日比環
概要
日比環（Hibi ring）とは、体 $K$ と有限分配束 $L$ について、束の元を変数とする多項式環を、比較できない 2 元の積 $x_\alpha x_\beta$ を交わりと結びの積 $x_{\alpha\wedge\beta}x_{\alpha\vee\beta}$ に等しいとおく関係式で割った次数付き環である。$L$ を半順序集合 $P$ の下方集合の束とみると、日比環は単項式 $t\prod_{p\in\alpha}y_p$ が生成する多項式環の部分環と同型で、鎖の単項式が基底になる。ここから整域であること、次元が $\lvert P\rvert+1$ であること、整閉であること、各次数の次元が順序多面体の格子点の個数であることが従う。分配束でない束では整域にならない。
日比環（Hibi ring）とは、有限の分配束 $L$ と体 $K$ から作る次数付き環
$$
K[L]=K[x_\alpha\mid\alpha\in L]\,/\,\bigl(x_\alpha x_\beta-x_{\alpha\wedge\beta}\,x_{\alpha\vee\beta}\ \bigm|\ \alpha,\beta\in L\bigr)
$$
のことである。束の元を変数とし、比較できない 2 元の積を、その交わりと結びの積に「まっすぐに直す」関係式だけを課す。日比孝之（Takayuki Hibi）が 1987 年に導入し、可換環論と組合せ論を結ぶ代表的な例になった。
有限分配束は、ある有限の半順序集合 $P$ の下方集合の束 $\mathcal O(P)$ と同型である（分配束 の定理「有限分配束の表現定理（Birkhoff）」）。この見方では、日比環は多項式環 $K[t,y_p\mid p\in P]$ の中で単項式 $t\prod_{p\in\alpha}y_p$（$\alpha$ は下方集合）が生成する部分環と同型になる。この記事では、この同型を、関係式で積を書き直す手続きと、単項式の指数から鎖を読み戻す計算で証明する。そこから、日比環が整域で、次元が $\lvert P\rvert+1$ で、整閉であること、各次数の次元が $L$ の多重鎖の個数（順序多面体の格子点の個数）であることが従う。
| 結果 | 内容 | 仮定 |
|---|---|---|
| lem-hibi-straightening | 単項式は鎖の単項式に書き直せる | 有限分配束 |
| lem-hibi-chains | 鎖の単項式の像は相異なり、順序を逆にする関数と対応する | 有限半順序集合 |
| thm-hibi-main | $K[L]$ は単項式の部分環と同型で、鎖の単項式が基底 | 有限分配束 |
| cor-hibi-dimension | 整域、次元 $\lvert P\rvert+1$、各次数の次元は多重鎖の個数 | 有限分配束 |
| prop-hibi-normal | $K[L]$ は整閉整域 | 有限分配束 |
定義
この記事を通して $K$ を体とする。半順序集合 $P$ の部分集合 $\alpha$ が下方集合（順序イデアル）であるとは、$p\in\alpha$、$q\le p$ ならば $q\in\alpha$ となることをいう。$P$ の下方集合の全体を包含で順序づけたものを $\mathcal O(P)$ と書く。$\emptyset$ と $P$ も下方集合である。下方集合の共通部分と和集合は下方集合なので、$\mathcal O(P)$ は $\wedge=\cap$、$\vee=\cup$ による分配束である。
$L$ を空でない有限分配束とする。$L$ の元 $\alpha$ ごとに変数 $x_\alpha$ を用意し、多項式環 $S_L:=K[x_\alpha\mid\alpha\in L]$ を考える。$\alpha,\beta\in L$ について
$$
f_{\alpha,\beta}:=x_\alpha x_\beta-x_{\alpha\wedge\beta}\,x_{\alpha\vee\beta}
$$
とおき、$f_{\alpha,\beta}$ の全体が生成するイデアルを $I_L$ とする。商環 $K[L]:=S_L/I_L$ を、$L$ の $K$ 上の日比環という。各 $x_\alpha$ に次数 $1$ を与えると、$I_L$ は斉次イデアルなので $K[L]$ は次数付き環になる。
