Gauss写像(曲面)

同義語：Gauss map of a surface

概要

前提知識: 第2基本形式, Gauss曲率, 部分多様体, 球面

$\mathbb R^3$ の曲面の各点には、長さ $1$ の法ベクトルが（向きを選べば）1 つ決まる。このベクトルを原点から描くと、その先端は単位球面 $S^2$ の上にある。曲面の点に $S^2$ の点を対応させるこの写像が Gauss 写像（Gauss map）である。平面の Gauss 写像は定値写像で、球面の Gauss 写像は球面の拡大・縮小で、円柱の Gauss 写像の像は赤道の円周である。曲面が曲がっているほど、法ベクトルの向きは速く変わり、Gauss 写像の像は大きく広がる。
Gauss 写像の微分は形作用素の $-1$ 倍であり、その行列式が Gauss 曲率である（$n$ 次元の超曲面では Gauss–Kronecker 曲率の $(-1)^n$ 倍）。こうして曲面の曲がり方の情報は、Gauss 写像の局所的な性質にすべて表れる。
この記事の Gauss 写像は、Euclid 空間の曲面・超曲面の単位法ベクトルの写像である。代数曲線の各点に接線を対応させる写像（双対曲線）、連分数の Gauss 写像 $x\mapsto1/x-\lfloor1/x\rfloor$、ベクトル束を Grassmann 多様体へ写す写像も Gauss 写像と呼ばれるが、ここでは扱わない。
この記事では次のことを示す。

Gauss 写像の微分は $-s$（$s$ は形作用素）で、体積要素を $(-1)^nK$ 倍する。→ thm-gm-differential
Gauss 写像が定値であることと超平面に含まれることは同値である（連結な場合）。→ prop-gm-constant
境界のないコンパクトな超曲面には、適当な単位法ベクトルに関して主曲率がすべて正になる点があり、Gauss 写像の像と対蹠像を合わせると球面全体になる。→ thm-gm-elliptic、prop-gm-image

1 点で Gauss 写像の微分が共形であることは、その点で主曲率の絶対値がすべて等しいことと同値で、曲面ではその点が臍点か平均曲率 $0$ の点であることと同値である。→ thm-gm-conformal

曲面（$\mathbb R^3$）	単位法ベクトル	Gauss 写像の像	Gauss 曲率
平面	一定	1 点	$0$
半径 $a$ の球面	外向き $x/a$	$S^2$ 全体（$x\mapsto x/a$）	$1/a^2$
半径 $r$ の円柱	外向き	赤道の円周	$0$
懸垂面	$x_u\times x_v$ の向き	北極と南極を除いた $S^2$	$-1/\cosh^4u$

表の値は ex-gm-basic と ex-gm-catenoid で確かめる。

定義

以下、$M\subset\mathbb R^{n+1}$ を $n$ 次元（$n\ge1$）の埋め込まれた部分多様体（超曲面）とし、$\mathbb R^{n+1}$ の標準内積 $\langle\ ,\ \rangle$ から誘導される計量を入れる。$S^n:=\{y\in\mathbb R^{n+1}\mid|y|=1\}$ とする。$\mathbb R^{n+1}$ の Levi-Civita 接続は成分ごとの方向微分 $D$ である。

Gauss 写像

$M$ の滑らかな単位法ベクトル場 $N$（各点 $p$ で $N_p\perp T_pM$、$|N_p|=1$）を 1 つ選ぶ。$N_p$ を $\mathbb R^{n+1}$ のベクトルとみて
$$ \nu\colon M\to S^n,\qquad\nu(p):=N_p $$
と定めた滑らかな写像を、$M$ の（$N$ に関する）Gauss 写像 という。$n=2$ のとき、曲面の Gauss 写像という。

