胞体ホモロジー

同義語：cellular homology胞体ホモロジー群

概要

前提知識: CW複体, 特異ホモロジー, 相対ホモロジー, 切除定理, 写像度

胞体ホモロジーは、CW複体 $X$ のホモロジーを、胞体を基底とする小さな鎖複体から計算する方法である。$n$ 次の鎖群は骨格の対の相対ホモロジー $H_n(X^n,X^{n-1})$ で、これは $n$ 胞体を基底とする自由アーベル群になる。境界写像は、各胞体の境界が一つ下の次元の胞体のまわりを何回巻くかという写像度で書ける（胞体境界公式）。この鎖複体のホモロジーは特異ホモロジーと自然に同型である。有限 CW 複体では鎖群が有限階数なので、球面・射影空間・閉曲面などのホモロジーが行列の計算に帰着する。

定義

$X$ を CW 複体とし、$X^n$ をその $n$ 骨格、$X^{-1}:=\emptyset$ とする。$X$ の $n$ 胞体の全体を $\{e^n_\alpha\}_\alpha$ とし、$e^n_\alpha$ の特性写像を $\Phi_\alpha\colon(D^n,\partial D^n)\to(X^n,X^{n-1})$、接着写像を $\varphi_\alpha:=\Phi_\alpha|_{\partial D^n}\colon S^{n-1}\to X^{n-1}$ と書く。ホモロジーは整数係数の特異ホモロジーである。

骨格の対のホモロジー

$X$ を CW 複体、$n\ge0$ とする。

$k\ne n$ なら $H_k(X^n,X^{n-1})=0$ である。$H_n(X^n,X^{n-1})$ は、$n$ 胞体 $e^n_\alpha$ ごとの元 $e_\alpha:=\Phi_{\alpha*}[D^n]$ を基底とする自由アーベル群である。ここで $[D^n]$ は $H_n(D^n,\partial D^n)\cong\mathbb{Z}$ の生成元を一つ固定したものである。
$k>n$ なら $H_k(X^n)=0$ である。
包含 $X^n\hookrightarrow X$ が誘導する $H_k(X^n)\to H_k(X)$ は、$k< n$ なら同型、$k=n$ なら全射である。

1：$(X^n,X^{n-1})$ は良い対で、$X^n/X^{n-1}$ は $n$ 胞体ごとに一つの $n$ 次元球面のウェッジ和である。よって $H_k(X^n,X^{n-1})\cong\tilde H_k(\bigvee_\alpha S^n_\alpha)\cong\bigoplus_\alpha\tilde H_k(S^n)$ であり（切除定理の記事の命題「良い対の相対ホモロジー」、ウェッジ和の被約ホモロジーは直和：Hat02 Corollary 2.25, p. 126）、$\tilde H_k(S^n)$ は $k=n$ で $\mathbb{Z}$、ほかで $0$ である。各成分の生成元は特性写像による $[D^n]$ の像にあたる。$n=0$ では $X^0$ は離散空間で、$H_0(X^0)$ は点を基底とする自由アーベル群である。
2・3（$X$ が有限次元の場合）：対 $(X^m,X^{m-1})$ の長完全列
$$ H_{k+1}(X^m,X^{m-1})\to H_k(X^{m-1})\to H_k(X^m)\to H_k(X^m,X^{m-1}) $$
と 1 から、$H_k(X^{m-1})\to H_k(X^m)$ は、$m=k$ なら単射、$m=k+1$ なら全射、それ以外なら同型である。$k>n\ge0$ なら $H_k(X^n)\cong H_k(X^{n-1})\cong\cdots\cong H_k(X^0)=0$ となり 2 が従う（$X^0$ は離散で $k>0$）。$X=X^N$ なら、$H_k(X^n)\to H_k(X^{n+1})\to\cdots\to H_k(X^N)$ の各段は $k< n$ のときすべて同型、$k=n$ のとき最初の段だけが全射で残りは同型なので、3 が従う。
3（一般の場合）：

