三角関数の公式を確かめる方法

「$\cos3\theta=3\cos\theta-4\cos^3\theta$」と思い出したとする。$\theta=0$ を入れると、左辺は $\cos0=1$、右辺は $3\cdot1-4\cdot1=-1$ で、一致しない。この式は誤りである。符号を入れかえた $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ なら、$\theta=0$ で右辺は $4-3=1$ となり一致する。さらに $\theta=\frac\pi3$ を入れると、左辺 $\cos\pi=-1$、右辺 $4\cdot\frac18-3\cdot\frac12=\frac12-\frac32=-1$ で、これも一致する。

「$\sin3\theta=4\sin^3\theta-3\sin\theta$」と思い出したとする。$\theta=0$ を入れると、左辺も右辺も $0$ で一致してしまう。$\theta=\frac\pi2$ を入れると、左辺は $\sin\frac{3\pi}2=-1$、右辺は $4-3=1$ で一致しないので、誤りだと分かる。正しくは $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ で、$\theta=\frac\pi2$ では $3-4=-1$ となる。

$f(\theta)=\cos2\theta$、$g(\theta)=\cos2\theta+\sin12\theta$ とする。$\theta=0,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2$ では $12\theta=0,2\pi,3\pi,4\pi,6\pi$ で、どれも $\pi$ の整数倍なので $\sin12\theta=0$ であり、$f$ と $g$ の値は一致する。しかし $\theta=\frac\pi{24}$ では $\sin12\theta=\sin\frac\pi2=1$ なので $g(\theta)=f(\theta)+1$ であり、「$\cos2\theta=\cos2\theta+\sin12\theta$」は恒等式ではない。$3:4:5$ の角 $\theta_0$ では $\sin12\theta_0=\frac{242017776}{244140625}\approx0.991$ で、$0$ でない。特別な角だけで確かめる方法は、「$\sin12\theta$ のように特別な角でちょうど $0$ になる項」を見逃す。

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ と $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ の両辺を、5 つの角で計算する。

5 つの角のすべてで一致する。$\theta=\frac\pi4$ の欄では $\cos^3\frac\pi4=\left(\frac{\sqrt2}2\right)^3=\frac{\sqrt2}4$ を使った。

次の 4 つの誤った式は、表の「一致」の角では正しい値と一致してしまう。

たとえば 1 行目を $\theta=60^\circ$ で確かめると、左辺は $\sin180^\circ=0$、右辺は $4\cdot\frac{3\sqrt3}8-3\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2-\frac{3\sqrt3}2=0$ で一致する。3 行目を $\theta=45^\circ$ で確かめると、$\cos\theta=\sin\theta=\frac{\sqrt2}2$ なので、$\cos^2\theta\sin\theta$ と $\cos\theta\sin^2\theta$ は同じ値 $\frac{\sqrt2}4$ になり、左辺 $\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}2$ と右辺 $\frac{\sqrt2}4-\frac{3\sqrt2}4=-\frac{\sqrt2}2$ が一致する。

$c=\frac45$、$s=\frac35$ とする。

• 2 倍角：$\sin2\theta_0=2sc=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}$。$\cos2\theta_0$ は 3 つの形のどれで計算しても $c^2-s^2=\frac{16-9}{25}=\frac7{25}$、$2c^2-1=\frac{32}{25}-1=\frac7{25}$、$1-2s^2=1-\frac{18}{25}=\frac7{25}$ で同じ値になる。
• 3 倍角を加法定理で：$\cos3\theta_0=\cos2\theta_0\cos\theta_0-\sin2\theta_0\sin\theta_0=\frac7{25}\cdot\frac45-\frac{24}{25}\cdot\frac35=\frac{28-72}{125}=-\frac{44}{125}$、$\sin3\theta_0=\sin2\theta_0\cos\theta_0+\cos2\theta_0\sin\theta_0=\frac{24}{25}\cdot\frac45+\frac7{25}\cdot\frac35=\frac{96+21}{125}=\frac{117}{125}$。
• 3 倍角の公式で：$4c^3-3c=4\cdot\frac{64}{125}-\frac{12}5=\frac{256-300}{125}=-\frac{44}{125}$、$3s-4s^3=\frac95-4\cdot\frac{27}{125}=\frac{225-108}{125}=\frac{117}{125}$。
  2 通りの計算が一致するので、3 倍角の公式はこの角で正しい値を与える。すべての値が有理数なので、分数の計算だけで比べられる。

ex-tfchk-special-blind の 4 つの誤った式に $c=\frac45$、$s=\frac35$ を入れる。

4 つとも正しい値と異なり、1 回の代入ですべて見つかる。1・2 行目の符号の誤りは値の符号が逆になることで、3・4 行目の $\sin$ と $\cos$ の取り違えは $3\ne4$ であることで見つかっている。

