Taylorの定理

$M$ を $f(x)=P_n(x)+M(x-x_0)^{n+1}$ を満たす実数とし（$x\ne x_0$ なのでただ 1 つ定まる）、
$$ g(s):=f(s)-P_n(s)-M(s-x_0)^{n+1}\qquad(s\in I) $$
とおく。$(s-x_0)^{n+1}$ の $k$ 階導関数は $k\leq n$ なら $s=x_0$ で $0$ なので、$g^{(k)}(x_0)=R_n^{(k)}(x_0)=0$（$0\leq k\leq n$）であり、さらに $M$ の定め方から $g(x)=0$ である。また $g^{(n+1)}(s)=f^{(n+1)}(s)-(n+1)!\,M$ である（$P_n$ は $n$ 次以下なので $P_n^{(n+1)}=0$）。
$y_0:=x$ とおく。$x_0$ と $y_0$ を端点とする閉区間上で、$g$ は連続で内部で微分可能、両端で $0$ なので、Rolleの定理 により $x_0$ と $y_0$ の間（両端を含まない）に $g'(y_1)=0$ となる $y_1$ がある。次に $x_0$ と $y_1$ を端点とする閉区間上で $g'$ に Rolleの定理 を使うと（$g'(x_0)=g'(y_1)=0$）、$x_0$ と $y_1$ の間に $g''(y_2)=0$ となる $y_2$ がある。これを繰り返し、$k=1,\dots,n+1$ について $x_0$ と $y_{k-1}$ の間（したがって $x_0$ と $x$ の間）に $g^{(k)}(y_k)=0$ となる $y_k$ を得る。各段で Rolleの定理 の仮定が満たされることは、$k-1< n$ なら $g^{(k-1)}$ が $I$ 上で微分可能（したがって連続）であること、$k-1=n$ なら $g^{(n)}$ が $I$ 上で連続で端点以外で微分可能であること（$x_0$ と $y_n$ の間の点は $I$ の端点でない）による。$c:=y_{n+1}$ とおくと $0=g^{(n+1)}(c)=f^{(n+1)}(c)-(n+1)!\,M$ であり、$M=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$ となる。

$n$ についての数学的帰納法で示す。$n=1$ では $\frac{R_1(x)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\to0$ であり、これは微分係数の定義そのものである。
$n\geq2$ とし、$n-1$ で主張が成り立つとする。$f'$ は $I$ 上で $n-2$ 回微分可能で、$(f')^{(n-2)}=f^{(n-1)}$ は $x_0$ で微分可能なので、$f'$ に $n-1$ の場合を使える。$f'$ の $n-1$ 次の Taylor 多項式は $P_n'$ である（$\frac{d}{dx}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k=\frac{(f')^{(k-1)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1}$）から、$R_n'=f'-P_n'$ は $f'$ の剰余項であり、帰納法の仮定により $R_n'(t)/(t-x_0)^{n-1}\to0$（$t\to x_0$）である。
$\varepsilon>0$ に対し、$t\in I$、$0<|t-x_0|<\delta$ なら $|R_n'(t)|\leq\varepsilon|t-x_0|^{n-1}$ となる $\delta>0$ をとる（$t=x_0$ でも $R_n'(x_0)=0$ なので成り立つ）。$x\in I$、$0<|x-x_0|<\delta$ とする。$R_n$ は $I$ 上で微分可能で $R_n(x_0)=0$ なので、平均値の定理 により $x_0$ と $x$ の間の $\xi$ で $R_n(x)=R_n'(\xi)(x-x_0)$ となる。$|\xi-x_0|<|x-x_0|<\delta$ なので
$$ |R_n(x)|\leq\varepsilon|\xi-x_0|^{n-1}|x-x_0|\leq\varepsilon|x-x_0|^n $$
である。$\varepsilon$ は任意なので $R_n(x)/(x-x_0)^n\to0$ である。