コンパクトな台に帰着する議論を開く

特異鎖は有限個の特異単体の和で、各単体の像はコンパクトなので、有限部分複体に含まれる（CW複体の記事の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」）。よって $X$ の任意の鎖はある $X^m$ に含まれる。$k\le n$ とし、$z$ を $X$ の $k$ 輪体とすると、$z$ はある $X^m$（$m\ge n$）の輪体で、有限次元の場合を有限次元 CW 複体 $X^m$ に適用すると、$z$ は $X^m$ の中で $X^n$ の輪体とホモローグである。よって全射である。$k< n$ とし、$X^n$ の輪体 $z$ が $X$ の鎖 $c$ の境界なら、$c$ はある $X^m$（$m\ge n$）に含まれ、$[z]$ は $H_k(X^m)$ で $0$ である。有限次元の場合により $H_k(X^n)\to H_k(X^m)$ は単射なので、$[z]=0$ である。$\square$

胞体鎖複体と胞体ホモロジー

CW 複体 $X$ に対し、$C_n^{\mathrm{CW}}(X):=H_n(X^n,X^{n-1})$（$n\ge0$）、$C_n^{\mathrm{CW}}(X):=0$（$n< 0$）とおく。$\partial_n\colon H_n(X^n,X^{n-1})\to H_{n-1}(X^{n-1})$ を対の長完全列の連結準同型、$j_{n-1}\colon H_{n-1}(X^{n-1})\to H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})$ を包含が誘導する準同型として
$$ d_n:=j_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n^{\mathrm{CW}}(X)\to C_{n-1}^{\mathrm{CW}}(X) $$
と定める。$d_{n-1}\circ d_n=j_{n-2}\circ(\partial_{n-1}\circ j_{n-1})\circ\partial_n=0$ である（$\partial_{n-1}\circ j_{n-1}$ は対 $(X^{n-1},X^{n-2})$ の長完全列の連続する 2 つの写像の合成）。この鎖複体を $X$ の胞体鎖複体（cellular chain complex）、そのホモロジー
$$ H_n^{\mathrm{CW}}(X):=\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1} $$
を $X$ の胞体ホモロジー群（cellular homology group）という。

cell-lem-skeleta の 1 により、$C_n^{\mathrm{CW}}(X)$ の元は $n$ 胞体の整数係数の一次結合 $\sum_\alpha m_\alpha e_\alpha$ と思ってよい。基底 $e_\alpha$ の符号は $[D^n]$ の選び方に依存し、選び直すと対応する行と列の符号が変わるだけである。境界写像は次の 2 本の長完全列をつないだものである。
$$ \xymatrix{ H_{n+1}(X^{n+1},X^n) \ar[r]^-{\partial_{n+1}} & H_n(X^n) \ar[r]^-{j_n} & H_n(X^n,X^{n-1}) \ar[r]^-{\partial_n} & H_{n-1}(X^{n-1}) \ar[r]^-{j_{n-1}} & H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2}) } $$
$d_{n+1}=j_n\partial_{n+1}$ は左の 2 本、$d_n=j_{n-1}\partial_n$ は右の 2 本の合成である。

直感

特異鎖複体は、空間の中のあらゆる特異単体を基底とする巨大な鎖複体である。CW 複体では、空間が胞体を一つずつ貼って作られているので、「胞体の一次結合」を鎖とみなし、胞体の境界がどの胞体にどれだけ巻き付くかで境界を定めれば足りる。$H_n(X^n,X^{n-1})$ は、$n$ 骨格を $(n-1)$ 骨格でつぶした球面のウェッジ和のホモロジーであり、各球面が一つの $n$ 胞体を表す。
$n$ 次元の情報は、$n$ 骨格に $(n+1)$ 胞体を貼る段階までで確定する。$n$ 輪体は $n$ 骨格の中で見つかり、$(n+1)$ 胞体の境界によって割られ、それより高い胞体はもう $n$ 次のホモロジーを変えない。cell-lem-skeleta の 3 はこのことを述べている。

