であり、$X_i$ の同じ部分集合 $X$ の上に異なる 2 つの部分対象がある。
一般に、$\mathbf{Top}$ における $X$ の部分対象は、部分集合 $S\subset X$ と、$S$ 上の位相であって相対位相より細かい（開集合が多い）もの $\tau$ との組 $(S,\tau)$ に一対一に対応する。単射な連続写像 $m\colon A\to X$ に、像 $S=m(A)$ と、全単射 $A\to S$ で $A$ の位相を移した位相を対応させればよい。$m$ の連続性は $\tau$ が相対位相より細かいことに当たる。この例は「部分対象は台となる部分集合で決まる」「部分対象は部分空間と一致する」という含意を破る。部分空間にちょうど対応するのは、正則モノ射（等化子になっているモノ射）で表される部分対象である（Bor94a 第4章）。

性質

順序集合としての Sub

部分対象の順序

$X$ を圏 $\mathcal{C}$ の対象とし、$m\colon A\rightarrowtail X$、$n\colon B\rightarrowtail X$、$l\colon C\rightarrowtail X$ をモノ射とする。

$m\le n$ のとき、$n\circ u=m$ を満たす射 $u$ はただ一つであり、$u$ はモノ射である。
$m\le m$ であり、$m\le n$ かつ $n\le l$ ならば $m\le l$ である。
$m\le n$ かつ $n\le m$ であることと、$m\equiv n$ であることは同値である。
$m\equiv m'$、$n\equiv n'$ のとき、$m\le n$ と $m'\le n'$ は同値である。
したがって $[m]\le[n]\ :\Longleftrightarrow\ m\le n$ は $\operatorname{Sub}(X)$ 上の半順序として矛盾なく定まる。

1：$n\circ u=m=n\circ u'$ ならば、$n$ がモノ射なので $u=u'$ である。また $u\circ a=u\circ b$ ならば $m\circ a=n\circ u\circ a=n\circ u\circ b=m\circ b$ で、$m$ がモノ射なので $a=b$ である。
2：$m=m\circ\mathrm{id}_A$ である。$n\circ u=m$、$l\circ v=n$ ならば $l\circ(v\circ u)=m$ である。
3：$m\equiv n$ なら、同型射 $u$ で $n\circ u=m$ となるものがあり、$m\circ u^{-1}=n$ なので $m\le n$ かつ $n\le m$ である。逆に $n\circ u=m$、$m\circ v=n$ とする。$m\circ(v\circ u)=n\circ u=m=m\circ\mathrm{id}_A$ で $m$ はモノ射なので $v\circ u=\mathrm{id}_A$、同様に $n\circ(u\circ v)=n$ から $u\circ v=\mathrm{id}_B$ である。よって $u$ は同型射で、$m\equiv n$ である。
4：3 により $m'\le m$、$n\le n'$ なので、$m\le n$ なら 2 により $m'\le m\le n\le n'$ である。逆も同様である。
最後の主張：4 により $[m]\le[n]$ は代表の取り方によらず、2 により反射的・推移的であり、3 により $[m]\le[n]$ かつ $[n]\le[m]$ なら $[m]=[n]$ である。$\square$

具体的な圏の部分対象

部分集合・部分群との対応

$\mathbf{Set}$ の対象 $X$ について、対応 $[m]\mapsto m(A)$（$m\colon A\rightarrowtail X$）は、順序集合の同型
$$ \operatorname{Sub}_{\mathbf{Set}}(X)\ \cong\ (\mathcal{P}(X),\subset) $$
を与える。ここで $\mathcal{P}(X)$ は $X$ の冪集合である。$\mathbf{Grp}$ の対象 $G$ について、同じ対応は $\operatorname{Sub}_{\mathbf{Grp}}(G)$ と、$G$ の部分群全体に包含の順序を入れたものとの順序同型を与える。