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ の場合は $f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(t)\,dt$ であり、微分積分学の基本定理 の記事の定理「原始関数による積分の計算」である（$x< x_0$ でも向きの約束 $\int_{x_0}^x=-\int_x^{x_0}$ により成り立つ）。
$n$ で主張が成り立つとし、$f$ が $n+2$ 回微分可能で $f^{(n+2)}$ が連続とする。$f$ は $n$ の場合の仮定も満たす。$x$ を固定する（$x< x_0$ のときは $[x,x_0]$ 上の部分積分の公式の両辺の符号を変えればよく、$x=x_0$ では両辺が $0$ なので、以下 $x>x_0$ として述べる）。$t$ の関数 $F(t):=f^{(n+1)}(t)$、$G(t):=-\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}$ を考えると、どちらも導関数が連続で $G'(t)=(x-t)^n$ である。微分積分学の基本定理 の記事の系「部分積分の公式」により
$$ \int_{x_0}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\,dt=\Bigl[-\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}f^{(n+1)}(t)\Bigr]_{t=x_0}^{t=x}+\int_{x_0}^{x}\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}f^{(n+2)}(t)\,dt $$
であり、右辺の第 1 項は $\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}f^{(n+1)}(x_0)$ である。両辺を $n!$ で割ると、$n$ の場合の剰余項が
$$ \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}+\frac{1}{(n+1)!}\int_{x_0}^{x}(x-t)^{n+1}f^{(n+2)}(t)\,dt $$
に等しいことが分かり、これを $n$ の場合の式に代入すると $n+1$ の場合の式になる。

$a_n:=|x|^n/n!$ とおき、$2|x|\leq N$ となる整数 $N\geq1$ をとる。$n\geq N$ なら $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{|x|}{n+1}\leq\frac12$ なので、$a_n\leq a_N\,2^{-(n-N)}$ であり、これは $n\to\infty$ で $0$ に近づく。

$f=\exp$ とすると $f^{(k)}=\exp$、$f^{(k)}(0)=1$ なので $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$ である。$x\ne0$ について thm-taylor-lagrange により、$0$ と $x$ の間の $c$ で $R_n(x)=\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}$ となる。$\exp$ は増加関数（導関数が正）なので $e^c\leq e^{|x|}$ であり、
$$ |R_n(x)|\leq e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0\qquad(n\to\infty) $$
が lem-taylor-factorial から従う。$\sin$ の導関数は $\cos,-\sin,-\cos,\sin$ の順に繰り返し、$0$ での値は $0,1,0,-1$ の繰り返しなので、Taylor 多項式は右辺の部分和であり、$|f^{(n+1)}(c)|\leq1$ から $|R_n(x)|\leq\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0$ となる。$\cos$ も同様である。

thm-taylor-peano（$n=2$）により、$x\ne x_0$ で $\rho(x):=\frac{R_2(x)}{(x-x_0)^2}$ とおくと $\rho(x)\to0$ であり、$f'(x_0)=0$ から
$$ f(x)-f(x_0)=\Bigl(\frac{f''(x_0)}{2}+\rho(x)\Bigr)(x-x_0)^2 $$
である。$0<|x-x_0|<\delta$ で $|\rho(x)|<\frac{f''(x_0)}{2}$ となる $\delta$ をとれば、括弧の中は正であり、$f(x)>f(x_0)$ となる。

まず、任意の整数 $m\geq0$ について $\lim_{x\to0}|x|^{-m}e^{-1/x^2}=0$ を示す。$t:=1/x^2$ とおくと $|x|^{-m}e^{-1/x^2}=t^{m/2}e^{-t}$ であり、$x\to0$ は $t\to+\infty$ に対応する。$j>m/2$ となる整数 $j$ をとると、$t>0$ で thm-taylor-exp-sin-cos の級数の各項は正なので $e^t\geq\frac{t^j}{j!}$ であり、$t^{m/2}e^{-t}\leq j!\,t^{m/2-j}\to0$ である。
次に、$x\ne0$ で $\varphi^{(k)}(x)=p_k(1/x)\,e^{-1/x^2}$ となる多項式 $p_k$ があることを $k$ についての帰納法で示す。$p_0=1$ であり、$p_k$ があれば、連鎖律 と積の微分法から
$$ \frac{d}{dx}\Bigl(p_k(1/x)\,e^{-1/x^2}\Bigr)=\Bigl(-\frac{1}{x^2}p_k'(1/x)+\frac{2}{x^3}p_k(1/x)\Bigr)e^{-1/x^2} $$
なので $p_{k+1}(u):=-u^2p_k'(u)+2u^3p_k(u)$ とすればよい。
最後に $\varphi^{(k)}(0)=0$ を帰納法で示す。$k=0$ は定義である。$\varphi^{(k)}(0)=0$ とすると、$x\ne0$ で
$$ \frac{\varphi^{(k)}(x)-\varphi^{(k)}(0)}{x}=\frac{p_k(1/x)}{x}\,e^{-1/x^2} $$
であり、右辺は $x^{-m}e^{-1/x^2}$（$m\geq0$）の形の項の有限個の定数倍の和なので、最初に示したことから $x\to0$ で $0$ に近づく。よって $\varphi^{(k)}$ は $0$ で微分可能で $\varphi^{(k+1)}(0)=0$ である。$x\ne0$ での微分可能性は上の式から分かる。