主定理

胞体ホモロジーと特異ホモロジーの同型

任意の CW 複体 $X$ と $n\in\mathbb{Z}$ について、$H_n^{\mathrm{CW}}(X)\cong H_n(X)$ である。より詳しく、$j_n\colon H_n(X^n)\to H_n(X^n,X^{n-1})$ は同型
$$ H_n(X)\cong H_n(X^n)/\operatorname{im}\partial_{n+1}\xrightarrow{\ \cong\ }\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1} $$
を誘導する。ここで左の同型は包含 $X^n\hookrightarrow X$ が誘導する。

$n< 0$ では両辺とも $0$ なので、$n\ge0$ とする。
1． cell-lem-skeleta の 3 により、包含は同型 $H_n(X^{n+1})\cong H_n(X)$ を誘導する。対 $(X^{n+1},X^n)$ の長完全列
$$ H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\xrightarrow{\partial_{n+1}}H_n(X^n)\to H_n(X^{n+1})\to H_n(X^{n+1},X^n)=0 $$
（最後の項は cell-lem-skeleta の 1）から、$H_n(X^{n+1})\cong H_n(X^n)/\operatorname{im}\partial_{n+1}$ である。
2．対 $(X^n,X^{n-1})$ の長完全列 $H_n(X^{n-1})\to H_n(X^n)\xrightarrow{j_n}H_n(X^n,X^{n-1})\xrightarrow{\partial_n}H_{n-1}(X^{n-1})$ において、$H_n(X^{n-1})=0$（cell-lem-skeleta の 2、$n=0$ では $X^{-1}=\emptyset$）なので、$j_n$ は単射で、$\operatorname{im}j_n=\ker\partial_n$ である。
3．同じ理由で $j_{n-1}$ も単射なので、$\ker d_n=\ker(j_{n-1}\partial_n)=\ker\partial_n=\operatorname{im}j_n$ である（$n=0$ では $d_0=0$、$\partial_0=0$ でこれも成り立つ）。
4． $j_n$ は単射で、部分群 $\operatorname{im}\partial_{n+1}$ を $\operatorname{im}(j_n\partial_{n+1})=\operatorname{im}d_{n+1}$ の上へ写す。よって $j_n$ は $H_n(X^n)\cong\operatorname{im}j_n=\ker d_n$ を誘導し、商をとって $H_n(X^n)/\operatorname{im}\partial_{n+1}\cong\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1}$ を与える。1 と合わせて主張を得る。$\square$

胞体境界公式

境界写像 $d_n$ は、接着写像の写像度で計算できる。$n\ge2$ とし、$(n-1)$ 胞体 $e^{n-1}_\beta$ について、$X^{n-1}$ から $e^{n-1}_\beta$ の外側（$X^{n-1}\setminus e^{n-1}_\beta$）を一点につぶす商写像を $q_\beta\colon X^{n-1}\to S^{n-1}_\beta$ と書く。ここで商空間は、特性写像 $\Phi_\beta$ によって $D^{n-1}/\partial D^{n-1}\cong S^{n-1}$ と同一視する。

胞体境界公式

$n\ge2$ とする。$n$ 胞体 $e^n_\alpha$ について
$$ d_n(e_\alpha)=\sum_\beta d_{\alpha\beta}\,e_\beta,\qquad d_{\alpha\beta}:=\deg\bigl(q_\beta\circ\varphi_\alpha\colon S^{n-1}\to X^{n-1}\to S^{n-1}_\beta\bigr) $$
であり、右辺は有限和である。$n=1$ では、$1$ 胞体 $e^1_\alpha$ の特性写像を $\Phi_\alpha\colon[-1,1]\to X^1$ とすると $d_1(e_\alpha)=\Phi_\alpha(1)-\Phi_\alpha(-1)$（$0$ 胞体の差）である。写像度の向きは、$[D^n]$ の連結準同型による像 $\partial[D^n]\in H_{n-1}(S^{n-1})$ と、$[D^{n-1}]$ が定める $\tilde H_{n-1}(S^{n-1}_\beta)$ の生成元で測る。

