Bousfield局所化

2 ⇒ 1：$\operatorname{Map}(Y,Z)$ と $\operatorname{Map}(X,Z)$ は Kan 複体である（単体的モデル圏 の定理「余ファイブラントからファイブラントへの写像空間」）。単体的集合の弱同値は $\pi_0$ の全単射を誘導する（幾何学的実現 の命題「実現と余単位の連結成分」）ので、(M3) により $\gamma(g)^*\colon\operatorname{Ho}(\mathcal M)(Y,Z)\to\operatorname{Ho}(\mathcal M)(X,Z)$ は全単射である。

1 ⇒ 2：$S$ 局所な $Z$ と単体的集合 $K$ をとる。まず $Z^K$ はファイブラントである。実際、自明コファイブレーション $j\colon A\to B$ に対する $Z^K\to1$ の持ち上げの問題は、随伴の同型 $\operatorname{Hom}(A,Z^K)\cong\operatorname{Hom}(K,\operatorname{Map}(A,Z))$（$A$ について自然）により、写像 $K\to\operatorname{Map}(A,Z)$ を $j^*\colon\operatorname{Map}(B,Z)\to\operatorname{Map}(A,Z)$ に沿って持ち上げる問題に移る。(M1) により $j^*$ は自明 Kan ファイブレーションであり、$\emptyset\to K$ は単射なので持ち上げがある（Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan–Quillen モデル構造」）。次に $Z^K$ は $S$ 局所である。$s\colon A\to B$ が $S$ の射のとき、同型 $\operatorname{Map}(B,Z^K)\cong\operatorname{Map}(K,\operatorname{Map}(B,Z))$ のもとで $s^*$ は $\operatorname{Map}(K,s^*)$ に対応し、$s^*\colon\operatorname{Map}(B,Z)\to\operatorname{Map}(A,Z)$ は Kan 複体の間の弱同値なので、$\mathbf{sSet}$ で (M2) を使えば $\operatorname{Map}(K,s^*)$ も弱同値である（$\mathbf{sSet}$ は単体的モデル圏である：Kan–Quillenモデル構造 の系「単体的モデル構造」）。

1 を $Z^K$ に当てると、$\gamma(g)^*\colon\operatorname{Ho}(\mathcal M)(Y,Z^K)\to\operatorname{Ho}(\mathcal M)(X,Z^K)$ は全単射である。(M3) と随伴の同型、さらに $\mathbf{sSet}$ での (M3) により、$g$ について自然な全単射$$\operatorname{Ho}(\mathcal M)(Y,Z^K)\cong\pi_0\operatorname{Map}(Y,Z^K)\cong\pi_0\operatorname{Map}\bigl(K,\operatorname{Map}(Y,Z)\bigr)\cong\operatorname{Ho}(\mathbf{sSet})\bigl(K,\operatorname{Map}(Y,Z)\bigr)$$がある（$X$ についても同じ）。これらのもとで $\gamma(g)^*$ は $\gamma(g^*)$ の後合成に対応する。よって後合成 $\gamma(g^*)\circ-\colon\operatorname{Ho}(\mathbf{sSet})(K,\operatorname{Map}(Y,Z))\to\operatorname{Ho}(\mathbf{sSet})(K,\operatorname{Map}(X,Z))$ はすべての $K$ で全単射であり、米田の補題により $\gamma(g^*)$ は同型である。モデル圏のホモトピー圏 の系「弱同値の飽和」により $g^*$ は弱同値である。

最後の主張：$s\in S$ なら、$S$ 局所対象の定義により 2 が成り立つので、$s$ は $S$ 局所同値である。

$L_S\mathcal M$ の分解公理で $p=q\circ i$ と分解する。ここで $i\colon X\to W$ は $L_S\mathcal M$ の自明コファイブレーション、$q\colon W\to Y$ は $L_S$ ファイブレーションである。$Y$ が $L_S$ ファイブラントなので $W$ も $L_S$ ファイブラントであり、thm-bl-fibrant の 1 により $X$ と $W$ は $S$ 局所である。$i$ は $S$ 局所な対象の間の $S$ 局所同値なので、thm-bl-whitehead により $\mathcal M$ の弱同値であり、したがって $\mathcal M$ の自明コファイブレーションである。

