安定ホモトピー圏

HELP は、相対 CW 複体 $(X',A')$ と弱ホモトピー同値 $e\colon Y'\to Z'$、写像 $f\colon X'\to Z'$、$g\colon A'\to Y'$、ホモトピー $h\colon A'\times I\to Z'$（$h_0=f|_{A'}$、$h_1=e\circ g$）に対し、$g$ と $h$ を延ばす $\tilde g\colon X'\to Y'$ と $\tilde h\colon X'\times I\to Z'$（$\tilde h_0=f$、$\tilde h_1=e\circ\tilde g$）があることを述べる（弱ホモトピー同値なら相対胞体の次元に制限はない）。

全射．写像 $f\colon A\to Y$ をとる。写像 $g_n\colon A_n\to X_n$ と基点付きホモトピー $h_n\colon A_n\wedge I_+\to Y_n$（$h_n(-\wedge0)=f_n$、$h_n(-\wedge1)=w_n\circ g_n$）で、$g_{n+1}\circ\sigma_n=\sigma_n\circ\Sigma g_n$ と $h_{n+1}(\sigma_n(x\wedge t)\wedge s)=\sigma_n(h_n(x\wedge s)\wedge t)$ を満たすものを帰納的に作る。$n=0$ は HELP を $(A_0,\{\ast\})$ に当てる。$n+1$ では、部分複体 $\Sigma A_n$ の上で $g_{n+1}$ と $h_{n+1}$ は上の式で決まり、$w$ と $f$ がスペクトルの写像なので、その上で $h_{n+1}(-\wedge0)=f_{n+1}$、$h_{n+1}(-\wedge1)=w_{n+1}\circ g_{n+1}$ が成り立つ。HELP を $(A_{n+1},\Sigma A_n)$ と $w_{n+1}$ に当てて延ばす。基点は部分複体に入り、そこでのホモトピーは基点を動かさないので、延長も基点付きである。得られた $g$ はスペクトルの写像で、$h$ は $f$ から $w\circ g$ へのホモトピーである。

単射．$H$ を $w\circ g$ から $w\circ g'$ へのホモトピーとする。CW スペクトル $A\wedge I_+$（$A_n\times I$ は積位相で CW 複体）の部分複体 $(\Sigma A_n\wedge I_+)\cup(A_{n+1}\wedge\partial I_+)$ について同じ帰納法を行い、ホモトピー $G_n\colon A_n\wedge I_+\to X_n$（両端 $g_n,g'_n$）と、$H_n$ から $w_n\circ G_n$ への、端 $A_n\wedge\partial I_+$ の上では定値のホモトピーを同時に作る。得られた $G$ が $g$ から $g'$ へのホモトピーである。

最後の主張．$w\colon A\to B$ を CW スペクトルの間の水準ごとの弱同値とする。$w_*\colon[B,A]\to[B,B]$ は全射なので $w\circ v\simeq\mathrm{id}_B$ となる $v$ があり、$w\circ(v\circ w)\simeq w$ と $w_*\colon[A,A]\to[A,B]$ の単射性から $v\circ w\simeq\mathrm{id}_A$ である（May99 Chapter 10 §3 の Whitehead の定理の証明と同じ）。$\square$

空間の相対 CW 近似．CW 複体 $K$ と写像 $g\colon K\to X$ に対し、$K$ を部分複体として含む CW 複体 $Z$ と、$K$ の上で $g$ に等しい弱ホモトピー同値 $Z\to X$ がある。実際、$g(K)$ と交わらない $X$ の弧状連結成分ごとに $0$ 胞体を 1 つ $K$ に非交和で加え、その $0$ 胞体をその成分の点に送って $g$ を延ばす。これに CW近似 の補題「胞体を貼って写像を改良する」を $n=0$ で当てると、$\pi_0$ の単射と $\pi_i$（$i\ge1$）の全単射は補題から、$\pi_0$ の全射は加えた $0$ 胞体から得られる（同記事の定理「対の CW 近似」の証明と同じ）。