要点：特性写像は対の写像なので連結準同型と可換であり、$d_n(e_\alpha)$ は接着写像が送る $\partial[D^n]$ の像になる。その $\beta$ 成分を読み出すのが $q_\beta$ である。

詳しい証明を開く

対の写像 $\Phi_\alpha\colon(D^n,\partial D^n)\to(X^n,X^{n-1})$ に連結準同型の自然性を使うと、$\partial_n(e_\alpha)=\partial_n\Phi_{\alpha*}[D^n]=\varphi_{\alpha*}(\partial[D^n])$ である。よって $d_n(e_\alpha)=j_{n-1}\varphi_{\alpha*}(\partial[D^n])$ である。良い対 $(X^{n-1},X^{n-2})$ の同型 $H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})\cong\tilde H_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2})=\tilde H_{n-1}(\bigvee_\gamma S^{n-1}_\gamma)\cong\bigoplus_\gamma\tilde H_{n-1}(S^{n-1}_\gamma)$ のもとで、$\beta$ 成分への射影は、$\beta$ 以外の球面をつぶす写像 $\bigvee_\gamma S^{n-1}_\gamma\to S^{n-1}_\beta$ が誘導する（ウェッジ和の直和分解は各成分の包含で与えられ、つぶす写像は自分の成分では恒等写像、ほかの成分では定値写像だから）。$X^{n-1}\to X^{n-1}/X^{n-2}\to S^{n-1}_\beta$ の合成は $q_\beta$ なので、$d_n(e_\alpha)$ の $\beta$ 成分は $(q_\beta\varphi_\alpha)_*(\partial[D^n])=d_{\alpha\beta}\,e_\beta$ である。$\varphi_\alpha(S^{n-1})$ はコンパクトなので有限個の胞体としか交わらず（CW複体の記事の系「閉包有限性」）、交わらない $\beta$ では $q_\beta\varphi_\alpha$ は定値写像で $d_{\alpha\beta}=0$ である。$n=1$ では、連結準同型 $H_1([-1,1],\{\pm1\})\to H_0(\{\pm1\})$ が生成元を $(1)-(-1)$ に送ることと自然性から従う。$\square$

胞体の個数から従うこと

$X$ を CW 複体とする。

$X$ に $n$ 胞体がなければ $H_n(X)=0$ である。
$X$ の $n$ 胞体が $k$ 個なら、$H_n(X)$ は $k$ 個以下の元で生成される。
$X$ のどの 2 つの胞体の次元も隣り合わない（差が $1$ でない）なら、$H_n(X)$ は $n$ 胞体を基底とする自由アーベル群である。
$X$ が有限 CW 複体で $c_n$ が $n$ 胞体の個数なら、$\sum_n(-1)^nc_n=\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}H_n(X)$ である。

1 は $C_n^{\mathrm{CW}}(X)=0$ から従う。2：$\ker d_n$ は階数 $k$ の自由アーベル群の部分群なので $k$ 個以下の元で生成され、その商も同様である。3：$n$ 胞体がなければ 1 により $H_n(X)=0$ で、空な基底の自由アーベル群である。$n$ 胞体があれば、仮定から $(n\pm1)$ 胞体はなく、$C_{n\pm1}^{\mathrm{CW}}=0$ なので $d_n=d_{n+1}=0$ となり、$H_n(X)=C_n^{\mathrm{CW}}(X)$ である。4：有限生成アーベル群の完全列では階数が加法的なので、$c_n=\operatorname{rank}\ker d_n+\operatorname{rank}\operatorname{im}d_n$、$\operatorname{rank}H_n(X)=\operatorname{rank}\ker d_n-\operatorname{rank}\operatorname{im}d_{n+1}$ である。交代和をとると $\operatorname{im}$ の項は打ち消し合い、両辺はともに $\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}\ker d_n-\sum_n(-1)^n\operatorname{rank}\operatorname{im}d_{n+1}$ に等しい。$\square$