$\cos^2n\theta_0+\sin^2n\theta_0=1$ の両辺に $(5^n)^2$ を掛けると、分子どうしの 2 乗の和が $(5^n)^2$ になる。

• $n=2$：$\cos2\theta_0=\frac7{25}$、$\sin2\theta_0=\frac{24}{25}$ から $7^2+24^2=49+576=625=25^2$。
• $n=3$：$\cos3\theta_0=-\frac{44}{125}$、$\sin3\theta_0=\frac{117}{125}$ から $44^2+117^2=1936+13689=15625=125^2$。
• $n=4$：$\cos4\theta_0=2\cos^22\theta_0-1=\frac{98}{625}-1=-\frac{527}{625}$、$\sin4\theta_0=2\sin2\theta_0\cos2\theta_0=2\cdot\frac{24}{25}\cdot\frac7{25}=\frac{336}{625}$ から $527^2+336^2=277729+112896=390625=625^2$。
  $(7,24,25)$、$(44,117,125)$、$(527,336,625)$ は、辺の長さが整数の直角三角形（ピタゴラス数）を与える。どの組も 3 つの数の最大公約数は $1$ である。倍角の公式を確かめるついでに、新しいピタゴラス数が次々に作れる。ピタゴラス数全体の分類と、単位円の有理点との関係は ピタゴラス数と円の有理点 で扱う。

$\tan\frac{\theta_0}2=\frac{\sin\theta_0}{1+\cos\theta_0}=\frac{\frac35}{\frac95}=\frac13$ である（2 倍角の公式から $\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2}{2\cos^2\frac\theta2}=\tan\frac\theta2$）。$t=\frac13$ とおく。

• 半角の公式：$\cos^2\frac{\theta_0}2=\frac{1+\cos\theta_0}2=\frac{1+\frac45}2=\frac9{10}$。一方 $\cos^2\frac{\theta_0}2=\frac1{1+t^2}=\frac1{1+\frac19}=\frac9{10}$ で一致する。同じく $\sin^2\frac{\theta_0}2=\frac{1-\frac45}2=\frac1{10}$ と $\frac{t^2}{1+t^2}=\frac{\frac19}{\frac{10}9}=\frac1{10}$ も一致する。
• $t$ による式：$\frac{2t}{1+t^2}=\frac{\frac23}{\frac{10}9}=\frac35=\sin\theta_0$、$\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{\frac89}{\frac{10}9}=\frac45=\cos\theta_0$ で一致する。
• 誤った式「$\cos^2\theta=\frac{1+\cos\theta}2$」（半角の公式と次数下げの公式の混同）は、$\theta_0$ で左辺 $\frac{16}{25}$、右辺 $\frac9{10}$ となり、誤りだと分かる。

加法定理により
$$ \begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)&=\tfrac45\cdot\tfrac{12}{13}-\tfrac35\cdot\tfrac5{13}=\tfrac{48-15}{65}=\tfrac{33}{65}, & \sin(\alpha+\beta)&=\tfrac35\cdot\tfrac{12}{13}+\tfrac45\cdot\tfrac5{13}=\tfrac{36+20}{65}=\tfrac{56}{65},\\ \cos(\alpha-\beta)&=\tfrac{48+15}{65}=\tfrac{63}{65}, & \sin(\alpha-\beta)&=\tfrac{36-20}{65}=\tfrac{16}{65} \end{aligned} $$
である。ここでも $33^2+56^2=1089+3136=4225=65^2$、$63^2+16^2=3969+256=4225=65^2$ とピタゴラス数が出る。
この値で積和の公式を確かめる。

