零次元空間
概要
零次元空間（zero-dimensional space）とは、開かつ閉な集合からなる開基をもつ空でない $T_1$ 空間のことであり、小さな帰納次元が $0$ の空間にあたり、Cantor 集合、有理数や無理数の空間、$p$ 進整数環、Sorgenfrey 直線がその例である。零次元空間は Tychonoff 空間で、2 点を開かつ閉な集合で分けられるので完全不連結であり、部分空間と直積で保たれる。Lindelöf な零次元空間では、任意の有限開被覆が互いに交わらない有限個の開かつ閉な集合で細分でき、被覆次元も $0$ になる。とくに空でない可分距離空間では零次元の諸定義が一致し、零次元であることは Cantor 集合の部分空間と同相であることと同値である。
前提知識: 開かつ閉集合, 開基, 完全不連結空間, Lindelöf空間
有理数の空間 $\mathbb{Q}$ では、無理数 $c$ で切った $\mathbb{Q}\cap(-\infty,c)$ と $\mathbb{Q}\cap(c,\infty)$ がどちらも開かつ閉であり、どの点のまわりにも、開かつ閉な小さな近傍がいくらでもある。このように、開かつ閉な集合からなる開基をもつ空でない $T_1$ 空間を零次元空間という。点を「境界のない近傍」で囲めるので、帰納次元の考え方では次元 $0$ の空間にあたる。Cantor 集合、$p$ 進整数環、無理数の空間、Stone空間がその例である。
零次元という言葉には、開基を使う定義（小さな帰納次元 $0$）のほかに、有限開被覆を互いに交わらない開集合で細分できること（被覆次元 $0$）や、2 点を開かつ閉な集合で分けられること（完全分離）など、近いが一般には異なる条件がある。この記事では零次元空間の基本性質を示し、主定理として、Lindelöf な零次元空間では任意の有限開被覆が互いに交わらない有限個の開かつ閉な集合で細分できることを証明する（thm-zd-lindelof）。これにより、可分距離空間では零次元の諸定義がすべて一致する。
定義
位相空間の部分集合で開集合かつ閉集合であるものを開閉集合という（開かつ閉集合）。
位相空間 $X$ が零次元空間（zero-dimensional space）であるとは、$X$ が空でない $T_1$ 空間で、開閉集合からなる開基をもつことをいう。
これは Eng89 §6.2（p. 360）の定義である。空でない $T_1$ 空間 $X$ が零次元であることは、$X$ が正則で小さな帰納次元について $\operatorname{ind}X=0$ であることと同値である（帰納次元 の命題「0 次元の言い換え」の 1。開閉集合からなる開基をもつ空間は下の prop-zd-basic により正則である）。
流儀の違い． Cantor立方体 や 超距離空間 の記事のように、$T_1$ を課さず「開閉集合からなる開基をもつ空間」を 0 次元とよぶ文献もある。$T_1$ を課さないと、2 点からなる密着空間（開集合が $\emptyset$ と全体だけ）も開閉集合からなる開基 $\{X\}$ をもつが、これは連結である。下の prop-zd-basic の 1 のとおり、開閉集合からなる開基をもつ空間では $T_0$、$T_1$、Hausdorff は同値なので、どの分離公理を課しても同じクラスになる。
次の 2 つの条件も比べる。
- 位相空間 $X$ が完全分離であるとは、異なる 2 点 $x,y$ に対し、$x\in C$、$y\notin C$ となる開閉集合 $C$ があることをいう（Eng89 の totally disconnected。完全不連結空間 の記事の用語）。
- 正規空間 $X$ について、被覆次元 $\dim X\le0$ とは、任意の有限開被覆が、互いに交わらない開集合からなる有限開被覆で細分できることをいう（被覆次元 の定義「被覆次元」で $n=0$ とした場合）。空でない正規空間で $\dim X=0$ となるものを強零次元とよぶことがある（Eng89 p. 360 は Tychonoff 空間について関数で開な被覆を使って定義し、正規空間ではこれと同値になる：同書 Theorem 6.2.5、p. 361）。
基本性質
$X$ を開閉集合からなる開基 $\mathcal{C}$ をもつ位相空間とする。