$\alpha\le\beta$ なら $\alpha\wedge\beta=\alpha$、$\alpha\vee\beta=\beta$ なので $f_{\alpha,\beta}=0$ である。したがって $I_L$ は、比較できない組 $\alpha,\beta$ についての $f_{\alpha,\beta}$ だけで生成される。$L$ が全順序集合（鎖）なら $I_L=0$ で、$K[L]$ は $\lvert L\rvert$ 変数の多項式環である。
分配束 の表現定理により、$L$ の結合既約元の全体を $P$ とすると $L\cong\mathcal O(P)$ であり、束の同型は変数の付け替えで $I_L$ を $I_{\mathcal O(P)}$ に移す。以下では $L=\mathcal O(P)$ とし、$P$ を有限の半順序集合とする。このとき $\lvert P\rvert$ は $L$ の結合既約元の個数である。
記号。 $T:=K[t,y_p\mid p\in P]$ を $\lvert P\rvert+1$ 変数の多項式環とし、下方集合 $\alpha$ に単項式
$$
u_\alpha:=t\prod_{p\in\alpha}y_p\in T
$$
を対応させる（$u_\emptyset=t$）。$K$ 代数の準同型 $\varphi\colon S_L\to T$ を $\varphi(x_\alpha):=u_\alpha$ で定める。関数 $c\colon P\to\mathbb Z_{\ge0}$ と $k\ge0$ について $t^ky^c:=t^k\prod_{p\in P}y_p^{c(p)}$ と書く。関数 $c$ が順序を逆にするとは、$p\le q$ ならば $c(p)\ge c(q)$ となることをいう。
$S_L$ の単項式 $x_{\alpha_1}x_{\alpha_2}\cdots x_{\alpha_k}$ は、$L$ の元の重複を許す集まり（多重集合）$\{\alpha_1,\dots,\alpha_k\}$ と一対一に対応する。添字を並べ替えて $\alpha_1\subseteq\alpha_2\subseteq\cdots\subseteq\alpha_k$ とできるとき、この単項式を鎖の単項式という。この並びを長さ $k$ の多重鎖という（等号を許す）。
主定理：単項式の部分環としての表示
まず、どの単項式も $I_L$ を法として鎖の単項式に書き直せることを示す。
$S_L$ の次数 $k$ の単項式は、$I_L$ を法として、次数 $k$ のある鎖の単項式と合同である。とくに、$K[L]$ の次数 $k$ の部分は、次数 $k$ の鎖の単項式の像で張られる。
単項式 $m=x_{\alpha_1}\cdots x_{\alpha_k}$ に整数 $\Phi(m):=\sum_{i=1}^k\lvert\alpha_i\rvert^2$ を対応させる。$\Phi(m)\le k\lvert P\rvert^2$ である。
$m$ が鎖の単項式でないとすると、比較できない 2 つの添字 $\alpha=\alpha_i$、$\beta=\alpha_j$（$i\ne j$）がある。$m=m'x_\alpha x_\beta$ と書き、$\tilde m:=m'x_{\alpha\cap\beta}x_{\alpha\cup\beta}$ とおくと、$m-\tilde m=m'f_{\alpha,\beta}\in I_L$ である。$a:=\lvert\alpha\cap\beta\rvert$、$r:=\lvert\alpha\setminus\beta\rvert$、$s:=\lvert\beta\setminus\alpha\rvert$ とおくと、比較できないので $r,s\ge1$ であり、
$$
\Phi(\tilde m)-\Phi(m)=a^2+(a+r+s)^2-(a+r)^2-(a+s)^2=2rs>0
$$
となる。$\tilde m$ の次数は $k$ のままである。この置き換えを続けると $\Phi$ は真に増え、上から $k\lvert P\rvert^2$ で抑えられるので、有限回で止まる。止まったときの単項式は、どの 2 つの添字も比較できるので、添字が包含で一列に並び、鎖の単項式である。各段の差は $I_L$ に入るので、最初の $m$ と合同である。$K[L]$ の次数 $k$ の部分は次数 $k$ の単項式の像で張られるので、後半が従う。$\square$
次に、鎖の単項式の $\varphi$ による像を調べる。
$k\ge0$ とする。多重鎖 $\alpha_1\subseteq\cdots\subseteq\alpha_k$ に対し
