Whitneyの拡張定理

$\Omega_k:=\{x\mid2\sqrt n\,2^{-k}< d(x)\le2\sqrt n\,2^{-k+1}\}$ とおき、$\mathcal Q_0$ を、ある $k$ について辺 $2^{-k}$ で $\Omega_k$ と交わる 2 進立方体の全体とする。$Q\in\mathcal Q_0$ が $x\in\Omega_k$ を含むなら $\operatorname{diam}Q=\sqrt n\,2^{-k}$ であり、$\operatorname{dist}(Q,F)\le d(x)\le4\sqrt n\,2^{-k}=4\operatorname{diam}Q$、$\operatorname{dist}(Q,F)\ge d(x)-\operatorname{diam}Q>\sqrt n\,2^{-k}=\operatorname{diam}Q$ である。とくに $Q\subset\Omega$ である。$x\in\Omega$ は $d(x)\in(0,\infty)$ なのでちょうど 1 つの $\Omega_k$ に属し、$x$ を含む辺 $2^{-k}$ の 2 進立方体は $\mathcal Q_0$ に属するので、$\bigcup\mathcal Q_0=\Omega$ である。2 つの 2 進立方体は一方が他方を含むか内部が交わらない。$Q\in\mathcal Q_0$ を含む $Q'\in\mathcal Q_0$ は $\operatorname{diam}Q'\le\operatorname{dist}(Q',F)\le\operatorname{dist}(Q,F)$ を満たすので大きさが有界であり、$Q$ を含む極大な元がある。$\mathcal Q$ を $\mathcal Q_0$ の極大な元の全体とすれば 1・2 が成り立つ。3：$z\in Q\cap Q'$ とすると $\operatorname{diam}Q'\le\operatorname{dist}(Q',F)\le d(z)\le\operatorname{dist}(Q,F)+\operatorname{diam}Q\le5\operatorname{diam}Q$ であり、2 進立方体の直径の比は 2 の冪なので $4$ 以下である。対称性から下からの評価も成り立つ。$\square$

隆起関数 により、$0\le\theta\le1$、$[-\frac12,\frac12]^n$ の上で $\theta=1$、台が $(-\frac9{16},\frac9{16})^n$ に含まれる $\theta\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ をとる。$Q$ の中心を $c_Q$、辺の長さを $\ell_Q$ として $\theta_Q(x):=\theta((x-c_Q)/\ell_Q)$ とおくと、$\theta_Q$ は $Q$ の上で $1$、台は $Q^*$ に含まれ、$|\partial^\beta\theta_Q|\le\|\partial^\beta\theta\|_\infty\ell_Q^{-|\beta|}$ である。$x\in Q^*$ なら (W) から $\ell_Q=\operatorname{diam}Q/\sqrt n\ge d(x)/6\sqrt n$ である。$\Theta:=\sum_Q\theta_Q$ は $\Omega$ の上で局所的に有限和なので $C^\infty$ 級で、各点はある $Q$ に属するので $\Theta\ge1$ であり、各点で $0$ でない項は高々 $N$ 個なので $|\partial^\beta\Theta(x)|\le N\|\partial^\beta\theta\|_\infty(6\sqrt n)^{|\beta|}d(x)^{-|\beta|}$ である。$\varphi_Q:=\theta_Q/\Theta$（$\Omega$ の外では $0$）とおく。$\theta_Q$ の台は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合なので $\varphi_Q$ は $\mathbb R^n$ 上で $C^\infty$ 級である。$1/\Theta$ の導関数は、$\Theta$ の導関数の積を $\Theta$ の冪で割った項の和なので、$\Theta\ge1$ から $|\partial^\beta(1/\Theta)(x)|\le C'_\beta d(x)^{-|\beta|}$ であり、Leibniz の公式から主張の評価を得る。$\square$

多項式の差。$x,z\in F$ について $P_z-P_x$ は次数 $m$ 以下の多項式で、$\partial^\beta(P_z-P_x)(z)=f_\beta(z)-\partial^\beta P_x(z)=R_\beta(x,z)$ である。多項式を $z$ のまわりで展開すると $P_z(w)-P_x(w)=\sum_{|\beta|\le m}\frac{R_\beta(x,z)}{\beta!}(w-z)^\beta$ なので、$x,z\in K$、$|x-z|\le\delta$ なら、$n,m$ だけによる定数 $C_2$ で$$\bigl|\partial^\gamma(P_z-P_x)(w)\bigr|\le\sum_{\beta\ge\gamma,\,|\beta|\le m}\frac{|R_\beta(x,z)|}{(\beta-\gamma)!}|w-z|^{|\beta|-|\gamma|}\le C_2\rho_K(\delta)\bigl(|x-z|+|w-z|\bigr)^{m-|\gamma|}$$が成り立つ（$|R_\beta(x,z)|\le\rho_K(\delta)|x-z|^{m-|\beta|}$ を使う）。この不等式を (P) と呼ぶ。