和積の公式は、$A=\alpha+\beta$、$B=\alpha-\beta$ とおくと $\frac{A+B}2=\alpha$、$\frac{A-B}2=\beta$ となるので、同じ値で確かめられる。たとえば $\sin A+\sin B=\frac{56+16}{65}=\frac{72}{65}$ と $2\sin\alpha\cos\beta=2\cdot\frac{36}{65}=\frac{72}{65}$、$\cos A-\cos B=\frac{33-63}{65}=-\frac{30}{65}$ と $-2\sin\alpha\sin\beta=-\frac{30}{65}$ が一致する。

$\alpha,\beta$ をそれぞれ $0,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$ から選ぶ $25$ 通りの組で、誤った式が一致してしまう組を Python で数えた（和積の公式の 2 行目だけは、$A,B$ を同じ 5 つの角から選ぶ $25$ 通りで数えた）。

1 行目・2 行目の誤りは、$\alpha=\beta$（$A=B$）で確かめる限り決して見つからない。$3:4:5$ と $5:12:13$ の組では、5 つの誤りがすべて見つかる。

$\cos3\theta$ は、$\theta$ を $-\theta$ に変えても値が変わらない（$\cos(-3\theta)=\cos3\theta$）。したがって正しい右辺も、$\theta$ を $-\theta$ に変えて変わらないはずである。

• 正しい式 $4\cos^3\theta-3\cos\theta$：$\cos(-\theta)=\cos\theta$ なので変わらない。
• 誤った式 $\cos^3\theta-3\cos^2\theta\sin\theta$：$-\theta$ に変えると $\cos^3\theta+3\cos^2\theta\sin\theta$ になる。2 つの差は $6\cos^2\theta\sin\theta$ で、$\cos\theta\sin\theta\ne0$ の角（たとえば $\theta=\frac\pi4$）では $0$ でないので、値が違う。よって誤りである。
  同じく $\sin3\theta$ は、$\theta$ を $-\theta$ に変えると符号だけが変わる（$\sin(-3\theta)=-\sin3\theta$）。したがって正しい右辺も、$\theta$ を $-\theta$ に変えると符号だけが変わる式でなければならない。$3\sin^2\theta\cos\theta-\sin^3\theta$ の $\theta$ を $-\theta$ に変えると、$\sin^2\theta$ と $\cos\theta$ は変わらず、$\sin^3\theta$ は符号が変わるので、$3\sin^2\theta\cos\theta+\sin^3\theta$ になる。これが元の式の $-1$ 倍なら、元の式と足して $0$ になるはずである。しかし和は $6\sin^2\theta\cos\theta$ で、$\sin\theta\cos\theta\ne0$ の角（たとえば $\theta=\frac\pi4$）では $0$ でない。よって誤りである。項ごとに見ると、$\sin\theta$ を奇数個含む項は $-\theta$ で符号が変わり、偶数個（$0$ 個を含む）含む項は変わらない。$\cos\theta$ をいくつ含むかは関係しない。この確かめ方は、ex-tfchk-special-blind の 3・4 行目のような $\sin$ と $\cos$ の取り違えを、代入なしで見つける。一方、1・2 行目のような式全体の符号の誤りは見つけられない（$-f$ も $f$ と同じ対称性をもつから）。

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ の $\theta$ を $\frac\pi2-\theta$ に変える。

• 左辺：$\cos\left(\frac{3\pi}2-3\theta\right)$ を加法定理で展開すると、$\cos\frac{3\pi}2=0$、$\sin\frac{3\pi}2=-1$ なので $0\cdot\cos3\theta+(-1)\cdot\sin3\theta=-\sin3\theta$ である。
• 右辺：$\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=\sin\theta$ なので $4\sin^3\theta-3\sin\theta$ である。
  よって $-\sin3\theta=4\sin^3\theta-3\sin\theta$、つまり $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ が出る。正弦と余弦の 3 倍角の公式は、一方を覚えていれば他方が出る。両方を覚えているなら、この計算で互いに確かめ合える。

$\cos^2\theta$ は、$\theta$ を $\theta+\pi$ に変えても変わらない（$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$ で、2 乗すると符号が消える）。

• 正しい次数下げの公式 $\frac{1+\cos2\theta}2$：$\cos(2\theta+2\pi)=\cos2\theta$ なので変わらない。
• 誤った式 $\frac{1+\cos\theta}2$：$\theta=0$ では $1$、$\theta=\pi$ では $0$ で、$\theta+\pi$ に変えると値が変わる。一方 $\cos^20=\cos^2\pi=1$ なので、この式は $\theta=\pi$ で誤りだと分かる。