4 の左辺は Euler標数 $\chi(X)$ であり、この等式により胞体分割のとり方によらない。

胞体写像と関手性

CW 複体の間の連続写像 $f\colon X\to Y$ が胞体写像であるとは、すべての $n$ で $f(X^n)\subset Y^n$ となることをいう。

胞体写像が誘導する鎖写像

胞体写像 $f\colon X\to Y$ は対の写像 $(X^n,X^{n-1})\to(Y^n,Y^{n-1})$ により鎖写像 $f_\sharp\colon C_\bullet^{\mathrm{CW}}(X)\to C_\bullet^{\mathrm{CW}}(Y)$ を誘導し、cell-thm-main の同型のもとで $f_\sharp$ がホモロジーに誘導する写像は $f_*\colon H_n(X)\to H_n(Y)$ に一致する。

$f$ が誘導する $H_n(X^n,X^{n-1})\to H_n(Y^n,Y^{n-1})$ は、連結準同型と包含の誘導する写像のどちらとも可換である（対の長完全列の自然性）ので、$d$ と可換である。cell-thm-main の同型は、包含の誘導する写像 $H_n(X^n)\to H_n(X)$、$j_n$、商をとる操作だけからなり、どれも $f$ の誘導する写像と可換である。$\square$

任意の連続写像は胞体写像にホモトピックなので（胞体近似定理）、ホモロジーへの誘導写像はつねに胞体鎖複体で計算できる。
係数については、$C_n^{\mathrm{CW}}(X;G):=H_n(X^n,X^{n-1};G)$ を用いて同じ議論が通り、$H_n(X;G)$ が得られる。胞体境界公式も同じ係数 $d_{\alpha\beta}$ で成り立ち、$C_\bullet^{\mathrm{CW}}(X;G)\cong C_\bullet^{\mathrm{CW}}(X)\otimes G$ である（Hat02 Section 2.2, pp. 153–154、Lemma 2.49）。コホモロジーは余鎖複体 $\operatorname{Hom}(C_\bullet^{\mathrm{CW}}(X),G)$ で計算できる（Hat02 Theorem 3.5, p. 203）。胞体鎖複体は自由なので、普遍係数定理をそのまま適用できる。
CW 対 $(X,A)$ については、$A\cup X^n$ の列から相対胞体鎖複体 $H_n(A\cup X^n,A\cup X^{n-1})$ が作れ、これは $A$ に含まれない $n$ 胞体を基底とし、そのホモロジーは $H_n(X,A)$ に同型である。

証明の筋道を開く

$Y_n:=A\cup X^n$（$Y_{-1}:=A$）とおくと、$(Y_n,Y_{n-1})$ は良い対で、$Y_n/Y_{n-1}$ は $A$ に含まれない $n$ 胞体ごとの $n$ 次元球面のウェッジ和である。よって cell-lem-skeleta の 1 と同じく $H_k(Y_n,Y_{n-1})$ は $k=n$ でだけ $0$ でない。三対 $A\subset Y_{n-1}\subset Y_n$ の長完全列（相対ホモロジーの記事の命題「三対の長完全列」）を $H_k(Y_m,A)$ に対して用いると、cell-lem-skeleta の 2・3 と同じ議論で $k>n$ なら $H_k(Y_n,A)=0$、$k< n$ なら $H_k(Y_n,A)\cong H_k(X,A)$ である（無限次元の場合は相対鎖の台が有限部分複体に入ることを使う）。あとは cell-prf-main の $H_k(X^m)$ を $H_k(Y_m,A)$ に、対の長完全列を三対の長完全列に置き換えれば同じ証明が通る。$A=\emptyset$ がこれまでの場合である。

例

球面のホモロジー

$n\ge1$ のとき、球面 $S^n$ は $0$ 胞体 $v$ と $n$ 胞体 $e$ を一つずつもつ CW 構造をもつ（CW複体の記事の命題「球面の 2 つの CW 構造」）。$n\ge2$ なら cell-cor-consequences の 3 により $H_0(S^n)\cong H_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$、ほかは $0$ である。$n=1$ では $d_1(e)=v-v=0$ なので、$H_0(S^1)\cong H_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ である。