$\mathbf{Set}$ の場合。モノ射は単射である（モノ射）。
well-defined：$m\equiv m'$、すなわち $m'\circ u=m$（$u$ は全単射）ならば $m(A)=m'(u(A))=m'(A')$ である。
順序を保ち、かつ反映すること：$m\le n$、すなわち $n\circ u=m$ ならば $m(A)=n(u(A))\subset n(B)$ である。逆に $m(A)\subset n(B)$ とする。$n$ は単射なので、各 $a\in A$ に対し $n(b)=m(a)$ となる $b\in B$ がただ一つ存在し、これを $u(a)$ とおけば $u\colon A\to B$ は $n\circ u=m$ を満たす。よって $m\le n$ である。
全単射であること：順序を保ち反映するので、$m(A)=n(B)$ なら $m\le n$ かつ $n\le m$、prop-subobject-order の 3 により $[m]=[n]$ であり、単射である。任意の $S\in\mathcal{P}(X)$ は包含写像 $S\hookrightarrow X$ の像なので、全射である。
$\mathbf{Grp}$ の場合。モノ射は単射な群準同型であり（モノ射）、単射準同型の像は部分群で、部分群の包含は単射準同型である。上の議論で作った写像 $u$ が群準同型であることだけを確かめればよい。$n(u(aa'))=m(aa')=m(a)m(a')=n(u(a))n(u(a'))=n(u(a)u(a'))$ で $n$ が単射なので $u(aa')=u(a)u(a')$ である。well-defined の議論に現れる $u$ は群の同型射である。$\square$

環・加群の場合も、作った $u$ が和・積・単位元・スカラー倍を保つことを同じように確かめれば、部分環・部分加群との順序同型が得られる。ただしex-subobject-top で見たとおり、位相空間では同じ議論の最後の段（$u$ が射であること）が成り立たず、部分対象は部分集合だけでは決まらない。

引き戻しと共通部分

$\mathcal{C}$ が引き戻しをもつとする。モノ射の引き戻しはモノ射である（モノ射の記事の命題「モノ射は引き戻しで保たれる」）。射 $f\colon X\to Y$ とモノ射 $n\colon B\rightarrowtail Y$ に対し、$n$ の $f$ に沿った引き戻しを
$$ \begin{array}{ccc} P&\xrightarrow{\ p\ }&B\\ \big\downarrow f^*n&&\big\downarrow n\\ X&\xrightarrow{\ f\ }&Y \end{array} $$
と書く（$n\circ p=f\circ f^*n$）。

引き戻しによる順序写像

$\mathcal{C}$ が引き戻しをもつとき、$f\colon X\to Y$ に対し
$$ f^*\colon\operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X),\qquad [n]\mapsto[f^*n] $$
は矛盾なく定まり、順序を保つ。また $\mathrm{id}_Y^*$ は恒等写像であり、$g\colon Y\to Z$ に対し $(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ である。

矛盾なく定まること：引き戻しは同型を除いて一意なので、$n$ の引き戻しの取り方を替えても $f^*n$ は同値なモノ射に替わるだけである。また $n'=n\circ u$（$u$ は同型射）とすると、$n'\circ(u^{-1}\circ p)=n\circ p=f\circ f^*n$ であり、上の正方形の $p$ を $u^{-1}\circ p$ に替えた正方形も $n'$ の $f$ に沿った引き戻しになる（$n'\circ c=f\circ d$ なら $n\circ(u\circ c)=f\circ d$ なので、もとの正方形の普遍性がそのまま使える）。よって $f^*n'\equiv f^*n$ である。
順序を保つこと：$n_1\le n_2$、すなわち $n_2\circ v=n_1$ とし、$n_i$ の引き戻しを $P_i$、$p_i$ とする。$n_2\circ(v\circ p_1)=n_1\circ p_1=f\circ f^*n_1$ なので、$P_2$ の普遍性により $f^*n_2\circ w=f^*n_1$ を満たす $w\colon P_1\to P_2$ がある。すなわち $f^*n_1\le f^*n_2$ である。
$\mathrm{id}_Y$ に沿った $n$ の引き戻しとして $n$ 自身がとれるので $\mathrm{id}_Y^*[n]=[n]$ である。$(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$ は、2 つの引き戻しの正方形を横に並べた長方形が引き戻しになること（引き戻しの貼り合わせ。引き戻し）による。$\square$