- $X$ は正則である（点 $x$ と $x$ を含まない閉集合 $F$ を、交わらない開集合で分けられる）。さらに $X$ が $T_0$ なら、$X$ は完全分離で、とくに Hausdorff かつ $T_1$ である。
- $X$ が $T_1$ なら、$X$ は Tychonoff空間 であり、完全不連結空間 である。
1．$x\notin F$ なら $X\setminus F$ は $x$ の開近傍なので、$x\in C\subset X\setminus F$ となる $C\in\mathcal{C}$ がある。$C$ と $X\setminus C$ は交わらない開集合で、$x\in C$、$F\subset X\setminus C$ である。$X$ が $T_0$ で $x\neq y$ とすると、一方、たとえば $x$ だけを含む開集合 $U$ がある。$x\in C\subset U$ となる $C\in\mathcal{C}$ をとれば $y\notin C$ で、$C$ が $x$ と $y$ を分ける開閉集合である（$y$ だけを含む開集合があるときは役割を入れ替え、得られた $C$ の補集合をとる）。開閉集合 $C$ とその補集合は交わらない開集合なので、完全分離なら Hausdorff である。
2．$T_1$ なら $T_0$ なので、1 により Hausdorff である。完全正則性：$x\notin F$ に対し 1 の $C$ をとると、$C$ の補集合の特性関数 $f:=\chi_{X\setminus C}\colon X\to[0,1]$ は、$C$ と $X\setminus C$ がともに開なので連続で、$f(x)=0$、$F$ の上で $f=1$ である。完全不連結性：2 点以上を含む部分集合 $A$ をとり、異なる $x,y\in A$ を開閉集合 $C$ で分けると、$A\cap C$ と $A\setminus C$ は $A$ の空でない交わらない相対開集合で、和が $A$ になるので、$A$ は連結でない。$\square$
零次元なら完全分離、完全分離なら完全不連結である。逆向きはどちらも一般には成り立たない（ex-zd-counterexamples の 1・2 行目）。ただし空でない局所コンパクト Hausdorff 空間では 3 つの条件は同値である（完全不連結空間 の系「局所コンパクトな完全不連結空間は零次元」）。
- 零次元空間 $X$ の空でない部分空間 $A$ は零次元である。
- 空でない零次元空間の族 $(X_s)_{s\in S}$（$S\neq\emptyset$）の直積 $\prod_{s\in S}X_s$（直積位相）は零次元である。
1．$\mathcal{C}$ を $X$ の開閉集合からなる開基とすると、$\{A\cap C\mid C\in\mathcal{C}\}$ は相対位相の開基で、各元は $A$ の開閉集合である。$T_1$ 性は部分空間に遺伝する。
2．各 $X_s$ の開閉集合からなる開基を $\mathcal{C}_s$ とする。有限集合 $F\subset S$ と $C_s\in\mathcal{C}_s$（$s\in F$）について $\bigcap_{s\in F}\pi_s^{-1}(C_s)$ の形の集合の全体は、直積位相の開基である（開基 の命題「積空間の開基」と同じ議論で、各因子の開基から作った筒集合が開基になる）。射影 $\pi_s$ は連続なので $\pi_s^{-1}(C_s)$ は開かつ閉で、その有限個の共通部分も開かつ閉である。直積が空でないこと（選択公理による）と $T_1$ 性（$x\neq y$ ならある座標で $x_s\neq y_s$、その座標で一方だけを含む開集合の逆像をとる）も成り立つ。$\square$
Eng89 Theorem 6.2.11・6.2.14（pp. 362–363）にも同じ主張がある。とくに Cantor 立方体 $\{0,1\}^S$（Cantor立方体）は零次元であり、逆に $\kappa$ を無限基数とすると、重さが $\kappa$ 以下の零次元空間は $\{0,1\}^\kappa$ の部分空間と同相である（Cantor立方体 の定理「Cantor立方体の普遍性」）。
例
- 空でない離散空間：一点集合の全体が開閉集合からなる開基である。