複素射影空間のホモロジー

$\mathbb{CP}^n$ は各偶数次元 $0,2,\dots,2n$ に一つずつ胞体をもつ（CW複体の記事の命題「射影空間の CW 構造」）。隣り合う次元に胞体がないので、cell-cor-consequences の 3 により $H_{2k}(\mathbb{CP}^n)\cong\mathbb{Z}$（$0\le k\le n$）、ほかの次数は $0$ である。同様に、積の CW 構造をもつ $S^m\times S^m$（$m\ge2$）は $H_0\cong H_{2m}\cong\mathbb{Z}$、$H_m\cong\mathbb{Z}^2$ をもつ。

閉曲面

向き付け可能な種数 $g$ の閉曲面 $M_g$ は、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a_1,b_1,\dots,a_g,b_g$、語 $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$ に沿って貼った $2$ 胞体からなる（CW複体の記事の例「トーラスと閉曲面」）。向き付け不可能な閉曲面 $N_g$（$g\ge1$）は、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a_1,\dots,a_g$、語 $a_1^2\cdots a_g^2$ に沿って貼った $2$ 胞体からなる（Hat02 Example 2.37, p. 141）。$N_1$ は実射影平面、$N_2$ は Kleinの壺である。結果は
$$ H_1(M_g)\cong\mathbb{Z}^{2g},\quad H_2(M_g)\cong\mathbb{Z},\qquad H_1(N_g)\cong\mathbb{Z}^{g-1}\oplus\mathbb{Z}/2,\quad H_2(N_g)=0 $$
であり（$H_0$ はどちらも $\mathbb{Z}$）、とくに $H_1(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb{Z}/2$、Klein の壺 $K$ では $H_1(K)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2$、$H_2(K)=0$ である。

$0$ 胞体が一つなので、$d_1$ はすべての $1$ 胞体を $v-v=0$ に送る。$2$ 胞体の接着写像 $\varphi\colon S^1\to X^1$ を $1$ 胞体 $\beta$ 以外をつぶす写像と合成すると、語を順にたどり、文字 $\beta^{\pm1}$ のところで円周 $S^1_\beta$ を正または負の向きに一周し、ほかの文字のところでは止まっている閉道になる。$S^1$ から $S^1$ への写像の写像度は、閉道の定める $H_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ の類であり、閉道をつないだものの類は各閉道の類の和である（Hat02 Theorem 2A.1 の証明, p. 166）。よって cell-thm-boundary-formula の $d_{\alpha\beta}$ は語の中の $\beta$ の指数の和である。
$M_g$ では各文字の指数の和が $0$ なので $d_2=0$ であり、$H_1=\mathbb{Z}^{2g}$、$H_2=\mathbb{Z}$ となる。$N_g$ では $d_2(e^2)=(2,\dots,2)\in\mathbb{Z}^g$ なので $d_2$ は単射で $H_2=0$ である。$\mathbb{Z}^g$ の基底を $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{g-1},\ \varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_g$ に取り替えると（行列式 $\pm1$ の変換）、$\operatorname{im}d_2$ は最後の基底の元の $2$ 倍で生成されるので、$H_1=\mathbb{Z}^g/\operatorname{im}d_2\cong\mathbb{Z}^{g-1}\oplus\mathbb{Z}/2$ である。$\square$