$\mathbf{Set}$ では、$n$ の像を $T\subset Y$ とすると $f^*n$ の像は逆像 $f^{-1}(T)$ である。実際、$P=\{(x,b)\mid f(x)=n(b)\}$ の $X$ への射影の像は $f^{-1}(n(B))$ である。したがって prop-subobject-concrete の同一視のもとで、$f^*$ は逆像をとる写像 $\mathcal{P}(Y)\to\mathcal{P}(X)$ にほかならない。

部分対象の共通部分

$\mathcal{C}$ が引き戻しをもつとき、$X$ の部分対象 $[m]$、$[n]$（$m\colon A\rightarrowtail X$、$n\colon B\rightarrowtail X$）は $\operatorname{Sub}(X)$ において最大下界 $[m]\wedge[n]$ をもつ。$m$ と $n$ の引き戻し $A\xleftarrow{p}P\xrightarrow{q}B$（$m\circ p=n\circ q$）をとると、$[m]\wedge[n]=[m\circ p]$ である。

$q$ はモノ射 $m$ の $n$ に沿った引き戻しなのでモノ射であり、$k:=m\circ p=n\circ q$ はモノ射の合成 $n\circ q$ としてモノ射である（モノ射の合成はモノ射。モノ射）。$k=m\circ p$、$k=n\circ q$ なので $k\le m$ かつ $k\le n$ である。
$l\colon C\rightarrowtail X$ が $l\le m$、$l\le n$ を満たすとし、$m\circ a=l$、$n\circ b=l$ とする。$m\circ a=n\circ b$ なので、引き戻しの普遍性により $p\circ c=a$、$q\circ c=b$ となる $c\colon C\to P$ があり、$k\circ c=m\circ p\circ c=m\circ a=l$ である。よって $l\le k$ であり、$[k]$ は $[m]$ と $[n]$ の最大下界である。$\square$

$\mathbf{Set}$ ではこれは共通部分 $m(A)\cap n(B)$ である。また prop-subobject-meet と $\operatorname{Sub}(X)$ の最大元 $[\mathrm{id}_X]$ により、引き戻しをもつ圏では $\operatorname{Sub}(X)$ は有限個の元の下限をもつ順序集合（交わり半束）になり、$f^*$ は下限を保つ（引き戻しの貼り合わせによる）。

補足

トポスでの部分対象：トポスでは、各 $\operatorname{Sub}(X)$ はHeyting代数であり、$f^*\colon\operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)$ は左随伴 $\exists_f$ と右随伴 $\forall_f$ をもつ（量化子の随伴）。さらに対象 $\Omega$ と射 $\mathrm{true}\colon1\to\Omega$ があって、部分対象 $[m]\in\operatorname{Sub}(X)$ と射 $X\to\Omega$ が $X$ について自然に一対一対応する。これが部分対象分類子である。$\mathbf{Set}$ ではこの対応は部分集合と特性関数 $X\to\{0,1\}$ の対応である。これらの事実は MM92 I §8–9、IV 章で証明されている。
双対：エピ射 $X\twoheadrightarrow Q$ を $X$ の下での同型で同一視したものを $X$ の商対象という。集合の圏では商集合、すなわち $X$ 上の同値関係に対応する。
正則部分対象：正則モノ射で表される部分対象を正則部分対象という。ex-subobject-top のように、正則部分対象の方が「部分空間」の直観に合う圏がある。部分対象の一般論は Bor94a 第4章、Mac98 V §7 を参照。