• 「$\cos3\theta=3\cos\theta-4\cos^3\theta$」は係数の和が $3-4=-1$ で、$1$ にならないので誤り。
• 「$\cos4\theta=8\cos^4\theta+8\cos^2\theta-1$」は係数の和が $15$ で誤り。
• 「$\sin3\theta=3\sin\theta+4\sin^3\theta$」は、$\theta=\frac\pi2$ で右辺が $3+4=7$ になる。$\sin$ の値は $-1$ 以上 $1$ 以下なので、左辺は $7$ になりえず、誤りである。
• 「$\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos^2\theta\sin\theta$」の右辺は、Python で $0\le\theta\le2\pi$ を細かく調べると最大値が約 $1.79$ になり、$1$ を超える。これも範囲から誤りと分かる（ただし最大値を求める計算は手では面倒で、代入の方が早い）。

• $\sin3\theta\approx3\theta$ である。正しい右辺は $3\sin\theta-4\sin^3\theta\approx3\theta-4\theta^3\approx3\theta$ で一致する。誤った右辺 $4\sin^3\theta-3\sin\theta\approx-3\theta$ は符号が逆なので、誤りと分かる。
• $\cos2\theta\approx1-\frac{(2\theta)^2}2=1-2\theta^2$ である。正しい右辺 $1-2\sin^2\theta\approx1-2\theta^2$ は一致する。誤った右辺 $1-\sin^2\theta\approx1-\theta^2$ は $\theta^2$ の係数が違うので誤り。
• $\cos3\theta\approx1-\frac{9\theta^2}2$ である。右辺 $4\cos^3\theta-3\cos\theta$ に $\cos\theta\approx1-\frac{\theta^2}2$ を入れ、$x=\theta^2$ とおいて展開すると
  $$ 4\left(1-\tfrac x2\right)^3-3\left(1-\tfrac x2\right)=1-\tfrac92x+3x^2-\tfrac12x^3 $$
  である。$x^2=\theta^4$ 以上の項を無視すると $1-\frac92\theta^2$ で、一致する。

「$\sin3\theta=3\sin\theta-3\sin^3\theta$」（係数 $4$ を $3$ と誤った式）は、$\theta$ が小さいとき $3\theta-3\theta^3\approx3\theta$ で、$\theta$ の 1 次の項だけを比べると一致してしまう。$\theta^3$ の項まで比べるには $\sin\theta\approx\theta-\frac{\theta^3}6$ が必要で、計算すると左辺は $3\theta-\frac92\theta^3$、右辺は $3\theta-\frac72\theta^3$ と違う。代入なら簡単に見つかる：$\theta=\frac\pi2$ で左辺 $-1$、右辺 $3-3=0$。$3:4:5$ の角では左辺 $\frac{117}{125}$、右辺 $\frac95-3\cdot\frac{27}{125}=\frac{144}{125}$。

• $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ の両辺を微分する。左辺は $2\cos2\theta$、右辺は積の微分で $2(\cos\theta\cdot\cos\theta+\sin\theta\cdot(-\sin\theta))=2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$ である。両辺を $2$ で割ると $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ で、余弦の 2 倍角の公式と合う。
• $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ の両辺を微分すると、$-3\sin3\theta=-12\cos^2\theta\sin\theta+3\sin\theta$ である。$-3$ で割り、$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を入れると $\sin3\theta=4(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ で、正弦の 3 倍角の公式と合う。
• 誤った式 $\cos3\theta=3\cos\theta-4\cos^3\theta$ を同じように微分すると、$\sin3\theta=\sin\theta-4\cos^2\theta\sin\theta=4\sin^3\theta-3\sin\theta$ が出る。これを $\theta=\frac\pi6$ で確かめると左辺 $1$、右辺 $\frac12-\frac32=-1$ で合わない。微分で出た式が誤りなので、元の式も誤りである（元の式が恒等式なら、微分した式も恒等式のはずだから）。

4 つの角 $0,\frac\pi2,\frac\pi3,\theta_0$ を使う。$\cos\theta$ の値は $1,0,\frac12,\frac45$ で、相異なる。

