Bonnet–Myersの定理

$\gamma$ が最短であると仮定して矛盾を導く。
エネルギーの最小性。 $p=\gamma(0)$、$q=\gamma(L)$ とし、$c\colon[0,L]\to M$ を $p$ と $q$ を結ぶ滑らかな曲線とする。曲線の変分論 の命題「エネルギーと長さの不等式」と $L(c)\ge d(p,q)=L$ により
$$ E(c)\ge\frac{L(c)^2}{2L}\ge\frac{L^2}{2L}=\frac L2=E(\gamma) $$
である（$\gamma$ は速さ $1$ なので $E(\gamma)=\frac12\int_0^L1\,dt$）。よって $\gamma$ は同じ端点を結ぶ $[0,L]$ 上の滑らかな曲線の中でエネルギーを最小にし、同記事の系「最短な測地線の指数形式は非負」により、両端で消える滑らかな場 $V$ について $I(V,V)\ge0$ である。
場の選び方。 $T_pM$ の正規直交基底 $\dot\gamma(0),e_1,\dots,e_{n-1}$ をとり、$e_i$ を $\gamma$ に沿って平行移動した場を $E_i$ とする。平行移動は内積を保ち、$\dot\gamma$ は平行なので、各 $t$ で $\dot\gamma(t),E_1(t),\dots,E_{n-1}(t)$ は正規直交基底である。$V_i(t):=\sin\frac{\pi t}{L}\,E_i(t)$ とおくと $V_i(0)=V_i(L)=0$、$V_i'=\frac\pi L\cos\frac{\pi t}{L}\,E_i$ である。
和をとる。 $R(\dot\gamma,\dot\gamma)=0$ なので、正規直交基底 $\dot\gamma,E_1,\dots,E_{n-1}$ で跡をとると $\sum_{i=1}^{n-1}g(R(E_i,\dot\gamma)\dot\gamma,E_i)=\mathrm{Ric}(\dot\gamma,\dot\gamma)$ である。よって
$$ \sum_{i=1}^{n-1}I(V_i,V_i)=\int_0^L\Bigl((n-1)\frac{\pi^2}{L^2}\cos^2\frac{\pi t}{L}-\sin^2\frac{\pi t}{L}\,\mathrm{Ric}(\dot\gamma,\dot\gamma)\Bigr)dt \le(n-1)\int_0^L\Bigl(\frac{\pi^2}{L^2}\cos^2\frac{\pi t}{L}-\frac1{a^2}\sin^2\frac{\pi t}{L}\Bigr)dt $$
である。$\int_0^L\cos^2\frac{\pi t}{L}\,dt=\int_0^L\sin^2\frac{\pi t}{L}\,dt=\frac L2$ なので、右辺は
$$ (n-1)\,\frac L2\Bigl(\frac{\pi^2}{L^2}-\frac1{a^2}\Bigr) $$
に等しい。$n\ge2$ かつ $L>\pi a$ なのでこれは負であり、ある $i$ で $I(V_i,V_i)< 0$ となる。これは前段に反する。$\square$

1. $p,q\in M$ とする。$M$ は完備で連結なので、Hopf–Rinowの定理 により、$p$ と $q$ を結ぶ長さ $d(p,q)$ の測地線がある。それを速さ $1$ にパラメータ付けた $\gamma\colon[0,d(p,q)]\to M$ は最短である。lem-bm-long の対偶により $d(p,q)\le\pi a$ である。よって $\operatorname{diam}M\le\pi a$ である。
2. 1 により $M$ 自身が有界な閉集合である。Hopf–Rinow の定理により、完備な Riemann 多様体の有界閉集合はコンパクトなので、$M$ はコンパクトである。
3. $\pi\colon\tilde M\to M$ を普遍被覆とする。$\tilde M$ には $\pi$ が滑らかな被覆写像（とくに局所微分同相）となる滑らかな構造が入る（Lee13 Proposition 4.40）。$\tilde g:=\pi^*g$ とおくと $\pi$ は局所等長写像であり、$\tilde M$ は連結である。
(i) $(\tilde M,\tilde g)$ は完備である。$\tilde\gamma$ を $\tilde M$ の最大の測地線とし、$\tilde\gamma(0)=\tilde x$、$\dot{\tilde\gamma}(0)=\tilde w$ とする。$M$ の測地線 $\gamma$ を $\gamma(0)=\pi(\tilde x)$、$\dot\gamma(0)=d\pi(\tilde w)$ で定めると、$M$ は完備なので $\gamma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義される。被覆写像 の定理「道の持ち上げ」を各区間 $[-T,T]$ に当て、定理「持ち上げの一意性」で貼り合わせると、$\pi\circ\hat\gamma=\gamma$、$\hat\gamma(0)=\tilde x$ となる連続な曲線 $\hat\gamma\colon\mathbb{R}\to\tilde M$ がある。各 $t$ の近くで $\hat\gamma$ は、$\gamma$ を $\pi$ の局所的な逆（等長写像）で写したものなので滑らかな測地線であり、$d\pi(\dot{\hat\gamma}(0))=\dot\gamma(0)=d\pi(\tilde w)$ と $d\pi_{\tilde x}$ の単射性から $\dot{\hat\gamma}(0)=\tilde w$ である。測地線の一意性により $\hat\gamma$ は $\tilde\gamma$ の延長なので、$\tilde\gamma$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義される。
(ii) $\pi$ は局所等長写像なので、$\tilde M$ の Ricci 曲率も $\widetilde{\mathrm{Ric}}\ge\frac{n-1}{a^2}\tilde g$ を満たす。(i) と 2 を $(\tilde M,\tilde g)$ に当てると、$\tilde M$ はコンパクトである。
(iii) $p\in M$ をとる。ファイバー $\pi^{-1}(p)$ は $\tilde M$ の閉集合である。各点 $\tilde p\in\pi^{-1}(p)$ は、$p$ の均等に被覆される近傍の上のシートの一枚に含まれ、そのシートは $\pi^{-1}(p)$ と $\tilde p$ だけで交わるので、$\pi^{-1}(p)$ は離散的である。コンパクト空間の離散的な閉集合は有限集合なので、$\pi^{-1}(p)$ は有限である。$\tilde M$ は単連結なので、被覆写像 の定理「基本群との関係」の 2 により $\pi^{-1}(p)$ の個数は $\pi_1(M,p)$ の位数に等しい。よって $\pi_1(M)$ は有限群である。$\square$

$n=1$ では $\mathrm{Ric}=0$ なので仮定が成り立たない。$n\ge2$ とする。各点 $x$ は、局所的な正規直交枠 $F_1,\dots,F_n$（座標枠に Gram–Schmidt の直交化を施したもの）が定義された開近傍をもち、その中に $x$ のコンパクトな近傍 $K_x$ がとれる。$M$ はコンパクトなので有限個の $K_{x_1},\dots,K_{x_m}$ で覆える。各 $K_{x_l}$ の上で $\varphi_l(y,\xi):=\mathrm{Ric}\bigl(\sum_i\xi_iF_i(y),\sum_i\xi_iF_i(y)\bigr)$ は $K_{x_l}\times S^{n-1}$ 上の正の連続関数なので最小値 $\mu_l>0$ をもつ。$\mu:=\min_l\mu_l$ とすれば、すべての単位ベクトルで $\mathrm{Ric}(u,u)\ge\mu$ である。$a:=\sqrt{(n-1)/\mu}$ とおくと $\mathrm{Ric}\ge\frac{n-1}{a^2}g$ であり、コンパクトな $M$ は完備なので thm-bm-main の 3 による。$\square$