可換な正方形$$\begin{array}{ccc}X&\xrightarrow{\ \mathrm{id}_X\ }&X\\\downarrow{\scriptstyle i}&&\downarrow{\scriptstyle p}\\W&\xrightarrow{\ q\ }&Y\end{array}$$の左辺は $\mathcal M$ の自明コファイブレーション、右辺は $\mathcal M$ のファイブレーションなので、持ち上げ $\rho\colon W\to X$ で $\rho\circ i=\mathrm{id}_X$、$p\circ\rho=q$ をみたすものがある。すると$$\begin{array}{ccccc}X&\xrightarrow{\ i\ }&W&\xrightarrow{\ \rho\ }&X\\\downarrow{\scriptstyle p}&&\downarrow{\scriptstyle q}&&\downarrow{\scriptstyle p}\\Y&\xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }&Y&\xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }&Y\end{array}$$は可換で、横の合成はどちらも恒等射なので、射の圏で $p$ は $q$ のレトラクトである。$L_S\mathcal M$ のファイブレーションはレトラクトで閉じている（モデル圏 の定義「モデル構造とモデル圏」のレトラクト閉性）ので、$p$ は $L_S$ ファイブレーションである。

記号は Quillen随伴 の記事に従い、随伴の全単射を $\Phi\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal N}(FX,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal M}(X,GY)$ と書く。コファイブラント置換・ファイブラント置換は同記事の定理「導来随伴」の後の選び方（コファイブラントな対象とファイブラントな対象では恒等射）にとる。$\gamma$ は $\mathcal M$ と $\mathcal N$ のどちらのホモトピー圏への関手も表す。

1：$G$ はファイブラントな対象をファイブラントな対象に写す（Quillen随伴 の命題「左 Quillen 関手が保つもの」の 2）ので、$GW$ はファイブラントである。$S$ の射 $s\colon A\to B$ について、同型が $A$ について自然であることから、$(Fs)^*\colon\operatorname{Map}_{\mathcal N}(FB,W)\to\operatorname{Map}_{\mathcal N}(FA,W)$ は縦の同型を通して $s^*\colon\operatorname{Map}_{\mathcal M}(B,GW)\to\operatorname{Map}_{\mathcal M}(A,GW)$ と一致する。よって一方が弱同値であることと他方が弱同値であることは同値であり、これをすべての $s\in S$ について並べると 1 を得る。

2：Quillen随伴 の命題「片側の条件を弱めた判定」の 2 を確かめる。prop-bl-classes の 1 により、$L_{FS}\mathcal N$ と $\mathcal N$、$L_S\mathcal M$ と $\mathcal M$ の自明ファイブレーションはそれぞれ一致し、$G$ はもとの Quillen 随伴の右随伴として自明ファイブレーションを保つ。次に $p\colon W\to W'$ を $L_{FS}$ ファイブラントな対象の間の $L_{FS}$ ファイブレーションとする。prop-bl-classes の 2 により $p$ は $\mathcal N$ のファイブレーションなので、$Gp$ は $\mathcal M$ のファイブレーションである。仮定により $W,W'$ は $FS$ 局所なので、1 により $GW,GW'$ は $S$ 局所であり、仮定により $L_S$ ファイブラントである。lem-bl-fibration により $Gp$ は $L_S$ ファイブレーションである。