- 超距離空間：開球は開かつ閉である（超距離空間 の命題「開球と正半径の閉球の開閉性」）ので、開球の全体が開閉集合からなる開基になる。$p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$、p進整数環 $\mathbb{Z}_p$、$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ に $d(x,y)=2^{-\min\{n\mid x_n\neq y_n\}}$ を入れたものはその例である。
- Cantor集合 は $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ と同相（Cantor集合 の命題「直積空間との同相」）なので零次元である。有理数の空間 $\mathbb{Q}$ と無理数の空間は、端点が無理数（$\mathbb{Q}$ の場合）または有理数（無理数の空間の場合）の開区間との共通部分が開閉集合であり、零次元である（被覆次元 の例「0 次元の例」）。
- 可算な距離空間：$(X,d)$ を空でない可算な距離空間とする。点 $x$ と $r>0$ に対し、可算集合 $\{d(x,y)\mid y\in X\}$ に属さない $t\in(0,r)$ をとると、開球 $\{y\mid d(x,y)< t\}$ は閉球 $\{y\mid d(x,y)\le t\}$ に等しいので開かつ閉であり、$x$ を含み、半径 $r$ の開球に含まれる。よって $X$ は零次元である。
- Sorgenfrey直線 $\mathbb{R}_L$：半開区間 $[a,b)$ は開かつ閉であり（Sorgenfrey直線 の命題「開基の元は開かつ閉」）、それらが開基をなし、$\mathbb{R}_L$ は $T_1$ である。距離化可能でない零次元空間の例である。
- Stone空間（コンパクト Hausdorff な零次元空間）と、その例である射有限群。
主定理：Lindelöf な零次元空間
零次元であっても、有限開被覆を互いに交わらない開閉集合で細分できるとは限らない（ex-zd-counterexamples の 3 行目）。Lindelöf 性があればできる。
$X$ を、開閉集合からなる開基をもつ Lindelöf空間（任意の開被覆が高々可算な部分被覆をもつ空間）とする。
- $X$ の任意の有限開被覆 $\{U_1,\dots,U_r\}$ に対し、互いに交わらない開閉集合 $V_1,\dots,V_r$ で、$V_i\subset U_i$（$i=1,\dots,r$）かつ $V_1\cup\dots\cup V_r=X$ となるものがある。
- 互いに交わらない閉集合 $A,B\subset X$ に対し、開閉集合 $V$ で $A\subset V\subset X\setminus B$ となるものがある。
- さらに $X$ が $T_1$ なら、$X$ は正規空間であり、$\dim X\le0$ かつ $\operatorname{Ind}X\le0$ である。とくに空でなければ $\dim X=\operatorname{Ind}X=\operatorname{ind}X=0$ である。
1． 各点 $x$ はある $U_i$ に属するので、開基の元 $C_x$ で $x\in C_x\subset U_i$ となるものがある。$\{C_x\}_{x\in X}$ は $X$ の開被覆なので、Lindelöf 性により高々可算個 $C_1,C_2,\dots$ で $X$ が覆われる（$X=\emptyset$ なら $V_i=\emptyset$ とすればよい）。
$$
D_j:=C_j\setminus(C_1\cup\dots\cup C_{j-1})
$$
とおくと、$D_j$ は開閉集合の有限個の和の補集合と開閉集合の共通部分なので開かつ閉であり、$D_j$ は互いに交わらず、$X$ を覆う。各 $j$ について $C_j\subset U_i$ となる最小の $i$ を $i(j)$ とし、$V_i:=\bigcup_{i(j)=i}D_j$ とおく。$V_i$ は開集合の和なので開で、$V_i\subset U_i$、$V_1,\dots,V_r$ は互いに交わらず $X$ を覆う。$V_i$ の補集合は開集合 $\bigcup_{l\neq i}V_l$ なので、$V_i$ は閉でもある。
