Picard数

代数的同値な可逆層は数値的同値なので（数値的同値 の節「ほかの同値関係との比較」）、$\operatorname{Pic}(X)\to N^1(X)$ は $\operatorname{NS}(X)$ を経由し、全射 $\operatorname{NS}(X)\to N^1(X)$ を与える。その核が捩れ部分群に等しいことは、代数的同値 の定理「同値関係の階層」の 2 で引用されている定理である（この記事では証明しない）。$\operatorname{NS}(X)$ は有限生成なので（Néron–Severi群 の注意「本記事が引用として使う事実」の 1）、捩れ部分群は有限群であり、$\operatorname{NS}(X)$ と $N^1(X)=\operatorname{NS}(X)/(\text{捩れ})$ の階数は等しい。$\square$

1：$n:=\dim X$ とし、既約な閉集合の長さ $n$ の真の増加列 $Z_0\subsetneq Z_1\subsetneq\cdots\subsetneq Z_n$ をとる。$Z_1$ の次元は $1$ である（$2$ 以上なら $Z_1$ の中に既約な閉集合の列 $W_0\subsetneq W_1\subsetneq Z_1$ があり、これを $Z_1\subsetneq\cdots\subsetneq Z_n$ とつなげると長さ $n+1$ の列になって $\dim X=n$ に反する）。$Z_1$ に被約な構造を入れたものは曲線 $C$ である。$X\subset\mathbb{P}^N_k$ と埋めて $\mathcal{H}:=\mathcal{O}_X(1)$ とおくと、$\mathcal{H}$ は豊富なので $(\mathcal{H}\cdot C)>0$ であり（中井–Moishezonの判定法 の補題「豊富な可逆層の交叉数は正」）、$\mathcal{H}$ の類は $N^1(X)$ の $0$ でない元である。$N^1(X)$ は捩れをもたないので階数は $1$ 以上である。
2：$\mathcal{L}$ を $X$ 上の可逆層で $\pi^*\mathcal{L}$ が数値的に自明なものとし、$X$ の曲線 $C$ をとる。$C$ の生成点 $\eta$ の上のファイバー $\pi^{-1}(\eta)$ は $\pi$ の全射性から空でなく、$K(C)$ 上の有限型スキームなので、その閉点 $y$ がとれる。Hilbert の零点定理により $\kappa(y)$ は $K(C)$ の有限次拡大である。$y$ の閉包に被約な構造を入れた $C'$ は、関数体 $\kappa(y)$ の $k$ 上の超越次数が $1$ なので曲線であり、$\pi(C')$ は $\eta$ を含む既約な閉集合だから $C$ に等しい。数値的同値 の命題「数値的に自明な可逆層の引き戻し」により
$$ 0=(\pi^*\mathcal{L}\cdot C')=[K(C'):K(C)]\,(\mathcal{L}\cdot C) $$
なので $(\mathcal{L}\cdot C)=0$ である。よって $\mathcal{L}$ は数値的に自明で、$\pi^*$ は単射である。有限階数の自由アーベル群の単射なので階数の不等式が従う。
3：$X$ の曲線は $X$ 自身だけなので、$\mathcal{L}$ が数値的に自明であることは $\deg\mathcal{L}=0$ と同値であり、次数 $\deg\colon\operatorname{Pic}(X)\to\mathbb{Z}$ は単射 $N^1(X)\to\mathbb{Z}$ を誘導する。閉点 $P$ について $\deg\mathcal{O}_X(P)=1$ なので、これは全射である。
4：$\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n_k)$ は $\mathcal{O}(1)$ で生成される無限巡回群である（Picard群 の例「射影空間の場合」）。よって $\rho\le1$ で、1 から $\rho=1$ である。$\square$