$$
\varphi(x_{\alpha_1}\cdots x_{\alpha_k})=u_{\alpha_1}\cdots u_{\alpha_k}=t^ky^c,\qquad c(p):=\#\{i\mid p\in\alpha_i\}
$$
である。対応（多重鎖）$\mapsto c$ は、長さ $k$ の多重鎖の全体から、順序を逆にする関数 $c\colon P\to\{0,1,\dots,k\}$ の全体への全単射である。とくに、相異なる次数 $k$ の鎖の単項式の像は相異なる単項式である。
$u_\alpha$ の定義から、積の $y_p$ の指数は $p$ を含む $\alpha_i$ の個数で、$t$ の指数は $k$ である。$p\le q$ で $q\in\alpha_i$ なら、$\alpha_i$ は下方集合なので $p\in\alpha_i$ である。よって $c(p)\ge c(q)$ で、$c$ は順序を逆にし、値は $0$ 以上 $k$ 以下である。
逆を作る。$\alpha_1\subseteq\cdots\subseteq\alpha_k$ なので、$p\in\alpha_i$ となる $i$ の全体は $\{k-c(p)+1,\dots,k\}$ の形の区間である。したがって
$$
\alpha_i=\{p\in P\mid c(p)\ge k-i+1\}
$$
であり、多重鎖は $c$ から決まる。対応は単射である。全射を示す。順序を逆にする $c\colon P\to\{0,\dots,k\}$ が与えられたとき、$\beta_j:=\{p\mid c(p)\ge j\}$（$1\le j\le k$）とおく。$p\in\beta_j$、$q\le p$ なら $c(q)\ge c(p)\ge j$ なので $\beta_j$ は下方集合で、$\beta_k\subseteq\beta_{k-1}\subseteq\cdots\subseteq\beta_1$ である。$\alpha_i:=\beta_{k-i+1}$ とおくと多重鎖で、$p\in\alpha_i$ となる $i$ の個数は $c(p)\ge j$ となる $j\in\{1,\dots,k\}$ の個数、すなわち $c(p)$ である。$\square$
2 つの補題を合わせると主定理が得られる。
$P$ を有限の半順序集合、$L=\mathcal O(P)$ とする。
- $\ker\varphi=I_L$ である。したがって $\varphi$ は同型 $K[L]\cong K[u_\alpha\mid\alpha\in L]\subseteq T$ を引き起こす。
- 鎖の単項式の像は $K[L]$ の $K$ 上の基底である。
- $K[u_\alpha\mid\alpha\in L]$ の次数 $k$ の部分（$\varphi$ は次数 $k$ の元を $t$ について $k$ 次の元に移す）は、順序を逆にする $c\colon P\to\{0,\dots,k\}$ についての単項式 $t^ky^c$ を基底にもつ。
$\alpha,\beta\in L$ について、$p\in P$ が $\alpha$、$\beta$ に入る回数の和は、$\alpha\cap\beta$、$\alpha\cup\beta$ に入る回数の和に等しい（両方に入れば $2$、片方なら $1$、どちらにもなければ $0$）。よって $u_\alpha u_\beta=u_{\alpha\cap\beta}u_{\alpha\cup\beta}$ で、$\varphi(f_{\alpha,\beta})=0$、すなわち $I_L\subseteq\ker\varphi$ である。
$f\in\ker\varphi$ とする。$f$ を斉次成分に分け、各成分に lem-hibi-straightening を当てると、$f\equiv g:=\sum_m a_mm\pmod{I_L}$（$m$ は相異なる鎖の単項式、$a_m\in K$）と書ける。$I_L\subseteq\ker\varphi$ なので $\varphi(g)=\varphi(f)=0$ である。$\varphi$ は次数を保つ（$x_\alpha$ も $u_\alpha$ も $t$ について次数 $1$）ので、次数ごとに見てよく、lem-hibi-chains により相異なる鎖の単項式の像は相異なる単項式である。相異なる単項式は線形独立なので、すべての $a_m=0$、$g=0$ となり、$f\in I_L$ である。よって 1 が成り立つ。