実射影空間の骨格による商

$\mathbb{RP}^n$ は $e^0\cup e^1\cup\cdots\cup e^n$ という CW 構造をもち、胞体境界は $d_k(e^k)=\pm(1+(-1)^k)e^{k-1}$（$k\ge2$）、$d_1=0$ である（実射影空間の記事の定理「実射影空間のホモロジー」の証明）。$1\le m< n$ について、$m$ 骨格 $\mathbb{RP}^m$ をつぶした $X:=\mathbb{RP}^n/\mathbb{RP}^m$ は、一点 $\mathbb{RP}^m/\mathbb{RP}^m$ を $0$ 胞体とし、$e^{m+1},\dots,e^n$ の像を胞体とする CW 複体である。$k\ge m+2$ では $d_k$ は $\mathbb{RP}^n$ のときと同じで、$d_{m+1}=0$（$m$ 胞体がない）である。よって

$H_0(X)\cong\mathbb{Z}$、$1\le i\le m$ と $i>n$ では $H_i(X)=0$
$i=m+1< n$：$m$ が偶数なら $\mathbb{Z}/2$、奇数なら $\mathbb{Z}$
$m+1< i< n$：$i$ が奇数なら $\mathbb{Z}/2$、偶数なら $0$
$i=n$：$n=m+1$ なら $\mathbb{Z}$、$n>m+1$ なら $n$ が奇数のとき $\mathbb{Z}$、偶数のとき $0$
である。たとえば $\mathbb{RP}^4/\mathbb{RP}^1$ では $H_2\cong\mathbb{Z}$、$H_3\cong\mathbb{Z}/2$、$H_4=0$ である。

CW 構造と境界写像の確かめを開く

CW 複体を部分複体でつぶした商は、元の胞体のうち部分複体に入らないものと、部分複体の像の $0$ 胞体からなる CW 複体であり、各胞体の接着写像は元の接着写像と商写像 $\pi\colon\mathbb{RP}^n\to X$ の合成である（Hat02 Chapter 0「Quotients」, p. 8）。$k\ge m+2$ について、$X$ の $(k-1)$ 骨格 $\pi(\mathbb{RP}^{k-1})$ から $e^{k-1}$ の外側をつぶす写像を $\pi$ と合成したものは、$\mathbb{RP}^{k-1}$ から $\mathbb{RP}^{k-2}$ をつぶす写像そのものなので、cell-thm-boundary-formula の写像度は $\mathbb{RP}^n$ の場合と同じ $\pm(1+(-1)^k)$ である。ホモロジーは、$k$ が偶数のとき $d_k=\pm2$（単射）、奇数のとき $d_k=0$ であることから読み取れる。たとえば $i=m+1< n$ では $H_{m+1}=\mathbb{Z}/\operatorname{im}d_{m+2}$ で、$m+2$ が偶数（$m$ が偶数）なら $\mathbb{Z}/2$、奇数なら $\mathbb{Z}$ である。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
部分空間の列が骨格である	$S^2=e^0\cup e^2$ を $X_0=e^0$、$X_n=S^2$（$n\ge1$）と分ける	$H_n(X_n,X_{n-1})$ の鎖複体のホモロジーが $H_n(X)$ に一致する（cell-thm-main）
隣り合う次元に胞体がない	$\mathbb{RP}^2=e^0\cup e^1\cup e^2$	$H_n(X)$ は $n$ 胞体を基底とする自由アーベル群（cell-cor-consequences の 3）
各次元の胞体が有限個	可算無限個の円周のウェッジ和 $\bigvee_{i\in\mathbb{N}}S^1$	$H_n(X)$ は有限生成（cell-cor-consequences の 2）

反例：表の各行の確かめ

確かめを開く

1 行目：$X_n$ はどれも部分複体である。$H_0(X_0)\cong\mathbb{Z}$、$H_1(X_1,X_0)=H_1(S^2,\mathrm{pt})=0$、$n\ge2$ では $H_n(X_n,X_{n-1})=H_n(S^2,S^2)=0$ なので、この「鎖複体」は次数 $0$ の $\mathbb{Z}$ だけからなり、$H_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$ を表さない。$e^2$ が $X_1\setminus X_0$ に入っていて、$X_1$ が $1$ 骨格でないことが原因である（cell-lem-skeleta の 1 の「$k\ne n$ で $0$」が $H_2(X_1,X_0)\cong\mathbb{Z}$ で破れる）。