$M$ が連結なら、単位法ベクトル場は（存在すれば）$N$ と $-N$ の 2 つだけで、Gauss 写像は $\nu$ と $-\nu$（$\nu$ と対蹠写像の合成）の 2 つである。単位法ベクトル場が存在することは、$M$ が向き付け可能であることと同値である。向き付け可能でない曲面（Möbius の帯）では、Gauss 写像は各点の近くでしか定まらないが、局所的な主張はそのまま通る。$\mathbb R^3$ の正則曲面片 $x\colon U\to\mathbb R^3$ では $\nu=x_u\times x_v/|x_u\times x_v|$ を $U$ の上の写像とみたものである（Gauss曲率の定義「正則曲面片と第 1 基本形式」）。
形作用素 $s$ を $sX:=-D_XN$ で定め、その固有値を主曲率 $\kappa_1,\dots,\kappa_n$、$K:=\det s=\kappa_1\cdots\kappa_n$ を Gauss–Kronecker 曲率 とよぶ。$s$ は各点で自己随伴で、$\langle sX,Y\rangle=\langle\mathrm{II}(X,Y),N\rangle$ を満たし、第2基本形式の定義「スカラー第 2 基本形式と主曲率」の形作用素に一致する（同じ記事の命題「単位法ベクトルの微分」）。$n=2$ では $K$ は Gauss曲率である。

Gauss 写像の微分

点 $p\in M$ と $y=\nu(p)$ について、$T_yS^n=y^\perp$ であり、$T_pM=N_p^\perp$ でもあるので、$T_pM$ と $T_{\nu(p)}S^n$ は $\mathbb R^{n+1}$ の同じ部分空間である。以下この同一視のもとで $d\nu_p$ を $T_pM$ の線形変換とみる。向きは次のように入れる：$T_pM$ の基底 $(e_1,\dots,e_n)$ は $(N_p,e_1,\dots,e_n)$ が $\mathbb R^{n+1}$ の正の基底のとき正、$T_yS^n$ の基底 $(w_1,\dots,w_n)$ は $(y,w_1,\dots,w_n)$ が正の基底のとき正とする（$S^n$ には外向きの法ベクトルによる向き）。$y=\nu(p)$ では、2 つの向きは同じ部分空間の同じ向きである。

Gauss 写像の微分

$d\nu_p=-s_p$ である。
$dV_{S^n}$、$dV_M$ を上の向きに関する体積形式とすると、$\nu^*dV_{S^n}=(-1)^nK\,dV_M$ である。とくに $n=2$ では $\nu^*dA_{S^2}=K\,dA_M$ である。
$\nu$ が $p$ の近傍で微分同相（局所微分同相）であることと、$K(p)\neq0$ は同値である。

1：$v\in T_pM$ と、$\gamma(0)=p$、$\gamma'(0)=v$ となる $M$ の曲線 $\gamma$ をとる。$\nu\circ\gamma(t)=N_{\gamma(t)}$ なので、$d\nu_p(v)=\frac{d}{dt}\big|_{t=0}N_{\gamma(t)}=D_vN=-s_pv$ である（$|N|=1$ から、これは $N_p$ と直交し、$T_{\nu(p)}S^n$ に入る）。
2：$(e_1,\dots,e_n)$ を $T_pM$ の正の正規直交基底とする。上の注意から、これは $T_{\nu(p)}S^n$ の正の正規直交基底でもある。よって
$$ (\nu^*dV_{S^n})(e_1,\dots,e_n)=dV_{S^n}(d\nu_pe_1,\dots,d\nu_pe_n)=\det(d\nu_p)=\det(-s_p)=(-1)^nK(p) $$
であり、$dV_M(e_1,\dots,e_n)=1$ なので主張を得る。
3：$\dim M=\dim S^n$ なので、逆関数定理により、$\nu$ が $p$ の近傍で微分同相であることと $d\nu_p$ が可逆であることは同値で、これは $\det(-s_p)=(-1)^nK(p)\neq0$ と同値である。$\square$