構成．$A_0$ は $K=\{\ast\}$ と基点への写像から得る。$A_n$ と弱ホモトピー同値 $p_n\colon A_n\to E_n$ ができたら、$K:=\Sigma A_n$（基点を $0$ 胞体とする CW 複体）と $g:=\sigma_n\circ\Sigma p_n$ に上の事実を当てて、$A_{n+1}\supset\Sigma A_n$ と $p_{n+1}$ を得る。構造写像を包含とすると $A$ は CW スペクトルで、$p_{n+1}|_{\Sigma A_n}=\sigma_n\circ\Sigma p_n$ なので $p$ はスペクトルの写像である。$p_{n+1}$ は $K$ の基点を基点に写すので基点付きである。

Ω スペクトルの場合．ループ空間をとる操作は弱ホモトピー同値を保つ。定値ループの成分では ループ空間 の定理「ホモトピー群のずれ」による。ループ $\omega$ を左からつなぐ写像はホモトピー同値で（同記事の系「弧状連結成分はすべてホモトピー同値」）、$\Omega p(\omega\cdot\alpha)=(p\circ\omega)\cdot\Omega p(\alpha)$ なので、ほかの成分でも同じである。$\tilde\sigma^E_n\circ p_n=\Omega p_{n+1}\circ\tilde\sigma^A_n$ で、$p_n$、$\tilde\sigma^E_n$、$\Omega p_{n+1}$ が弱ホモトピー同値なので、弱ホモトピー同値 の定理「2 つのうち 2 つの性質」により $\tilde\sigma^A_n$ も弱ホモトピー同値である。$\square$

$f\colon X\to Y$ を Ω スペクトルの間の安定弱同値とする。スペクトル(ホモトピー論) の命題「Ω スペクトルのホモトピー群」により、$i\ge0$ について標準の写像 $\pi_{i+1}(X_{n+1})\to\pi_{i-n}(X)$ は群の同型なので、$f_{n+1}$ は基点で $\pi_{i+1}$（$i\ge0$）の同型を誘導する。よって $\Omega f_{n+1}$ は定値ループの成分で $\pi_i$（$i\ge0$、$\pi_0$ を含む）の全単射を誘導し、prf-lem-shc-cw の最後の段落と同じくループをつなぐ写像との可換性から、すべての成分でそうである。$\tilde\sigma^Y_n\circ f_n=\Omega f_{n+1}\circ\tilde\sigma^X_n$ で $\tilde\sigma^X_n$、$\tilde\sigma^Y_n$ は弱ホモトピー同値なので、2 つのうち 2 つの性質により $f_n$ も弱ホモトピー同値である。$\square$

写像望遠鏡．各 $Y_k$ が T1 であるとする。$\operatorname{Tel}_{\le m}$ を基点と $t\le m$ の点の集合とする。(a) $\operatorname{Tel}$ のコンパクト集合 $C$ は、ある $m$ について $\operatorname{Tel}_{\le m}$ に含まれる。実際、そうでなければ、$t$ 座標が互いに異なる単位区間 $[k,k+1)$ に入る $C$ の点の列 $x_1,x_2,\dots$ がとれる。その任意の部分集合は、各 $Y_k\wedge[k,k+1]_+$ への逆像が有限個の閉集合（1 点の逆像は $g_k$ による 1 点の逆像と区間の積で閉）の和なので閉であり、$C$ の中の無限な離散閉集合になって、$C$ のコンパクト性に反する。(b) $[y,t]$ を $t=m$ まで押す変形（$t$ が整数を越えるたびに $g_k$ を当てる）により、$t=m$ の点の集合 $Y_m$ への引き込み $r_m\colon\operatorname{Tel}_{\le m}\to Y_m$ はホモトピー同値で、$\operatorname{Tel}_{\le m}$ の上で $r_{m+1}=g_m\circ r_m$ である。(a)(b) と、球面・ホモトピーの定義域 $S^i$、$S^i\times I$ がコンパクトであることから、各点 $x$ と $i\ge0$ について $\pi_i(\operatorname{Tel},x)$ は $\pi_i(Y_m,r_m(x))$ の $(g_m)_*$ による帰納極限と一致する。$S^i\times S^1$ もコンパクトなので、$\pi_i(\Omega\operatorname{Tel},\lambda)$ も $\pi_i(\Omega Y_m,r_m\circ\lambda)$ の帰納極限と一致する。$\operatorname{Tel}$ も T1 である。