2． 有限開被覆 $\{X\setminus A,\ X\setminus B\}$ に 1 を使い、$V_1\subset X\setminus A$、$V_2\subset X\setminus B$ をとる。$V:=V_2$ とすると $V\subset X\setminus B$ であり、$A\cap V_1=\emptyset$ と $V_1\cup V_2=X$ から $A\subset V_2=V$ である。
3． $T_1$ なら一点集合は閉で、2 の $V$ と $X\setminus V$ が $A$ と $B$ を分ける交わらない開集合なので、$X$ は正規である。1 の $\{V_1,\dots,V_r\}$ は位数 $1$ 以下の有限開細分なので $\dim X\le0$ であり、2 は 帰納次元 の命題「0 次元の言い換え」の 2 の条件なので $\operatorname{Ind}X\le0$ である。$X$ は開閉集合からなる開基をもち正則なので $\operatorname{ind}X\le0$ であり、空でない空間ではどの次元も $-1$ ではない。$\square$
2 は Eng89 Theorem 6.2.7（pp. 361–362）の証明と同じ議論で、帰納次元 の命題「Lindelöf 空間での 0 次元」にもある。1 は細分の添字を $U_i$ にそろえて、有限開被覆の細分の形で直接述べたものである。可算個の $D_j$ をそのまま使うと有限開被覆にならないので、$U_i$ ごとにまとめ直している。
可分な距離空間は第 2 可算であり、したがって Lindelöf である（第2可算公理 の定理「距離空間における同値性」と命題「三つの帰結」）。
1 ⇒ 2・3：thm-zd-lindelof の 3 による。2 ⇔ 3：正規空間で $\dim X\le0$ と $\operatorname{Ind}X\le0$ は同値である（被覆次元 の命題「0 次元の特徴づけ」と 帰納次元 の命題「0 次元の言い換え」の 2）。3 ⇒ 1：$\operatorname{ind}X\le\operatorname{Ind}X$（帰納次元 の定理「小さな帰納次元は大きな帰納次元以下」）で、$X$ は空でない。
1 ⇒ 4：$X$ は第 2 可算なので重さは $\aleph_0$ 以下で、Cantor立方体 の定理「Cantor立方体の普遍性」により $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ の部分空間と同相であり、$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ は Cantor 集合と同相である。4 ⇒ 1：ex-zd-examples の 3 と prop-zd-subspace-product の 1 による。
1 ⇒ 5：超距離空間 の定理「可分な零次元距離空間の超距離化」。5 ⇒ 1：ex-zd-examples の 2（超距離空間は $T_1$）。$\square$
可分距離空間の一般の次元についても $\operatorname{ind}=\operatorname{Ind}=\dim$ が成り立つ（一致定理(次元論)）。cor-zd-separable-metric はその次元 $0$ の場合を、細分の構成だけで直接示したものである。
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 局所コンパクト性 | Erdős の空間 | 完全分離な可分距離空間が零次元であること |
| Hausdorff 性 | 極限点が 2 つある列 $\mathbb{N}\sqcup\{a,b\}$ | コンパクトで完全不連結な $T_1$ 空間が零次元であること |
| Lindelöf 性（thm-zd-lindelof） | Dowker の空間 | 零次元なら $\dim X=0$ であること |
| 和をとる部分集合が閉であること | $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$ | 零次元の 2 つの部分空間の和が零次元であること |
