⊙-回帰的

同義語：sun-回帰的sun-reflexiveodot-回帰的

概要

前提知識: Banach空間, 共役空間, 強連続半群, 無限小生成作用素, 弱コンパクト作用素

定義

$X$ を実または複素 Banach空間、$(T(t))_{t\ge0}$ を $X$ 上の $C_0$-半群、$A$ をその無限小生成作用素とする。各 $t\ge0$ に対し $T^*(t)$ は共役空間 $X^*$ 上の共役作用素である。$T^*(t)$ は弱$^*$連続な半群だが、$X^*$ のノルムについて強連続とは限らない。このずれを扱うため、強連続性が回復する最大の部分空間を取り出す。

sun双対空間

$(T(t))_{t\ge0}$ に関する $X$ の sun 双対空間（sun-dual space、$\odot$-adjoint space）を
$$ X^\odot:=\left\{x^*\in X^*\mathrel{\middle|} \lim_{h\downarrow0}\lVert T^*(h)x^*-x^*\rVert=0\right\} $$
と定める。$T^*(t)$ の $X^\odot$ への制限を $T^\odot(t)$ と書く。これは $X^\odot$ 上の $C_0$-半群である。

sun 双対をもう一度取るとき、最初と同じ空間に戻るのではなく、$T^\odot(t)$ の共役半群が作用する $(X^\odot)^*$ の中で強連続部分を取る。

第2 sun 双対と標準埋め込み

$X^{\odot *}:=(X^\odot)^*$ と書き、
$$ X^{\odot\odot}:=\left\{z\in X^{\odot *}\mathrel{\middle|} \lim_{h\downarrow0}\lVert T^{\odot *}(h)z-z\rVert=0\right\} $$
と定める。また標準写像 $j\colon X\to X^{\odot *}$ を
$$ \langle jx,x^\odot\rangle:=\langle x^\odot,x\rangle \qquad(x\in X,\ x^\odot\in X^\odot) $$
で定める。$X^\odot$ は $X^*$ で弱$^*$稠密なので $j$ は単射であり、$j(X)\subseteq X^{\odot\odot}$ である。

sun-回帰性

$$ j(X)=X^{\odot\odot} $$
が成り立つとき、$X$ は半群 $(T(t))_{t\ge0}$ に関して sun-回帰的または $\odot$-回帰的（sun-reflexive）であるという。

これは Banach 空間 $X$ だけの性質ではなく、組 $(X,T)$ の性質である。同じ $X$ でも半群を変えれば sun-回帰性は変わりうる。

直感

通常の回帰性は標準埋め込み $X\to X^{**}$ が全射であることをいう。sun-回帰性では、共役半群がノルム強連続に動ける部分 $X^\odot\subseteq X^*$ だけを「観測可能な双対」として残し、その双対 $X^{\odot *}$ の中でもう一度強連続部分 $X^{\odot\odot}$ を取る。したがって比較するのは $X$ と $X^{**}$ ではなく、$j(X)$ と $X^{\odot\odot}$ である。
$X^\odot$ が $X^*$ より小さいと、その双対 $X^{\odot *}$ は $X^{**}$ より大きくなりうる。しかし第2段階の強連続性が余分な元を除き、ちょうど $j(X)$ を残す場合がある。このため非回帰的な Banach 空間でも、適切な半群に関して sun-回帰的になりうる。

例

回帰的Banach空間

$X$ が回帰的なら、任意の $C_0$-半群に関して sun-回帰的である。この場合、共役半群は $X^*$ 上でも強連続なので $X^\odot=X^*$ であり、標準同一視 $X=X^{**}$ のもとで $X^{\odot\odot}=X$ となる。

円周上の平行移動

$X=C(\mathbb S^1)$ とし、$(T(t)f)(\zeta)=f(e^{it}\zeta)$ を円周上の平行移動群とする。このとき $X$ 自身は回帰的でないが、
$$ X^*=M(\mathbb S^1),\qquad X^\odot\cong L^1(\mathbb S^1),\qquad X^{\odot *}\cong L^\infty(\mathbb S^1), $$
かつ $X^{\odot\odot}=j(C(\mathbb S^1))$ となるので sun-回帰的である（Die88 Example 2.5）。

反例：実直線上の平行移動

$X=C_0(\mathbb R)$ を無限遠で $0$ に収束する連続関数の空間とし、$(T(t)f)(x)=f(x+t)$ とする。このとき
$$ X^{\odot\odot}\cong \operatorname{BUC}(\mathbb R), $$
すなわち有界一様連続関数の空間になり、$j(C_0(\mathbb R))$ を真に含む。よって $X$ はこの平行移動半群に関して sun-回帰的でない（Die88 Example 2.6）。この例は「すべての $C_0$-半群が sun-回帰的である」という誤った主張を破る。

性質

sun双対の閉性と不変性

$X^\odot$ は $X^*$ の閉線形部分空間であり、すべての $t\ge0$ に対して $T^*(t)X^\odot\subseteq X^\odot$ である。