2 は、鎖の単項式の像が $K[L]$ を張ること（lem-hibi-straightening）と、1 の同型で線形独立な単項式に移ること（lem-hibi-chains）から従う。3 は 2 と lem-hibi-chains の全単射から従う。$\square$
日比環は Gröbner基底 の言葉でも述べられる。上の証明は、2 次の二項式 $f_{\alpha,\beta}$ による書き直しが鎖の単項式で止まり、鎖の単項式が線形独立であることを示している。このように、比較できない元の積を「より小さい元を含む」標準単項式の和に書き直せ、標準単項式が基底になる次数付き環を、半順序集合の上の ASL（algebra with straightening laws）という。日比は $K[L]$ が $L$ の上の ASL であることを示し、それを使って性質を調べた。
帰結
$L=\mathcal O(P)$ とする。
- $K[L]$ は整域である。
- $K[L]$ の商体は $K(t,y_p\mid p\in P)$ であり、$\dim K[L]=\lvert P\rvert+1$ である。
- $K[L]$ の次数 $k$ の部分の次元 $H(k)$ は、$L$ の長さ $k$ の多重鎖の個数であり、順序を逆にする関数 $c\colon P\to\{0,\dots,k\}$ の個数に等しい。
1 は thm-hibi-main の 1 による。$K[L]$ は整域 $T$ の部分環と同型である。
2。$u_\emptyset=t$ は $K[L]$ に入る。$p\in P$ について、$\mathord{\downarrow}p:=\{q\mid q\le p\}$ と $\mathord{\downarrow}p\setminus\{p\}$ はどちらも下方集合であり（後者は、$q< p$ の元の下にある元がまた $p$ より小さいことによる）、$u_{\mathord{\downarrow}p}/u_{\mathord{\downarrow}p\setminus\{p\}}=y_p$ である。よって商体は $t$ と $y_p$ をすべて含み、$K(t,y_p)$ に一致する。その $K$ 上の 超越次数 は $\lvert P\rvert+1$ であり、$K[L]$ は $K$ 上有限生成な整域なので、Krull次元 の定理「体上有限生成な環の次元」の 2 により $\dim K[L]=\lvert P\rvert+1$ である。
3 は thm-hibi-main の 2・3 と lem-hibi-chains による。$\square$
3 の数え方を幾何の言葉で言い直す。$\mathrm{Ord}(P):=\{a\in[0,1]^P\mid p\le q\Rightarrow a(p)\ge a(q)\}$ とおくと、$c\colon P\to\mathbb Z$ が順序を逆にして $0\le c\le k$ を満たすことは、$c$ が $k\,\mathrm{Ord}(P)$ の格子点であることと同じである。よって $H(k)=\lvert k\,\mathrm{Ord}(P)\cap\mathbb Z^P\rvert$ である。$\mathrm{Ord}(P)$ は、順序を逆にした半順序集合 $P^{\mathrm{op}}$ について Stanley が定めた順序多面体 $\mathcal O(P^{\mathrm{op}})$（記号が下方集合の束と同じなので、この記事では $\mathrm{Ord}$ と書く）にほかならない。順序多面体は $P^{\mathrm{op}}$ の上方集合、すなわち $P$ の下方集合の特性ベクトルの凸包であり、その $k$ 倍の格子点の個数は順序多項式 $\Omega_{P^{\mathrm{op}}}(k+1)$ に等しい（Sta12 Example 4.6.17, pp. 571–572）。したがって日比環の Hilbert関数 は、順序多面体の Ehrhart多項式 に一致する。
$K[L]$ は 整閉整域 である。
要点：$K[L]$ はちょうど指数が有限個の 1 次不等式を満たす単項式で張られるので、Laurent 多項式環と、各不等式が定める付値環との共通部分になる。
詳しい証明を開く