| 部分空間・直積であること（連続像にする） | Cantor 関数 $C\to[0,1]$ | 零次元空間の連続像が零次元であること |
1・2 行目は「局所コンパクト Hausdorff 空間では完全不連結なら零次元」（完全不連結空間 の系「局所コンパクトな完全不連結空間は零次元」）の仮定を 1 つずつ外したものである。
要点：零次元な $T_1$ 空間は完全分離である（prop-zd-basic）ことと、引用した構成による。
詳しい確かめを開く
1. Erdős の空間は、Hilbert 空間 $\ell^2$ の点のうち座標がすべて有理数であるものの全体である。異なる 2 点 $x,y$ は、ある座標 $i_0$ で $x_{i_0}< y_{i_0}$ となり、その間の無理数 $t$ について $\{z\mid z_{i_0}< t\}$ が $x$ を含み $y$ を含まない開閉集合なので、完全分離（したがって完全不連結）である。可分距離空間で局所コンパクトではない。零次元でないこと（原点を含み、原点を中心とする半径 $1$ の球に含まれる開閉集合がないこと）は Eng89 Example 6.2.19（pp. 364–365）と Eng78 1.2.15（pp. 16–17）による。この記事では証明しない。
2. 完全不連結空間 の例「反例：極限点が二つある列」の空間は、コンパクトな $T_1$ 空間で完全不連結だが、2 点 $a,b$ を開閉集合で分けられない。零次元な $T_1$ 空間は完全分離なので（prop-zd-basic の 1）、この空間は零次元でない。Hausdorff でないことが原因である。
3. Dowker の空間 $Y$ は零次元の正規空間で、互いに交わらない開集合からなる有限開被覆では細分できない有限開被覆をもつ（$\dim Y\neq0$。Eng89 Example 6.2.20、pp. 365–366 と Theorem 6.2.5、p. 361。この記事では証明しない）。thm-zd-lindelof により $Y$ は Lindelöf でない。
4. $\mathbb{Q}$ と無理数の空間は零次元（ex-zd-examples の 3）だが、和 $\mathbb{R}$ は $\dim\mathbb{R}\ge1$（被覆次元 の系「Euclid 空間・球面・Hilbert 立方体」の 3）で、連結なので零次元でもない。無理数の全体は $\mathbb{R}$ の閉集合でない。閉集合の可算個の和なら零次元のまま（帰納次元 の系「可分距離空間の 0 次元の和」）である。
5. Cantor 集合 $C$ の上で Cantor 関数は $[0,1]$ への連続な全射である（完全不連結空間 の命題「連続像では保たれない」）。$[0,1]$ は連結で 2 点以上を含むので、prop-zd-basic の 2 により零次元でない。
補足
零次元空間と強零次元空間の一般論は Eng89 §6.2、可分距離空間の場合は Eng78 §1.2–1.4 にある。
所在の一覧を開く
Eng89：零次元空間と強零次元空間の定義（p. 360）、Theorem 6.2.1（零次元なら完全不連結、p. 360）、Theorem 6.2.5（正規空間での強零次元の言い換え、p. 361）、Theorem 6.2.7（Lindelöf な零次元空間は強零次元、pp. 361–362）、Theorem 6.2.9（局所コンパクトな場合、p. 362）、Theorem 6.2.11・6.2.14（部分空間と直積、pp. 362–363）、Theorem 6.2.16（Cantor 立方体の普遍性、p. 363）、Examples 6.2.18（Sorgenfrey 直線など、p. 364）、Example 6.2.19（Erdős の空間、pp. 364–365）、Example 6.2.20（Dowker の空間、pp. 365–366）。Eng78：1.2.5（$\mathbb{Q}$・無理数・Cantor 集合・可算な距離空間、pp. 11–12）、1.2.6 と Remark 1.2.7（第 1 分離定理と Lindelöf 空間への拡張、p. 12）、1.2.15（Erdős の例、pp. 16–17）、1.4.1（完全分離、p. 31）。
関連項目
参考文献
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