定義が意味をもつこと．$\rho_n$ は貼り合わせと両立する。$k\ge2$ なら $[\omega,k+1]=[\Omega^k\tilde\sigma(\omega),k+1]$ の像はどちらも $u\mapsto[\omega(u),k]=[\Omega^{k-1}\tilde\sigma(\omega(u)),k]$ であり、$k=1$ でも $[\omega,2]=[\Omega\tilde\sigma(\omega),2]$ の像はどちらも $u\mapsto[\tilde\sigma_{n+1}(\omega(u)),1]$ である。$\rho_n$ の随伴は各片の上で連続で、$S^1$ はコンパクトなので商写像と $\mathrm{id}_{S^1}$ の積は商写像であり、連続である。$\Omega\eta_{n+1}\circ\tilde\sigma_n$ と $\rho_n\circ\eta_n$ はどちらも $x\mapsto\bigl(u\mapsto[\tilde\sigma_{n+1}(\tilde\sigma_n(x)(u)),1]\bigr)$ なので、$\eta$ はスペクトルの写像である。$E$ の写像 $f$ には各片で $\Omega^kf_{n+k}$ を対応させる。

1．$\rho_n$ を $Y_k$（$k\ge2$、$t=k$ の点）に制限したものは、$(RE)_{n+1}$ の $t=k-1$ の点の集合 $\Omega^{k-1}E_{n+k}$ の包含 $\iota$ のループ $\Omega\iota$ である。上の帰納極限の記述により、すべての基点で $\pi_i(\rho_n)$ は添字を 1 つずらした恒等写像の帰納極限になるので全単射であり、$RE$ は Ω スペクトルである。次に $\eta$ を調べる。$j:=k+n\ge2$ とし、$\alpha\colon\pi_j(\Omega^mZ)\cong\pi_{j+m}(Z)$ をループの変数を球面の変数の後ろに並べる同型とする。$\alpha$ のもとで $(\Omega^m\tilde\sigma)_*$ は $E$ のホモトピー群の列の写像 $s$ に一致する（スペクトル(ホモトピー論) の定義「スペクトルのホモトピー群」）。$\pi_j((RE)_n)$ の元は $Y_m$ の元 $b\in\pi_j(\Omega^mE_{n+m})$ の像である。$Y_l$（$l\ge2$）の片では $\rho$ は $\Omega\iota$、$Y_1$ の片では $\rho$ は $\Omega\eta$ なので、$RE$ の列の写像を $m$ 回たどると $b$ の像は $(\eta_{n+m})_*\alpha(b)$ になる。よって $\pi_k(\eta)$ は全射である。$x\in\pi_j(E_n)$ について $(\eta_n)_*x=0$ なら（水準を上げてこの形にできる）、$Y_1$ の元 $\tilde\sigma_*x$ はある $Y_m$ で $0$ になり、$\alpha$ で移すと $s^mx=0$ なので、$\pi_k(\eta)$ は単射である。

2．$f$ が水準ごとの弱同値なら各 $\Omega^kf_{n+k}$ は弱ホモトピー同値なので（prf-lem-shc-cw）、帰納極限の記述から $(Rf)_n$ も弱ホモトピー同値である。ホモトピー $H\colon E\wedge I_+\to F$ に対し、$[\omega,t]\wedge s\mapsto[u\mapsto\omega(u)\wedge s,\ t]$ はスペクトルの写像 $(RE)\wedge I_+\to R(E\wedge I_+)$ で両端の包含と両立するので、$RH$ と合成すると $Rf_0$ から $Rf_1$ へのホモトピーになる。$\square$