• $\theta=0$：$\cos0=1$、$4-3=1$。
• $\theta=\frac\pi2$：$\cos\frac{3\pi}2=0$、$0-0=0$。
• $\theta=\frac\pi3$：$\cos\pi=-1$、$\frac12-\frac32=-1$。
• $\theta=\theta_0$：$\cos3\theta_0=-\frac{44}{125}$（ex-tfchk-345-values で加法定理から計算した値）、$4\cdot\frac{64}{125}-\frac{12}5=-\frac{44}{125}$。
  4 つとも一致するので、cor-tfchk-cos3 により $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ はすべての $\theta$ で成り立つ。ここでは $3:4:5$ の角での確かめが、証明の一部になっている。

$\cos3\theta$ が $\cos\theta$ の 3 次以下の多項式で書けることは、上の段落のとおり加法定理から分かっている。そこで、係数を知らないまま $\cos3\theta=a\cos^3\theta+b\cos^2\theta+d\cos\theta+e$ とおける。次の 4 つの角を入れる（未定係数法）。4 つの角の $\cos\theta$ の値 $0,1,-1,\frac12$ は相異なるので、thm-tfchk-finite により、この 4 つの値をとる 3 次以下の多項式はただ 1 つであり、係数はただ 1 通りに決まる。

• $\theta=\frac\pi2$（$c=0$、$\cos\frac{3\pi}2=0$）：$e=0$。
• $\theta=0$（$c=1$、$\cos0=1$）：$a+b+d+e=1$。
• $\theta=\pi$（$c=-1$、$\cos3\pi=-1$）：$-a+b-d+e=-1$。
• $\theta=\frac\pi3$（$c=\frac12$、$\cos\pi=-1$）：$\frac a8+\frac b4+\frac d2+e=-1$。
  箇条書きの 2 つ目と 3 つ目の式を足すと $2b+2e=0$ で、$e=0$ から $b=0$。すると $a+d=1$、$\frac a8+\frac d2=-1$ である。後の式 $\frac a8+\frac d2=-1$ に $d=1-a$ を入れると $\frac a8+\frac{1-a}2=-1$、両辺に $8$ を掛けて $a+4-4a=-8$、よって $a=4$、$d=-3$ である。$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ が「導けた」。

$Q(x)=4x^3-3x+2x(x-1)(2x-1)=8x^3-6x^2-x$ とする。足した $2x(x-1)(2x-1)$ は $x=0,1,\frac12$ で $0$ なので、$Q$ は $x=0,1,\frac12$（$\theta=\frac\pi2,0,\frac\pi3$）で $4x^3-3x$ と同じ値をとる。しかし $x=\frac45$ では $Q\left(\frac45\right)=\frac{512}{125}-\frac{96}{25}-\frac45=\frac{512-480-100}{125}=-\frac{68}{125}$ で、$\cos3\theta_0=-\frac{44}{125}$ と異なる。thm-tfchk-finite の「$n+1$ 個」という条件を 1 つでも減らすと、主張は崩れる。

• $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$：$f(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta$、$g(\theta)=1$ とする。$f'(\theta)=2\cos\theta\cdot(-\sin\theta)+2\sin\theta\cos\theta=0=g'(\theta)$ で、$f(0)=1=g(0)$ である。thm-tfchk-derivative により、すべての実数 $\theta$ で $f=g$。
• 次数下げの公式 $\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2$：左辺の導関数は $2\cos\theta\cdot(-\sin\theta)=-\sin2\theta$（2 倍角の公式を使った）、右辺の導関数は $\frac12\cdot(-2\sin2\theta)=-\sin2\theta$ で等しい。$\theta=0$ では左辺 $1$、右辺 $\frac{1+1}2=1$ で等しい。よって、すべての $\theta$ で成り立つ。
• 正弦の 3 倍角の公式：$f=\sin3\theta$、$g=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ とすると、$f'=3\cos3\theta$、$g'=3\cos\theta-12\sin^2\theta\cos\theta=3\cos\theta(1-4\sin^2\theta)=3\cos\theta(4\cos^2\theta-3)=3(4\cos^3\theta-3\cos\theta)$ である。余弦の 3 倍角の公式が分かっていれば $f'=g'$ で、$f(0)=g(0)=0$ なので $f=g$ である。