$A:=K[u_\alpha\mid\alpha\in L]$ とし、$T':=K[t^{\pm1},y_p^{\pm1}]$ を Laurent 多項式環とする。$\mathbb Z^{1+P}$ の元 $e=(k,c)$ を単項式 $t^ky^c$ の指数とみる。次の有限個の 1 次式 $\ell_1,\dots,\ell_N$ を考える：$k$ 自身、各 $p$ について $k-c(p)$ と $c(p)$、$p< q$ となる各組について $c(p)-c(q)$。thm-hibi-main の 3 により、$T'$ の単項式 $t^ky^c$ が $A$ に入るのは、すべての $j$ で $\ell_j(k,c)\ge0$ となるとき、かつそのときに限る（$P$ が空でなければ $\ell=k$ の条件は $k\ge c(p)\ge0$ から従うが、$P=\emptyset$ の場合のために入れておく）。$A$ は単項式の基底をもつので、$T'$ の元が $A$ に入るのは、その元に現れる単項式がすべて $A$ に入るときに限る。
付値。1 次式 $\ell$ と $0$ でない $f\in T'$ について、$v_\ell(f)$ を $f$ に現れる単項式の指数 $e$ での $\ell(e)$ の最小値とする。$f$ のうち $\ell$ がこの最小値をとる項の和を $f_0$、$g$ について同様に $g_0$ とおくと、$fg$ のうち $\ell$ が $v_\ell(f)+v_\ell(g)$ をとる項の和は $f_0g_0$ で、$T'$ は整域なので $f_0g_0\ne0$ である。それより小さい値の項はない。よって $v_\ell(fg)=v_\ell(f)+v_\ell(g)$ である。また $v_\ell(f+g)\ge\min(v_\ell(f),v_\ell(g))$ である。$v_\ell(f/g):=v_\ell(f)-v_\ell(g)$ とおくと、商体 $F:=K(t,y_p)$ の $0$ でない元の上で矛盾なく定まり、同じ 2 つの性質をもつ。2 つ目の性質を $f=(f+g)-g$ に当てると、$v_\ell(f)\ne v_\ell(g)$ なら $v_\ell(f+g)=\min(v_\ell(f),v_\ell(g))$ である。$V_\ell:=\{0\}\cup\{h\in F^\times\mid v_\ell(h)\ge0\}$ は $F$ の部分環である。
$V_\ell$ は $F$ の中で整閉。$h\in F^\times$ が $h^n+a_1h^{n-1}+\cdots+a_n=0$（$a_i\in V_\ell$）を満たし、$v_\ell(h)<0$ とすると、$i\ge1$ で $v_\ell(a_ih^{n-i})\ge(n-i)v_\ell(h)>nv_\ell(h)$ なので、上の等号の場合を繰り返し使って左辺の $v_\ell$ は $nv_\ell(h)$ となり、左辺が $0$ であることに反する。よって $h\in V_\ell$ である。
共通部分。$A=T'\cap V_{\ell_1}\cap\cdots\cap V_{\ell_N}$ である。実際、$A$ の元の単項式はすべて $\ell_j\ge0$ を満たすので $\subseteq$ が成り立つ。逆に $f\in T'$ がすべての $j$ で $v_{\ell_j}(f)\ge0$ なら、$f$ の各単項式の指数 $e$ は $\ell_j(e)\ge v_{\ell_j}(f)\ge0$ を満たすので、各単項式が $A$ に入り、$f\in A$ である。
結論。$T'$ は多項式環 $T$ の $ty_{p_1}\cdots y_{p_n}$ による局所化であり、多項式環は一意分解整域なので、整閉整域 の定理「一意分解整域の整閉性」と「整閉整域の局所化」により $T'$ は整閉である。cor-hibi-dimension の 2 により $A$ の商体は $F$ で、$T'$ の商体も $F$ である。$h\in F$ が $A$ 上整なら、$A\subseteq T'$、$A\subseteq V_{\ell_j}$ なので $h$ は $T'$ 上でも各 $V_{\ell_j}$ 上でも整であり、$h\in T'\cap\bigcap_jV_{\ell_j}=A$ となる。$\square$