2 を示す。$\pi_*(Ri)\circ\pi_*(\eta_A)=\pi_*(\eta_B)\circ\pi_*(i)$ なので $Ri$ は Ω スペクトルの間の安定弱同値であり、水準ごとの弱同値である。lem-shc-level により $p_B\circ k\simeq Ri\circ p_A$ となる $k\colon PA\to PB$ がある。$k$ は CW スペクトルの間の水準ごとの弱同値なのでホモトピー同値であり、そのホモトピー逆写像を $k'$ とする。$$p_B\,j_B\,i\simeq\eta_B\,i=Ri\,\eta_A\simeq Ri\,p_A\,j_A\simeq p_B\,k\,j_A$$と lem-shc-level（$A$ は CW スペクトル）から $j_B\,i\simeq k\,j_A$ である（$\ast$）。また $h\colon B\to Y$ について、$\eta$ の自然性から $\eta_Y\,h=Rh\,\eta_B\simeq Rh\,p_B\,j_B$ である（$\ast\ast$）。$\eta_Y$ は水準ごとの弱同値なので、$\eta_Y$ との合成は $[A,Y]\to[A,RY]$ と $[B,Y]\to[B,RY]$ の全単射である。

単射：$h\,i\simeq h'\,i$ とする。lem-shc-omega-repl の 2 により $Rh\,Ri\simeq Rh'\,Ri$ なので、$Rh\,p_B\,k\simeq Rh\,Ri\,p_A\simeq Rh'\,Ri\,p_A\simeq Rh'\,p_B\,k$ である。$k$ はホモトピー同値なので $Rh\,p_B\simeq Rh'\,p_B$ となり、（$\ast\ast$）から $\eta_Y\,h\simeq\eta_Y\,h'$、よって $h\simeq h'$ である。

全射：$g\colon A\to Y$ に対し、$\eta_Y\,h\simeq Rg\,p_A\,k'\,j_B$ となる $h\colon B\to Y$ をとる。（$\ast$）から$$\eta_Y\,h\,i\simeq Rg\,p_A\,k'\,j_B\,i\simeq Rg\,p_A\,k'\,k\,j_A\simeq Rg\,p_A\,j_A\simeq Rg\,\eta_A=\eta_Y\,g$$なので $h\,i\simeq g$ である。$\square$

写像であること．$\sigma$ の条件は両辺とも $\sigma_{n+1}\circ\Sigma\sigma_n$ であり、$\tilde\sigma$ の条件（随伴の形）は両辺とも $\Omega\tilde\sigma_{n+1}\circ\tilde\sigma_n$ である。

1．$\pi_k(\mathrm{sh}E)=\pi_{k-1}(E)$ は列の添字をずらしただけである。懸垂準同型 $\mathsf e\colon\pi_m(Z)\to\pi_{m+1}(\Sigma Z)$ を使うと、$\Sigma E$ の列の写像は $\Sigma\sigma_n$ と $\mathsf e$ の自然性から $\mathsf e\circ(\sigma_n)_*$、$E$ の列の写像は $(\sigma_{n+1})_*\circ\mathsf e$ である（スペクトル(ホモトピー論) の注意「$s_n$ と懸垂準同型」）。2 つの列は $(\sigma_n)_*$ と $\mathsf e$ で交互につながるので、帰納極限の間の $\pi_k(\sigma)\colon\pi_k(\Sigma E)\to\pi_k(\mathrm{sh}E)$ は同型である。ループの変数を後ろに並べる同型 $\pi_m(\Omega E_n)\cong\pi_{m+1}(E_n)$ のもとで $\Omega E$ の列の写像は $E$ の列の写像になるので、$\pi_k(\Omega E)\cong\pi_{k+1}(E)$ である。この同型のもとで $\pi_{k+n}(\tilde\sigma_n)$ は $E$ の列の写像 $s_n$ になるので、$\pi_k(\tilde\sigma)$ は添字をずらす同型である。$\bar\Sigma,\bar\Omega$ の存在は thm-shc-construction の 4 による。

