Nicomedesのコンコイド

原点 $O(0,0)$ と直線 $\ell\colon x=1$ をとり、長さを $b=1$ とする。
(1) $x$ 軸（傾き $0$ の直線）は $\ell$ と $Q(1,0)$ で交わる。$x$ 軸の上で $Q$ から距離 $1$ の点は $(2,0)$ と $(0,0)$ の 2 つである。
(2) 直線 $y=x$ は $\ell$ と $Q(1,1)$ で交わる。直線 $y=x$ の向きの長さ $1$ のベクトルは $\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)$ なので、$Q$ から距離 $1$ の 2 点は
$$ \left(1+\frac1{\sqrt2},\ 1+\frac1{\sqrt2}\right)\approx(1.707,\ 1.707),\qquad \left(1-\frac1{\sqrt2},\ 1-\frac1{\sqrt2}\right)\approx(0.293,\ 0.293) $$
である。
(3) 直線 $y=-x$ は $\ell$ と $Q(1,-1)$ で交わり、同じように $(1.707,-1.707)$ と $(0.293,-0.293)$ が得られる。
傾きを少しずつ変えて点を打つと、$\ell$ の右側と左側に 1 本ずつ、合わせて 2 本の曲線が現れる。左側の曲線は (1) で原点を通っている。

$a=1$ とし、内側の枝 $(x,\ y)=(1-b\cos\varphi,\ \tan\varphi-b\sin\varphi)$ の点を、$\varphi=0,\ \dfrac\pi6,\ \dfrac\pi3$ で求める。$\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2$、$\tan\dfrac\pi6=\dfrac1{\sqrt3}$、$\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$、$\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$、$\tan\dfrac\pi3=\sqrt3$、$\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$ を使う。
(1) $b=\dfrac12$（$b< a$）のとき。

• $\varphi=0$：$\left(1-\dfrac12,\ 0\right)=\left(\dfrac12,\ 0\right)$
• $\varphi=\dfrac\pi6$：$\left(1-\dfrac{\sqrt3}4,\ \dfrac1{\sqrt3}-\dfrac14\right)\approx(0.567,\ 0.327)$
• $\varphi=\dfrac\pi3$：$\left(1-\dfrac14,\ \sqrt3-\dfrac{\sqrt3}4\right)=\left(\dfrac34,\ \dfrac{3\sqrt3}4\right)\approx(0.750,\ 1.299)$

2. $b=1$（$b=a$）のとき、$\varphi=0$ の点は $(1-1,\ 0)=(0,\ 0)$ で、原点である。
   $b=1$ のほかの点を開く

   $\varphi=\dfrac\pi6$ では $\left(1-\dfrac{\sqrt3}2,\ \dfrac1{\sqrt3}-\dfrac12\right)\approx(0.134,\ 0.077)$、$\varphi=\dfrac\pi3$ では $\left(1-\dfrac12,\ \sqrt3-\dfrac{\sqrt3}2\right)=\left(\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}2\right)$ である。

3. $b=2$（$b>a$）のとき。

• $\varphi=0$：$(1-2,\ 0)=(-1,\ 0)$。$r=1-2=-1<0$ なので、向き $0$ と反対側の点である。
• $\varphi=\dfrac\pi6$：$\left(1-\sqrt3,\ \dfrac1{\sqrt3}-1\right)\approx(-0.732,\ -0.423)$。$r=\dfrac2{\sqrt3}-2<0$ で、これも反対側にある。
• $\varphi=\dfrac\pi3$：$\left(1-1,\ \sqrt3-\sqrt3\right)=(0,\ 0)$、原点である。$\cos\dfrac\pi3=\dfrac12=\dfrac ab$ なので、thm-conc-eq (3) の証明の段 4 の $\varphi$ にあたる。
  $\varphi$ を $-\varphi$ に替えると、$x$ は変わらず $y$ は符号だけが変わる。したがってコンコイドは $x$ 軸に関して対称で、$\varphi<0$ の点は上の点を $x$ 軸で折り返せば得られる。

$\theta=60^\circ$ では $c=\dfrac12$、$s=\dfrac{\sqrt3}2$ で、コンコイドは極 $O$、基線 $x=\dfrac12$、長さ $2$ である。thm-conc-trisect によれば $\varphi=20^\circ$ で、実際に段 2 の式
$$ g(20^\circ)=\frac12\tan20^\circ+2\sin20^\circ=\frac{\sqrt3}2 $$
が成り立つ（数値では $0.18199+0.68404=0.86603$）。

• $F=\left(\dfrac12+2\cos20^\circ,\ \dfrac{\sqrt3}2\right)\approx(2.379,\ 0.866)$
• $E=\left(\dfrac12,\ \dfrac12\tan20^\circ\right)\approx(0.500,\ 0.182)$
• $M=E+(\cos20^\circ,\ \sin20^\circ)\approx(1.440,\ 0.524)$
  $M-A$ の $y$ 成分は $\dfrac12\tan20^\circ+\sin20^\circ-\dfrac{\sqrt3}2$ で、$g(20^\circ)=\dfrac{\sqrt3}2$ を使うと $-\sin20^\circ$ になる。よって $\overrightarrow{AM}=(\cos20^\circ,\ -\sin20^\circ)$ で、
  $$ MA=\sqrt{\cos^220^\circ+\sin^220^\circ}=\boxed{1} $$
  となり、段 3 の $MA=OA$ が数値でも確かめられる。