- 日比は ASL の理論を使って、$K[L]$ が Cohen–Macaulay環 であることを示した。さらに、$K[L]$ の標準加群は、$P$ に最小元 $-\infty$ と最大元 $+\infty$ を付け足した $\hat P$ の上の、$+\infty$ で $0$ になる狭義に順序を逆にする関数 $\delta\colon\hat P\to\mathbb Z_{\ge0}$ についての単項式 $t^{\delta(-\infty)}y^{\delta|_P}$ が生成するイデアルと同型である。ここから、$K[L]$ が Gorenstein環 であることと、$P$ の極大な鎖の長さ（元の個数から $1$ を引いたもの）がすべて等しいこと（$P$ が純であること）が同値になる。$a$ 不変量は $-(\operatorname{rank}P+2)$ で、$\operatorname{rank}P$ は $P$ の鎖の長さの最大値である（HHS16 §5, p. 19。$K[L]$ の正規性・次元もここにまとめられている。ASL の構造をもつことと Cohen–Macaulay 性は EHS14 序文, p. 1）。この記事ではこれらを証明しない。
- Hilbert 級数を $h(z)/(1-z)^{\lvert P\rvert+1}$（$h$ は多項式）と書くと、$h$ の次数は $\lvert P\rvert-\operatorname{rank}P-1$ である。これは $I_L$ の Castelnuovo–Mumford 正則数が $\lvert P\rvert-\operatorname{rank}P$ であるという定理（EHS14 Theorem 1.1, p. 2）を、$K[L]$ が Cohen–Macaulay であることと合わせて言い直したものである。この記事ではこれを証明しない。
例
$P=\{p,q\}$ を比較できない 2 元とすると、$L=\mathcal O(P)=\{\emptyset,\{p\},\{q\},\{p,q\}\}$ で、比較できない組は $\{p\},\{q\}$ だけである。よって
$$
K[L]=K[x_\emptyset,x_p,x_q,x_{pq}]/(x_px_q-x_\emptyset x_{pq})
$$
は 2 次超曲面で、thm-hibi-main の同型は $x_\emptyset\mapsto t$、$x_p\mapsto ty_p$、$x_q\mapsto ty_q$、$x_{pq}\mapsto ty_py_q$ である。順序を逆にする関数 $c\colon P\to\{0,\dots,k\}$ は値の組 $(c(p),c(q))$ を自由に選べるので $H(k)=(k+1)^2$、Hilbert 級数は $(1+z)/(1-z)^3$ で、次元は $3=\lvert P\rvert+1$ である。
一般に $P$ が $n$ 元の反鎖なら $L$ は $n$ 元集合の冪集合の束（Boole束）で、$H(k)=(k+1)^n$ である。
$a,b\ge1$ とし、$P$ を $a$ 元の鎖 $p_1< \cdots< p_a$ と $b$ 元の鎖 $q_1< \cdots< q_b$ の互いに比較できない和とする。下方集合は $\{p_1,\dots,p_i,q_1,\dots,q_j\}$（$0\le i\le a$、$0\le j\le b$）の形に限られ、これを $(i,j)$ と書くと、$L$ は成分ごとの順序をもつ $\{0,\dots,a\}\times\{0,\dots,b\}$ である。$(i,l)$ と $(k,j)$ が比較できないのは、$i< k$、$j< l$（またはその逆）のときで、交わりは $(i,j)$、結びは $(k,l)$ である。よって
$$
f_{(i,l),(k,j)}=x_{il}x_{kj}-x_{ij}x_{kl}=-\det\begin{pmatrix}x_{ij}&x_{il}\\x_{kj}&x_{kl}\end{pmatrix}
$$
であり、$I_L$ は $(a+1)\times(b+1)$ の変数の行列 $(x_{ij})$ の $2\times2$ 小行列式の全体が生成するイデアルである。Segre埋め込み の定理「Segre 多様体の定義イデアル」により、$K[L]$ は $\mathbb P^a\times\mathbb P^b$ の Segre 埋め込みの像の斉次座標環である。次元は $a+b+1=\lvert P\rvert+1$ で、順序を逆にする関数は 2 本の鎖の上で独立に選べるので $H(k)=\binom{k+a}{a}\binom{k+b}{b}$ である。$P$ の極大な鎖は 2 本の鎖そのもので長さは $a-1$ と $b-1$ なので、rem-hibi-cm-gorenstein の 1 により、$K[L]$ が Gorenstein であるのは $a=b$ のときに限る。
