モノドロミー

$n\ge1$ とし、$p_n\colon S^1\to S^1$、$p_n(z)=z^n$（$S^1\subset\mathbb{C}$）を考える。$b=1$ のファイバーは $1$ の $n$ 乗根 $\zeta^k$（$\zeta:=e^{2\pi i/n}$、$k=0,\dots,n-1$）である。反時計回りに 1 周するループ $\gamma(t)=e^{2\pi it}$ の $\zeta^k$ からの持ち上げは $\zeta^ke^{2\pi it/n}$ で、終点は $\zeta^{k+1}$ である。よって $T_\gamma$ はファイバーを 1 つずつずらす長さ $n$ の巡回置換で、$\operatorname{Mon}(p_n,1)\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。$\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ は可換なので被覆は正則で、cor-mon-galois の 1 のとおり被覆変換群（$\zeta$ 倍の回転が生成する群）と同型である。
$S^1$ の非連結な被覆、たとえば 3 点のファイバーで $\gamma$ が互換 $(1\ 2)$ を引き起こす被覆（2 重被覆と自明な 1 重被覆の非交和）では、軌道が 2 つに分かれ、全空間は 2 つの成分をもつ（thm-mon-main の 1、Hat02 §1.3, p. 68）。

$B=S^1\vee S^1$ を 8 の字、$a,b$ を 2 つの円周を 1 周するループとし、被覆変換群 の例「正則でない被覆：8 の字の 3 重被覆」の被覆 $p\colon E\to B$ をとる。ファイバー $\{v_1,v_2,v_3\}$ の上で $[a]$ は互換 $\sigma=(2\ 3)$、$[b]$ は互換 $\rho=(1\ 2)$ として働く。$\pi_1(B)$ は $[a],[b]$ で生成されるので、$\operatorname{Mon}(p)$ は $\sigma,\rho$ が生成する置換群であり、$\sigma\rho$ は長さ 3 の巡回置換なので、位数は 2 と 3 の倍数で 6、すなわち $\operatorname{Mon}(p)=\mathfrak{S}_3$ である。一方、同じ例のとおり被覆変換群は自明群である。
cor-mon-galois の 2 の $\hat E$ は $\pi_1(B)$ の指数 6 の正規部分群 $N$ に対応する 6 重の正則被覆で、被覆変換群は $\mathfrak{S}_3$ である。$\pi_1(B)$ は $[a],[b]$ を基底とする自由群なので（基本群 の例「円周のウェッジ和」）、準同型 $\pi_1(B)\to\mathfrak{S}_n$ は 2 つの置換の組と同じものである。よって 8 の字の $n$ 重被覆の同型類は、$n$ 次の置換の組を同時の共役で割ったものと一対一に対応する（被覆空間の分類定理 の注意「空の被覆と流儀」、Hat02 pp. 68–69）。

$B=\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$、$E=\{(z,w)\in B\times\mathbb{C}\mid w^2=z(z-1)\}$、$p(z,w)=z$ とする。$z(z-1)\ne0$ なので各ファイバーは 2 点 $\pm w$ で、$p$ は 2 重被覆である（$w$ は $z$ の近くで $z(z-1)$ の平方根の連続な分枝として局所的に選べる）。
基点を $b=\varepsilon$（$0< \varepsilon< 1$）とし、$0$ のまわりの小さな円 $\gamma_0(t)=\varepsilon e^{2\pi it}$ を考える。$z=\gamma_0(t)$ について $|(z-1)-(-1)|=|z|=\varepsilon< 1$ なので、$z-1$ は $-1$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の円板にあり、この円板は $0$ を含まないので、その上で $u$ の連続な平方根 $g(u)$ がとれる。$w(t):=\sqrt{\varepsilon}\,e^{\pi it}g(\gamma_0(t)-1)$ は $w(t)^2=\gamma_0(t)(\gamma_0(t)-1)$ を満たす連続な道、すなわち $\gamma_0$ の持ち上げで、$w(1)=-w(0)$ である。よって $\gamma_0$ はファイバーの 2 点を入れ替える。ファイバーは 2 点なので $\operatorname{Mon}(p,b)$ は 2 点の置換群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の部分群で、入れ替えを含むので $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に等しい。作用は推移的なので、$E$ は弧状連結である（thm-mon-main の 1）。$1$ のまわりの小さな円についても同じ計算で入れ替えが起きる。
$p$ は Riemann 面 $w^2=z(z-1)$ から $z$ 平面への 分岐被覆 を、分岐点 $0,1$ の外へ制限したものである。分岐点のまわりのモノドロミーは、分岐指数を長さとする巡回置換の積になる（分岐被覆 の命題「分岐指数とモノドロミー」）。

$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ は行列式 $1$ の整数行列で $\mathbb{Z}^2$ を $\mathbb{Z}^2$ に全単射に写すので、トーラス $T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ の同相写像 $f_A$ を定める。$\mathbb{R}^2$ の $0$ から格子点 $v$ への線分は $T^2$ のループを与え、これらの類が $\pi_1(T^2)\cong\mathbb{Z}^2$ をなす（基本群 の例「トーラスの基本群」）。$f_A$ はこのループを $0$ から $Av$ への線分に写すので、$\pi_1(T^2)$ とその可換化 $H_1(T^2)\cong\mathbb{Z}^2$ に行列 $A$ として作用する。$1-A=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&0\end{pmatrix}$ の行列式は $-1$ なので $1-A$ は $\mathbb{Z}^2$ の自己同型で、$\operatorname{coker}=0$ である。$H_0$ の上では $1-f_*=0$ なので $\ker=\mathbb{Z}$ であり、上の短完全列から
$$ H_1(T_{f_A})\cong\mathbb{Z} $$
である。恒等写像の写像トーラス $T^3$ では $H_1\cong\mathbb{Z}^3$ なので、ファイバーと底が同じ $T^2$ と $S^1$ でも、モノドロミーによって全空間のホモロジーが変わる。円周の反転の写像トーラス（Klein の壺）では $f_*=-1$ で $H_1\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$ になる（写像トーラス の例「円周と球面の写像トーラス」、Hat02 Example 2.48, pp. 151–152）。

1 行目：$c$ は孤立点で、$\pi_1(B,c)$ は自明群なので $\operatorname{Mon}(p,c)$ は自明である。$B$ は局所弧状連結で、$p$ は被覆である。自明な被覆 $B\times D$ なら、$S^1$ の上の部分 $S^1\times D$ は $|D|=2$ 個の成分に分かれるが、$S^1$ の上の部分は連結な 2 重被覆（ex-mon-circle の $n=2$）なので、$p$ は自明でない。
2 行目：連結な 2 重被覆側の基点ではモノドロミー群は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（ex-mon-circle）、自明な被覆側の基点では自明群である。2 つの基点を結ぶ道はない。
3 行目：ex-mon-figure-eight のとおり $\operatorname{Mon}(p)=\mathfrak{S}_3$（位数 6）、$G(E/B)$ は自明群である。$B$ は弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結で、$E$ は弧状連結であり、外したのは正則性だけである。cor-mon-galois の 2 は成り立っている。