Jacobiの楕円関数

要点：長方形 $Q:=[0,\omega]\times[0,\omega']$ の周の 4 辺の上で $\wp$ は実数値で、導関数が $0$ にならないので単調である。$\wp$ は位数 $2$ なので、$\pm$ で移り合わない点で同じ値をとらない。これと端での値 $\pm\infty$ から大小関係が決まる。

Weierstrassの因数分解定理 の定理「Weierstrass の因数分解定理」の 1 により、$R$ の零点にちょうどその位数の半分の位数の零点をもつ整関数 $G_0$ と、$R$ の極にちょうどその位数の半分の位数の零点をもつ整関数 $G_\infty$ がある。$RG_\infty^2/G_0^2$ は除去可能な特異点を除けば零点も極ももたない整関数なので、整関数 の命題「零点をもたない整関数」により $e^{H}$（$H$ は整関数）と書ける。$S:=e^{H/2}G_0/G_\infty$ とおけば $S^2=R$ である。$S_1^2=S_2^2=R$ なら $(S_1-S_2)(S_1+S_2)=0$ で、$\mathbb{C}$ 上の有理型関数の全体は体なので（有理型関数 の命題「有理型関数のなす体」）、$S_1=S_2$ か $S_1=-S_2$ である。$\square$

段 1（平方根をとる）． lem-jef-rectangle を $\omega=K$、$\omega'=K'$ で使うと $e_2< e_3< e_1$ である。$c:=\sqrt{e_1-e_2}>0$、$\kappa:=\sqrt{(e_3-e_2)/(e_1-e_2)}\in(0,1)$ とおく。$R:=(e_1-e_2)/(\wp-e_2)$ は、$\Lambda_k$ の点に 2 位の零点（$\wp$ の 2 位の極）、$iK'+\Lambda_k$ の点に 2 位の極をもち、それ以外に零点も極もない。lem-jef-sqrt により $t^2=R$ となる有理型関数 $t$ がある。$0$ の近くで $R(u)=c^2u^2(1+O(u^2))$ なので $t(u)=\pm cu+O(u^2)$ であり、必要なら $t$ を $-t$ に替えて $t'(0)=c$ とする。$t(-u)^2=t(u)^2$ なので、lem-jef-sqrt の一意性の議論により $t(-u)=\varepsilon t(u)$（$\varepsilon=\pm1$）で、$u=0$ で微分すると $\varepsilon=-1$、すなわち $t$ は奇関数である。
段 2（微分方程式）． $t^2=(e_1-e_2)/(\wp-e_2)$ を微分して $2tt'=-(e_1-e_2)\wp'/(\wp-e_2)^2$ を得る。2 乗して $\wp'^2=4\prod_i(\wp-e_i)$ を代入し、$t^2=(e_1-e_2)/(\wp-e_2)$ で割ると
$$t'^2=(e_1-e_2)\frac{\wp-e_1}{\wp-e_2}\cdot\frac{\wp-e_3}{\wp-e_2}=c^2(1-t^2)(1-\kappa^2t^2)$$
である。ここで $(\wp-e_1)/(\wp-e_2)=1-t^2$、$(\wp-e_3)/(\wp-e_2)=1-(e_3-e_2)/(\wp-e_2)=1-\kappa^2t^2$ を使った。この等式は $t$ の零点と極を除いた連結な開集合で成り立つので、一致の定理 により有理型関数の等式である。
段 3（実軸）． 実数 $u\notin2K\mathbb{Z}$ では lem-jef-rectangle の 4 により $\wp(u)\geq e_1>e_2$ なので $0< R(u)\leq1$ であり、$t$ は実軸上に極をもたず、実数値で $t(u)^2\leq1$ である。$0< u< K$ では $\wp(u)>e_1$ なので $t^2<1$、したがって段 2 から $t'(u)^2>0$ であり、$t'(0)=c>0$ と中間値の定理から $t'>0$ が $[0,K)$ で成り立つ。$t(K)^2=R(K)=1$ と単調性から $t(K)=1$ である。$\Phi(x):=\int_0^x d\tau/\sqrt{(1-\tau^2)(1-\kappa^2\tau^2)}$（$0\leq x\leq1$）とおくと、$\tau=\sin\theta$ により $\Phi(1)=K(\kappa)$ である。$0\leq u< K$ で $\frac{d}{du}\Phi(t(u))=t'(u)/\sqrt{(1-t^2)(1-\kappa^2t^2)}=c$ なので $\Phi(t(u))=cu$ であり、$u\to K$ として $K(\kappa)=cK$ を得る。