$\theta=90^\circ$ では $c=0$ で、$\ell$ は $y$ 軸になり、極 $O$ を通ってしまう。これは def-conc の「$O$ を通らない直線」の条件を外れる。同じ作り方を形式的に当てはめると、$O$ を通る直線と $\ell$ の交点はいつも $O$ 自身なので、得られる点は $O$ から距離 $2$ の点、つまり原点を中心とする半径 $2$ の円になる。
この円と直線 $m\colon y=1$ の交点のうち $x>0$ のものは $x^2+1=4$ から $(\sqrt3,\ 1)$ で、その向きの角 $\varphi$ は $\tan\varphi=\dfrac1{\sqrt3}$ より $30^\circ=\dfrac{90^\circ}3$ である。この場合は円と直線しか使っていないので、定規とコンパスで $90^\circ$ が 3 等分できる。これは $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ が作図できる数であることと合っている。

$\theta=150^\circ$ とする。$A=\left(-\dfrac{\sqrt3}2,\ \dfrac12\right)$ で、$\ell$ は $x=-\dfrac{\sqrt3}2$（$O$ の左側）、$m$ は $y=\dfrac12$ である。極 $O$、基線 $\ell$、長さ $2$ のコンコイドと $m$ の交点を数値で求めると、次の 4 つがある。

• $\ell$ に関して $O$ と反対の側（$x<-\dfrac{\sqrt3}2$）：$(-2.836,\ 0.5)$。向きの角は $170^\circ$。
• $O$ と同じ側：$(0.866,\ 0.5)$、$(0.420,\ 0.5)$、$(-0.182,\ 0.5)$。向きの角はそれぞれ $30^\circ$、$50^\circ$、$110^\circ$。
  「$\ell$ に関して $O$ と反対の側」の規則で選ぶと $\angle FOB=170^\circ$ で、$\dfrac{150^\circ}3=50^\circ$ ではない。$170^\circ=180^\circ-10^\circ$ で、$10^\circ$ は $B$ の反対側の半直線と $OA$ のなす角 $30^\circ$ の 3 分の 1 である。図を $y$ 軸で折り返すと $30^\circ$ の角に thm-conc-trisect を使った図になるので、補角の $30^\circ$ が 3 等分されたのである。$50^\circ$ の点も交点の中にあるが、$O$ と同じ側には交点が 3 つあり、「どちらの側か」だけでは選べない。
  交点で長さが $2$ になっていることの確かめを開く

  $(0.866,\ 0.5)$ は原点から向き $30^\circ$、距離 $1$ の点で、この直線は $\ell$ と $\left(-\dfrac{\sqrt3}2,\ -\dfrac12\right)$ で交わる。2 点の差は $(\sqrt3,\ 1)$ で長さ $2$ である。$(0.420,\ 0.5)$ を通る向き $50^\circ$ の直線は $\ell$ と $(-0.866,\ -1.032)$ で交わり、差 $(1.286,\ 1.532)$ の長さは $2.000$ である。$(-0.182,\ 0.5)$ を通る直線は $\ell$ と $(-0.866,\ 2.379)$ で交わり、差 $(0.684,\ -1.879)$ の長さは $2.000$ である。$(-2.836,\ 0.5)$ を通る直線は $\ell$ と $(-0.866,\ 0.153)$ で交わり、差 $(-1.970,\ 0.347)$ の長さは $2.000$ である。

$\theta=60^\circ$ で、ex-conc-60 と同じコンコイドと $m\colon y=\dfrac{\sqrt3}2$ の交点は、$F\approx(2.379,\ 0.866)$ のほかに、$\ell$ に関して $O$ と同じ側に 3 つある。
$$ (0.153,\ 0.866),\qquad \left(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\right),\qquad (-1.032,\ 0.866) $$
で、向きの角はそれぞれ $80^\circ$、$120^\circ$、$140^\circ$ である。どれも $20^\circ$ ではない。これらは内側の枝の点で、直線 $OF$ と $\ell$ の交点 $E$ が $O$ と $F$ の間に来ないので、prf-conc-trisect の段 3 の並び方が崩れる。

$\theta=60^\circ$ で、コンコイドの長さを $1$（$=OA$）にする。外側の枝と $m$ の交点は、$\dfrac12\tan\varphi+\sin\varphi=\dfrac{\sqrt3}2$ の解で、数値で解くと $\varphi\approx32.88^\circ$ である。これは $20^\circ$ ではない。このとき $EF=1$ なので、中点 $M$ について $MA=\dfrac12EF=\dfrac12$ となり、$MA=OA$ が成り立たない。prf-conc-trisect の段 4 で使った「三角形 $OAM$ は二等辺三角形」が崩れる。長さを $3$ にすると $\varphi\approx14.26^\circ$ で、これも $20^\circ$ ではない。

$a=1$、$b=\dfrac12$ のとき、原点 $(0,\ 0)$ を式 $(x-1)^2(x^2+y^2)=\dfrac14x^2$ に代入すると、左辺は $1\cdot0=0$、右辺も $0$ で、式を満たす。ところが prop-conc-shape により、$b< a$ の内側の枝は $x\ge a-b=\dfrac12$ の側にあり、外側の枝は $x>1$ の側にあるので、原点はコンコイドの上にない。thm-conc-eq (2) の逆が「原点以外の点」に限っているのはこのためである。式だけからグラフを描くと、原点に孤立した点が 1 つ余分に現れる。