3：まず、どの $S$ 局所な $Z$ についても、$FS$ 局所な $W$ と $\operatorname{Ho}(\mathcal M)$ の同型 $Z\cong GW$ があることを示す。分解公理で自明ファイブレーション $q\colon QZ\to Z$（$QZ$ はコファイブラント）をとり、$F(QZ)\to1$ を分解して自明コファイブレーション $r\colon F(QZ)\to W$（$W$ はファイブラント）をとる。$QZ$ はコファイブラント、$W$ はファイブラントで、$r$ は弱同値なので、Quillen 同値の定義（Quillen同値 の定義「Quillen 同値」）により $\Phi(r)\colon QZ\to GW$ は弱同値である。$QZ$ はファイブラントであり（$q$ と $Z\to1$ の合成）、prop-bl-basic の 3 を $q$ に当てると $QZ$ は $S$ 局所である。$GW$ もファイブラントなので、同じく 3 を $\Phi(r)$ に当てると $GW$ は $S$ 局所であり、1 により $W$ は $FS$ 局所である。求める同型は $\gamma(\Phi(r))\circ\gamma(q)^{-1}$ である。

次に、$X$ を $L_S\mathcal M$ でコファイブラント（すなわち $\mathcal M$ でコファイブラント）な対象、$Y$ を $L_{FS}$ ファイブラントな対象とし、$f\colon FX\to Y$ をとる。仮定により $Y$ は $FS$ 局所で、とくにファイブラントである。$\mathbf RG$ はファイブラントな $V$ を $GV$ に、ファイブラントな対象の間の射 $h$ の類を $\gamma(Gh)$ に送り、Quillen随伴 の定理「Quillen 同値の判定」の 3 により圏同値なので、ファイブラントな $V,V'$ について $\mathbf RG\colon\operatorname{Ho}(\mathcal N)(V,V')\to\operatorname{Ho}(\mathcal M)(GV,GV')$ は全単射である。また、同記事の命題「導来随伴の自然性」の全単射 $\Psi_{X,V}\colon\operatorname{Ho}(\mathcal N)(FX,V)\to\operatorname{Ho}(\mathcal M)(X,GV)$ は、$X$ がコファイブラントで $V$ がファイブラントなので $\Psi_{X,V}(\gamma h)=\gamma(\Phi h)$ をみたし、$V$ について自然である。$FS$ 局所な $W$ と $\beta\in\operatorname{Ho}(\mathcal N)(Y,W)$ について、自然性から$$\Psi_{X,W}\bigl(\beta\circ\gamma(f)\bigr)=\mathbf RG(\beta)\circ\Psi_{X,Y}\bigl(\gamma(f)\bigr)=\mathbf RG(\beta)\circ\gamma(\Phi f)$$である。すなわち、前合成 $\gamma(f)^*\colon\operatorname{Ho}(\mathcal N)(Y,W)\to\operatorname{Ho}(\mathcal N)(FX,W)$ は、二つの全単射 $\mathbf RG$ と $\Psi_{X,W}$ を通して、前合成 $\gamma(\Phi f)^*\colon\operatorname{Ho}(\mathcal M)(GY,GW)\to\operatorname{Ho}(\mathcal M)(X,GW)$ と一致する。

よって $f$ が $FS$ 局所同値であることは、すべての $FS$ 局所な $W$ について $\gamma(\Phi f)^*\colon\operatorname{Ho}(\mathcal M)(GY,GW)\to\operatorname{Ho}(\mathcal M)(X,GW)$ が全単射であることと同値である。1 によりこの $GW$ はどれも $S$ 局所であり、上で示したように、どの $S$ 局所な $Z$ もある $GW$ と $\operatorname{Ho}(\mathcal M)$ で同型である。$\operatorname{Ho}(\mathcal M)$ の同型 $u\colon Z\to Z'$ による後合成は前合成 $\gamma(\Phi f)^*$ と可換な全単射なので、$\gamma(\Phi f)^*$ が値域 $Z$ について全単射であることと $Z'$ について全単射であることは同値である。したがって上の条件は、すべての $S$ 局所な $Z$ について $\gamma(\Phi f)^*\colon\operatorname{Ho}(\mathcal M)(GY,Z)\to\operatorname{Ho}(\mathcal M)(X,Z)$ が全単射であること、すなわち $\Phi f$ が $S$ 局所同値であることと同値である。$L_{FS}\mathcal N$ と $L_S\mathcal M$ の弱同値はそれぞれ $FS$ 局所同値と $S$ 局所同値なので、2 の Quillen 随伴は Quillen 同値の定義をみたす。