段 4（虚軸）． $0< y< K'$ では lem-jef-rectangle の 3 により $\wp(iy)< e_2$ なので $R(iy)<0$ であり、$t(iy)=i\sigma(y)$ と書ける。$\sigma$ は $[0,K')$ 上の実数値の連続関数で、$\frac{d}{dy}t(iy)=it'(iy)$ から $\sigma'(y)=t'(iy)$、$\sigma'(0)=c$ である。段 2 から $\sigma'^2=c^2(1+\sigma^2)(1+\kappa^2\sigma^2)>0$ なので $\sigma'>0$ であり、$y\to K'$ では $\wp(iy)\to e_2$ から $\sigma(y)\to+\infty$ である。$\Psi(s):=\int_0^sdx/\sqrt{(1+x^2)(1+\kappa^2x^2)}$ とおくと $\Psi(\sigma(y))=cy$ である。置換 $x=\tan\theta$ で $\Psi(+\infty)=\int_0^{\pi/2}d\theta/\sqrt{1-\kappa'^2\sin^2\theta}=K(\kappa')$（$\kappa':=\sqrt{1-\kappa^2}$）なので、$y\to K'$ として $K(\kappa')=cK'$ を得る。
段 5（母数と尺度が合う）． 段 3 と段 4 から $K(\kappa')/K(\kappa)=K'/K=K(k')/K(k)$ である。楕円積分 の命題「完全楕円積分の基本的な性質」により $K$ は狭義単調増加なので、$x\mapsto K(\sqrt{1-x^2})/K(x)$ は $(0,1)$ で狭義単調減少であり、$\kappa=k$ を得る。すると $cK=K(k)=K$ から $c=1$ である。これで $e_1-e_2=1$、$e_3-e_2=k^2$ が示され、$e_1+e_2+e_3=0$ と合わせて 1 が従う。$\operatorname{sn}:=t$ とおけば 2 の条件を満たし、一意性は lem-jef-sqrt と $\operatorname{sn}'(0)=1$ による。段 2 で $c=1$、$\kappa=k$ とすれば 4 である。
段 6（周期・零点・極）． $R$ は $\Lambda_k$ 周期的なので、段 1 と同じ議論で $\operatorname{sn}(u+2K)=\varepsilon\operatorname{sn}(u)$（$\varepsilon=\pm1$）であり、$u=-K$ とおくと $1=\operatorname{sn}(K)=\varepsilon\operatorname{sn}(-K)=-\varepsilon$ から $\varepsilon=-1$ である。同様に $\operatorname{sn}(u+2iK')=\varepsilon'\operatorname{sn}(u)$ とする。$\psi(v):=\operatorname{sn}(iK'+v)$ は $v=0$ に 1 位の極をもち（$\operatorname{sn}^2=R$ が 2 位の極をもつ）、奇関数性と合わせて $\psi(-v)=-\operatorname{sn}(-iK'+v)=-\varepsilon'\psi(v)$ である。$\psi(v)=a/v+\cdots$（$a\neq0$）を代入すると $-a=-\varepsilon'a$ なので $\varepsilon'=1$ である。零点と極は $\operatorname{sn}^2=R$ の零点と極の位置で、位数は半分の 1 である。格子 $4K\mathbb{Z}+2iK'\mathbb{Z}$ の周期平行四辺形 $[0,4K)\times[0,2K')$ には極が $iK'$ と $2K+iK'$ の 2 個あるので、位数は $2$ である。
段 7（実軸での逆関数）． 段 3 で $c=1$、$\kappa=k$ とすると、$\operatorname{sn}$ は $[0,K]$ で $0$ から $1$ へ狭義単調増加し、$\Phi(\operatorname{sn}(u))=u$ である。$\Phi$ は $[0,1]$ から $[0,K]$ への狭義単調増加な全単射なので、$x\in[0,1]$ について $\operatorname{sn}(\Phi(x))=x$ である。$\Phi$ と $\operatorname{sn}$ はともに奇関数なので、$[-1,0]$ でも成り立つ。$\square$

要点：微分の式は 2 乗の関係を微分して、周期は実軸上の符号と極のまわりの対称性から決める。