$p^*\mathcal{L}$ と $q^*\mathcal{M}$ は数値的に自明な可逆層を数値的に自明な可逆層に写すので（数値的同値 の命題「数値的に自明な可逆層の引き戻し」）、写像は定まる。$p^*\mathcal{L}\otimes q^*\mathcal{M}$ が数値的に自明であるとする。$X$ の曲線 $C$ と $Y$ の閉点 $y$ をとる。$\kappa(y)=k$ なので、$C\times\{y\}:=C\times_k\operatorname{Spec}\kappa(y)$ は $X\times_kY$ の閉部分スキームで $C$ と同型であり、曲線である。$p$ を $C\times\{y\}$ に制限した射は同型 $C\times\{y\}\to C$ なので $(p^*\mathcal{L}\cdot C\times\{y\})=(\mathcal{L}\cdot C)$ である。$q$ の制限は $1$ 点 $\operatorname{Spec}\kappa(y)$ を経由するので、$q^*\mathcal{M}$ の制限は自明な層であり、交点数は $0$ である。よって
$$ 0=(p^*\mathcal{L}\otimes q^*\mathcal{M}\cdot C\times\{y\})=(\mathcal{L}\cdot C) $$
であり、$\mathcal{L}$ は数値的に自明である。$X$ の閉点 $x$ と $Y$ の曲線 $D$ について $\{x\}\times D$ を使えば、同じく $\mathcal{M}$ も数値的に自明である。有限階数の自由アーベル群の単射なので、階数の不等式が従う。$\square$

曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「爆発と交点形式」により、$\operatorname{Pic}\tilde X=\pi^*\operatorname{Pic}X\oplus\mathbb{Z}E$ であり、$X$ の因子 $D,D'$ について
$$ \pi^*D\cdot\pi^*D'=D\cdot D',\qquad\pi^*D\cdot E=0,\qquad E^2=-1 $$
である。$\tilde D=\pi^*D+mE$ が数値的に自明であるとする。$E$ との交点数をとると $-m=0$ である。すると $X$ の任意の因子 $D'$ について $0=\tilde D\cdot\pi^*D'=D\cdot D'$ なので、$D$ は数値的に自明である。逆に $D$ が数値的に自明で $m=0$ なら、$\tilde X$ の任意の因子 $\pi^*D'+m'E$ について $\tilde D\cdot(\pi^*D'+m'E)=D\cdot D'=0$ なので、$\tilde D$ は数値的に自明である。よって $\operatorname{Pic}X\oplus\mathbb{Z}\to N^1(\tilde X)$ は全射で、核は（数値的に自明な $D$）$\oplus\,0$ にちょうど等しく、同型 $N^1(X)\oplus\mathbb{Z}\cong N^1(\tilde X)$ を誘導する。$\square$

$\mathcal{O}_X(l)=q^*\mathcal{O}_E(O)$、$\mathcal{O}_X(m)=p^*\mathcal{O}_E(O)$ である。$l,m,\Delta$ はどれも $E$ と同型な滑らかな曲線なので、交点数は 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 2 により、可逆層をその曲線へ制限した次数として計算できる。$q$ は $l$ の上で定値なので $q^*\mathcal{O}_E(O)|_l$ は自明で $l^2=0$ である。$m$ の上では $q$ は同型 $m\to E$ なので $l\cdot m=\deg\mathcal{O}_E(O)=1$ である。対角射 $\delta\colon E\to\Delta$ について $q\circ\delta=\mathrm{id}_E$ なので $l\cdot\Delta=\deg\delta^*q^*\mathcal{O}_E(O)=1$ である。$p$ についても同様に $m^2=0$、$m\cdot\Delta=1$ である。
$\Delta^2$ を求める。群演算と逆元は射なので（Har77 IV, Proposition 4.8, p. 321）、$\varphi\colon X\to X$、$\varphi(x,y)=(x-y,\,y)$ は射であり、$(u,y)\mapsto(u+y,\,y)$ を逆にもつ自己同型である。$\varphi(\Delta)=m$ なので、$\varphi$ が交点数を保つことから $\Delta^2=m^2=0$ である。$\square$