2．単位 $x\mapsto(u\mapsto x\wedge u)$ と余単位 $\omega\wedge u\mapsto\omega(u)$ が構造写像と両立することは、代入して確かめられる。三角等式は各水準で成り立つ。$\Omega\sigma\circ(\text{単位})=\tilde\sigma$ で、$\Omega\sigma$ と $\tilde\sigma$ は 1 により安定弱同値なので、単位も安定弱同値である。$\mathrm{sh}(\Omega E)=\Omega(\mathrm{sh}E)$ であり、$\tilde\sigma\circ(\text{余単位})$ は $\Omega E$ についての $\sigma\colon\Sigma\Omega E\to\mathrm{sh}\,\Omega E$ に等しい（どちらも $\omega\wedge u\mapsto\tilde\sigma_n(\omega(u))$）ので、余単位も安定弱同値である。

3．単位と余単位の $\gamma$ による像は、thm-shc-construction の後の説明（射は $\gamma(u)$ と安定弱同値の $\gamma$ の逆の合成）により $\mathcal{SH}$ の上の自然変換で、三角等式を満たし、成分は同型である。よって $\bar\Sigma\dashv\bar\Omega$ は随伴圏同値である。$\square$

1．球面とそのホモトピーの像はコンパクトなので有限個の因子の一点和に入り、有限個の場合に帰着する。$A\vee B$ について、包含と引き込みによる $\pi_k(A)\oplus\pi_k(B)\to\pi_k(A\vee B)\to\pi_k(A\times B)=\pi_k(A)\oplus\pi_k(B)$ の合成は恒等写像なので、$\pi_k(A\times B)$ で $0$ になる $x\in\pi_k(A\vee B)$ が $0$ であることを示せばよい。水準を上げて、$x$ は $a\colon S^m\to A_n\vee B_n$（$m=k+n\ge1$）で表され、引き込みとの合成 $r_A\circ a$、$r_B\circ a$ が零ホモトピックであるとしてよい。$j\ge m+2$ とする。$\Sigma^jA_n$ の胞体は基点と次元 $j$ 以上のものだけなので、有限部分複体 $K\subset\Sigma^jA_n$、$L\subset\Sigma^jB_n$ について、$K\times L$ の胞体で $K\vee L$ にないものの次元は $2j$ 以上であり、対 $(K\times L,K\vee L)$ は $(2j-1)$ 連結である（Hat02 Corollary 4.12、p. 351）。$\Sigma^ja\colon S^{m+j}\to\Sigma^jA_n\vee\Sigma^jB_n$ を積に移したものは成分 $\Sigma^j(r_A\circ a)$、$\Sigma^j(r_B\circ a)$ が零ホモトピックなので零ホモトピックであり、そのホモトピーの像を含む $K\times L$ をとると、対の完全列と $m+j+1\le2j-1$ から $\Sigma^ja$ は $K\vee L$ の中で零ホモトピックである。$x$ の $n+j$ 番目の代表は $\Sigma^ja$ に構造写像を合成したもの（スペクトル(ホモトピー論) の注意「$s_n$ と懸垂準同型」）なので、$x=0$ である。

2．積の各水準は弱ホモトピー同値とループをとる操作と可換なので、$\prod_iX_i$ は Ω スペクトルである。Ω スペクトル $X$ では、$m=k+n\ge1$ のとき標準の写像 $\pi_m(X_n)\to\pi_k(X)$ は同型であり（スペクトル(ホモトピー論) の命題「Ω スペクトルのホモトピー群」）、$\pi_m\bigl(\prod_iX_{i,n}\bigr)=\prod_i\pi_m(X_{i,n})$ なので従う。