$y\in F$ の場合。$G_\alpha(y)-\partial^\alpha P_a(y)=R_\alpha(a,y)$ なので、$\rho_K$ の定義から評価が成り立つ。

$y\in\Omega$ の場合。$|\hat a-y|=d(y)$ となる $\hat a\in F$ をとる。$d(y)\le|y-a|$ なので $|\hat a-a|\le2|y-a|$ である。$\varphi_Q(y)\ne0$ なら $y\in Q^*$ であり、(W) と lem-whitney-cubes の 2 から $|y-p_Q|\le\frac1{16}\operatorname{diam}Q+\operatorname{diam}Q+\operatorname{dist}(Q,F)\le6\operatorname{diam}Q\le7d(y)$、したがって $|p_Q-\hat a|\le8d(y)$ である。$|p_Q-a|\le10|y-a|\le1$ なので $p_Q,\hat a\in K$ である。$\Omega$ の上で $\sum_Q\varphi_Q=1$ なので $G-P_{\hat a}=\sum_Q\varphi_Q\,(P_{p_Q}-P_{\hat a})$ であり、Leibniz の公式から$$\partial^\alpha G(y)-\partial^\alpha P_{\hat a}(y)=\sum_Q\sum_{\gamma\le\alpha}\binom\alpha\gamma\partial^{\alpha-\gamma}\varphi_Q(y)\,\partial^\gamma(P_{p_Q}-P_{\hat a})(y)$$である。$0$ でない項をもつ $Q$ は高々 $N$ 個で、lem-whitney-partition から $|\partial^{\alpha-\gamma}\varphi_Q(y)|\le C_{\alpha-\gamma}d(y)^{|\gamma|-|\alpha|}$、(P)（$x=p_Q$、$z=\hat a$、$w=y$、$\delta=8d(y)$）から $|\partial^\gamma(P_{p_Q}-P_{\hat a})(y)|\le C_2\rho_K(8d(y))(9d(y))^{m-|\gamma|}$ である。よって $|\partial^\alpha G(y)-\partial^\alpha P_{\hat a}(y)|\le C_3\rho_K(8d(y))\,d(y)^{m-|\alpha|}$ である。さらに (P)（$x=a$、$z=\hat a$、$w=y$、$\delta=2|y-a|$）から $|\partial^\alpha(P_{\hat a}-P_a)(y)|\le C_2\rho_K(2|y-a|)(3|y-a|)^{m-|\alpha|}$ である。$d(y)\le|y-a|$ と $\rho_K$ の単調性から、2 つを足して主張を得る。$\square$

連続性。$\Omega$ の上では $G_\alpha=\partial^\alpha G$ は連続である。$a\in F$ では、$\partial^\alpha P_a(a)=f_\alpha(a)=G_\alpha(a)$ なので$$|G_\alpha(y)-G_\alpha(a)|\le|G_\alpha(y)-\partial^\alpha P_a(y)|+|\partial^\alpha P_a(y)-\partial^\alpha P_a(a)|$$であり、lem-whitney-key と $\rho_K(\delta)\to0$、多項式の連続性から、$y\to a$ で右辺は $0$ に近づく。

微分可能性。$|\alpha|< m$、$a\in F$ とする。$|y-a|\le\frac1{10}$ なら$$G_\alpha(y)-G_\alpha(a)-\sum_jG_{\alpha+e_j}(a)(y_j-a_j)=\bigl[G_\alpha(y)-\partial^\alpha P_a(y)\bigr]+\Bigl[\partial^\alpha P_a(y)-f_\alpha(a)-\sum_jf_{\alpha+e_j}(a)(y_j-a_j)\Bigr]$$である。第 1 項は lem-whitney-key と $m-|\alpha|\ge1$ から $C\rho_K(8|y-a|)|y-a|$ 以下で、$o(|y-a|)$ である。第 2 項は $\partial^\alpha P_a(y)=\sum_{|\gamma|\le m-|\alpha|}\frac{f_{\alpha+\gamma}(a)}{\gamma!}(y-a)^\gamma$ の $|\gamma|\ge2$ の項の和なので $O(|y-a|^2)$ である。よって $G_\alpha$ は $a$ で微分可能で $\partial_jG_\alpha(a)=G_{\alpha+e_j}(a)$ である。$\Omega$ の点では $\partial_jG_\alpha=\partial_j\partial^\alpha G=G_{\alpha+e_j}$ である。

帰納法。$G_0=G$ である。$|\alpha|< m$ で $\partial^\alpha G=G_\alpha$ がわかれば、上のことから $\partial_j\partial^\alpha G=G_{\alpha+e_j}$ が存在して連続である。よって $|\alpha|\le m$ のすべての $\alpha$ について $\partial^\alpha G$ が存在して $G_\alpha$ に等しく連続であり、$G\in C^m(\mathbb R^n)$、$F$ の上で $\partial^\alpha G=f_\alpha$ である。$\square$