$P=\{p< q\}\sqcup\{r\}$（$r$ は $p,q$ と比較できない）とする。順序を逆にする $c\colon P\to\{0,\dots,k\}$ は、$c(p)\ge c(q)$ を満たす組 $\binom{k+2}{2}$ 通りと $c(r)$ の $k+1$ 通りの組なので、$H(k)=\binom{k+2}{2}(k+1)$、すなわち $H(0),H(1),\dots=1,6,18,40,75,\dots$ である。$\sum_kH(k)z^k\cdot(1-z)^4$ を計算すると $1+2z$ となり、Hilbert 級数は $(1+2z)/(1-z)^4$ である。$h(z)=1+2z$ の次数は $1=\lvert P\rvert-\operatorname{rank}P-1$ で、rem-hibi-cm-gorenstein の 2 と合う。極大な鎖 $\{p,q\}$ と $\{r\}$ の長さが $1$ と $0$ で異なるので $P$ は純でなく、rem-hibi-cm-gorenstein の 1 により $K[L]$ は Gorenstein でない。
反例：分配束でない束
def-hibi-ring の式は、分配束でない有限束 $L$ についても $S_L/I_L$ を定める。しかしこのとき thm-hibi-main の結論は崩れる。分配束でない束は菱形 $M_3$ か五角形 $N_5$ を部分束に含む（分配束 の定理「菱形と五角形による分配束の特徴づけ」）ので、この 2 つで確かめる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $L$ が分配束 | 五角形 $N_5$ | $S_L/I_L$ が整域であること |
| $L$ が分配束 | 菱形 $M_3$ | $S_L/I_L$ が整域であること |
五角形。 $N_5$ を、鎖 $0< a< b<1$ と、$0< c<1$ で $a,b$ のどちらとも比較できない $c$ からなる束とする。比較できない組は $\{a,c\}$ と $\{b,c\}$ で、交わりはどちらも $0$、結びはどちらも $1$ である。よって
$$
f_{a,c}-f_{b,c}=x_ax_c-x_bx_c=x_c(x_a-x_b)\in I_L
$$
である。$I_L$ は 2 次の斉次式で生成されるので、次数 $1$ の $0$ でない元を含まない。したがって $x_c$ と $x_a-x_b$ の像は $S_L/I_L$ で $0$ でなく、積が $0$ になるので、$S_L/I_L$ は整域でない。lem-hibi-straightening の書き直しは $x_ax_c$ と $x_bx_c$ をどちらも $x_0x_1$ に移し、鎖の単項式の一意性が失われている。
菱形。 $M_3$ を、$0< a,b,c<1$ で $a,b,c$ が互いに比較できない束とすると、どの 2 つの交わりも $0$、結びも $1$ である。$f_{a,b}-f_{a,c}=x_a(x_b-x_c)\in I_L$ で、上と同じ理由で $S_L/I_L$ は整域でない。一般の分配束でない有限束 $L$ でも、$N_5$ か $M_3$ と同型な部分束の元で同じ式を作ると、部分束の交わりと結びは $L$ のものと同じなので同じ元が $I_L$ に入り、次数 $1$ の因子はどちらも $0$ でないので、$S_L/I_L$ は整域でない。$\square$
補足
日比孝之（Takayuki Hibi）は、1987 年の論文で分配束に付随するこの環を導入し、ASL であること、Cohen–Macaulay であること、Gorenstein になる条件を示した（HHS16 §5, p. 19 と EHS14 の序文による）。今日では、この環は「日比環」と呼ばれている。thm-hibi-main の像は単項式で生成される環（トーリック環）であり、日比環は格子点の数え上げと可換環論を結ぶ代表例になっている。
関連項目
- 前提: 分配束, 半順序集合, 多項式環, Krull次元, 整閉整域
- 道具: 超越次数, Gröbner基底, 付値環, Hilbert関数
- 例: Segre埋め込み, Ehrhart多項式
- 比較: Cohen–Macaulay環, Gorenstein環, モノイド環, トーリック多様体
参考文献
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