線形性は定義から従う。$x_n^\odot\in X^\odot$ が $x_n^\odot\to x^*$ とノルム収束するとする。$C_0$-半群は $0\le h\le1$ で一様有界なので、$K:=\sup_{0\le h\le1}\lVert T(h)\rVert<\infty$ である。任意の $n$ と $0< h\le1$ について
$$ \lVert T^*(h)x^*-x^*\rVert \le (K+1)\lVert x^*-x_n^\odot\rVert +\lVert T^*(h)x_n^\odot-x_n^\odot\rVert. $$
まず $n$ を大きくし、次に $h\downarrow0$ とすれば右辺は任意に小さくなる。よって $x^*\in X^\odot$ であり、$X^\odot$ は閉じている。
次に $x^\odot\in X^\odot$ と $t\ge0$ に対し、半群則より
$$ \lVert T^*(h)T^*(t)x^\odot-T^*(t)x^\odot\rVert \le \lVert T(t)\rVert\, \lVert T^*(h)x^\odot-x^\odot\rVert\longrightarrow0. $$
したがって $T^*(t)x^\odot\in X^\odot$ である。$\square$

標準埋め込みと半群の交換

任意の $t\ge0$ について
$$ T^{\odot *}(t)j=jT(t) $$
であり、特に $j(X)\subseteq X^{\odot\odot}$ である。

$x\in X$ と $x^\odot\in X^\odot$ に対し
$$ \langle T^{\odot *}(t)jx,x^\odot\rangle =\langle jx,T^\odot(t)x^\odot\rangle =\langle T^*(t)x^\odot,x\rangle =\langle x^\odot,T(t)x\rangle =\langle jT(t)x,x^\odot\rangle. $$
ゆえに交換関係が成り立つ。また $\lVert j\rVert\le1$ と $T(t)x\to x$ より
$$ \lVert T^{\odot *}(h)jx-jx\rVert =\lVert j(T(h)x-x)\rVert \le\lVert T(h)x-x\rVert\longrightarrow0. $$
したがって $jx\in X^{\odot\odot}$ である。$\square$

生成作用素による記述

$A^*$ を $A$ の共役作用素とすると
$$ X^\odot=\overline{D(A^*)}^{\lVert\cdot\rVert}. $$
さらに $T^\odot$ の生成作用素 $A^\odot$ は $A^*$ の $X^\odot$ における部分であり、
$$ D(A^\odot)=\{x^*\in D(A^*)\mid A^*x^*\in X^\odot\}, \qquad A^\odot x^*=A^*x^* $$
である。

証明の所在

これは Phillips の双対半群定理であり、CDGHT87 Theorem 2.3 に証明の参照と正確な記述がある。本記事では再証明しない。閉包は $X^*$ のノルム閉包であり、弱$^*$閉包ではない。

レゾルベントによる特徴づけ

$\lambda\in\rho(A)$ とする。$X$ が $T$ に関して sun-回帰的であることと、レゾルベント
$$ R(\lambda,A)=(\lambda I-A)^{-1}\colon X\to X $$
が弱コンパクト作用素であることは同値である。一つの $\lambda\in\rho(A)$ で成り立てば、レゾルベント恒等式によりすべての $\lambda\in\rho(A)$ で成り立つ。

Phillips–de Pagterの定理

Phillips の旧特徴づけは $\sigma(X,X^\odot)$ に関する相対的なコンパクト性を用いる（CDGHT87 Theorem 2.7）。de Pagter はこれを通常の弱コンパクト性へ強めた（Pag89）。定理名と適用範囲を混同しないため、本記事では強い形を de Pagter の結果として引用する。

sun双対との対称性

$X$ が $T$ に関して sun-回帰的であることと、$X^\odot$ が $T^\odot$ に関して sun-回帰的であることは同値である。

証明の所在

CDGHT87 Theorem 2.8 に譲る。ここで右辺の sun-回帰性は、Banach空間 $X^\odot$ とその $C_0$-半群 $T^\odot$ の組について定義される。

変分定数公式への応用

sun-回帰性が有用なのは、通常の有界作用素 $B\colon X\to X$ より広い摂動を扱えるからである。$T_0$ を $X$ 上の $C_0$-半群とし、$X$ が $T_0$ に関して sun-回帰的であるとする。任意の有界線形作用素 $B\colon X\to X^{\odot *}$ に対し、
$$ T(t)x=T_0(t)x+ \int_0^t T_0^{\odot *}(t-s)BT(s)x\,ds $$
は $X$ 上の $C_0$-半群 $T$ を一意に定める。積分はまず $X^{\odot *}$ の弱$^*$積分として定義されるが、sun-回帰性により値が $j(X)$ に戻る。厳密な構成、逐次近似による存在と一意性、および生成作用素の記述は CDGHT87 §§3–4、特に Theorems 3.2, 4.2 に譲る。
この枠組みは遅延微分方程式や構造化個体群モデルで、摂動項が元の状態空間 $X$ の外の $X^{\odot *}$ に自然に値を取る場合に使われる。sun-回帰性は積分後の値が状態空間へ戻ることを保証する条件である。