3．1 と 2 により、$\pi_k$ の写像は標準の写像 $\bigoplus_i\pi_k(X_i)\to\prod_i\pi_k(X_i)$ であり、0 でない成分が有限個なら同型である。$\square$

零対象・積・余積．任意の $E$ は $\mathcal{SH}$ で CW Ω スペクトル $PE$ と同型である（$\gamma(p_E)^{-1}\gamma(\eta_E)$）。$\ast$ は CW Ω スペクトルなので、thm-shc-construction の 2 により $\mathcal{SH}(\ast,PE)=[\ast,PE]$ と $\mathcal{SH}(PE,\ast)=[PE,\ast]$ は 1 点であり、$\ast$ は零対象である。Ω スペクトル $X,Y$ について $X\times Y$ は Ω スペクトルで、CW スペクトル $A$ について $[A,X\times Y]=[A,X]\times[A,Y]$ なので、$X\times Y$ は $\mathcal{SH}$ の積である。$E\times F\to RE\times RF$ は $\pi_*$ の同型を誘導するので、$E\times F$ も積である。CW スペクトル $A,B$ と Ω スペクトル $Y$ について $[A\vee B,Y]=[A,Y]\times[B,Y]$ なので、$A\vee B$ は余積である。標準射は水準ごとの包含 $c\colon A\vee B\to A\times B$ の $\gamma$ であり（成分は恒等写像と $\ast$ を通る写像）、prop-shc-wedge の 1 により安定弱同値なので同型である。$\mathcal{SH}$ の対象はどれも CW スペクトルと同型なので、加法圏 の命題「標準射から加法を作る」の仮定が満たされ、各 $\mathcal{SH}(E,F)$ は可換モノイドで、合成は両側で加法を保つ。

逆元．$\pi_k$ は積を保つので、$m:=[\mathrm{id},\mathrm{id}]\circ\gamma(c)^{-1}\colon Y\times Y\to Y$ の誘導する準同型は $(y,0)\mapsto y$、$(0,y)\mapsto y$ を満たし、加法である。よって $\pi_k(f+g)=\pi_k(f)+\pi_k(g)$ である。$s:=\langle p_1,p_1+p_2\rangle\colon Y\times Y\to Y\times Y$ は $\pi_k$ に同型 $(y,y')\mapsto(y,y+y')$ を誘導するので、thm-shc-construction の後の説明により同型である。$f\colon X\to Y$ に対し $\langle f,g\rangle:=s^{-1}\langle f,0\rangle$ とおくと $\langle f,f+g\rangle=\langle f,0\rangle$ なので $f+g=0$ である。よって同命題の 3 により $\mathcal{SH}$ は加法圏である。$\bar\Sigma$ は圏同値なので零対象・積・余積を保ち、加法的である（加法圏 の命題「加法構造の一意性」の後の説明）。$\square$

$F_aK$ から $Y$ への写像は、$n\ge a$ で $f_n=\sigma\circ\Sigma\sigma\circ\cdots\circ\Sigma^{n-a}f_a$（構造写像の合成）と決まるので、基点付き写像 $K\to Y_a$ と一対一に対応する。$F_aK\wedge I_+=F_a(K\wedge I_+)$ なのでホモトピーも対応し、$[F_aK,Y]=[K,Y_a]_*$ である。$\mathcal{SH}$ で $E\cong PE$ であり、$F_aK$ は CW スペクトル、$PE$ は Ω スペクトルなので、thm-shc-construction の 2 から最初の主張が従う。$K=S^m$ では右辺は $\pi_m((PE)_a)$ で、スペクトル(ホモトピー論) の命題「Ω スペクトルのホモトピー群」によりこれは標準の写像で $\pi_{m-a}(PE)\cong\pi_{m-a}(E)$ と一対一に対応する。写像 $f\colon F_aS^m\to PE$ はこの対応で $\pi_{m-a}(f)(\iota)$ に移るので、全単射は $\iota$ での値である。$\square$