2 は、$|K|$ が Gauss 写像による体積の拡大率であることを言う。$\mathbb R^3$ の正則曲面片での同じ主張 $\nu_u\times\nu_v=K\,(x_u\times x_v)$ と面積の極限の式は Gauss曲率の定理「Gauss 写像と面積」にある。$K$ の符号は、$\nu$ が向きを保つか（$(-1)^nK>0$）逆にするか（$(-1)^nK< 0$）を表す。$n=2$ では、$K>0$ の点（球面の形）の近くで $\nu$ は向きを保ち、$K< 0$ の点（鞍の形）の近くで向きを逆にする。
1 から、主方向は $d\nu_p$ の固有ベクトルで、主曲率は $d\nu_p$ の固有値の $-1$ 倍である。曲面の曲がり方の情報（第 2 基本形式）は、Gauss 写像の微分と第 1 基本形式で書ける：$\mathrm{II}(X,Y)=\langle sX,Y\rangle N=-\langle d\nu(X),Y\rangle N$。

Gauss 写像が定値になる場合

$M$ を連結とする。次は同値である。

Gauss 写像 $\nu$ は定値写像である。
形作用素 $s$ が恒等的に $0$ である。
$M$ はある超平面に含まれる。

1 ⇔ 2：thm-gm-differential の 1 により $d\nu=-s$ で、$M$ は連結なので、$d\nu\equiv0$ と $\nu$ が定値であることは同値である。1 ⇒ 3：$\nu\equiv a$ とし、$f(p):=\langle p,a\rangle$ とおく。$M$ の曲線 $\gamma$ について $(f\circ\gamma)'=\langle\gamma',a\rangle=0$（$\gamma'$ は接ベクトル、$a$ は法ベクトル）なので $df=0$ で、$M$ は連結だから $f$ は定数 $c$ である。よって $M\subset\{\langle x,a\rangle=c\}$ である。3 ⇒ 1：$M\subset\{\langle x,a\rangle=c\}$（$|a|=1$）なら、$M$ と超平面はともに $n$ 次元なので $T_pM=a^\perp$ で、$N_p=\pm a$ である。$\nu$ は連続で $\{a,-a\}$ に値をとり、$M$ は連結なので定値である。$\square$

例

平面・球面・円柱

平面 $\{x_3=0\}$ では $N=(0,0,1)$ が一定で、$\nu$ は 1 点への定値写像、$s=0$、$K=0$ である。
半径 $a$ の球面 $S^2(a)$ に外向きの $N=x/a$ をとると、$\nu(x)=x/a$ は $S^2(a)$ から $S^2$ への拡大・縮小で、全単射である。$d\nu=\frac1a\,\mathrm{id}$ なので $s=-\frac1a\,\mathrm{id}$、$K=\frac1{a^2}$ である（外向きでは主曲率は $-\frac1a$）。$\nu^*dA_{S^2}=\frac1{a^2}\,dA$ は、球面の面積 $4\pi a^2$ が Gauss 写像で $4\pi$ に写ることにあたる。
円柱 $x(\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$ に外向きの $N=(\cos\theta,\sin\theta,0)$ をとると、$\nu$ の像は赤道 $\{y_3=0\}\cap S^2$ で、$z$ の向きには一定である。$d\nu(x_z)=0$ なので $K=0$ で、像の面積は $0$ である。

懸垂面の Gauss 写像

懸垂面 $x(u,v)=(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ u)$（$u\in\mathbb R$、$v\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z$）の単位法ベクトルを $N=x_u\times x_v/|x_u\times x_v|$ とする。$x_u=(\sinh u\cos v,\sinh u\sin v,1)$、$x_v=(-\cosh u\sin v,\cosh u\cos v,0)$ から
$$ x_u\times x_v=\cosh u\,(-\cos v,\ -\sin v,\ \sinh u),\qquad\nu(u,v)=\Bigl(-\frac{\cos v}{\cosh u},\ -\frac{\sin v}{\cosh u},\ \tanh u\Bigr) $$
である。$u\mapsto\tanh u$ は $\mathbb R$ から $(-1,1)$ への全単射なので、$\nu$ は懸垂面から北極と南極を除いた $S^2\setminus\{(0,0,\pm1)\}$ への全単射で、$K=-1/\cosh^4u\neq0$（Gauss曲率の例「懸垂面と螺旋面」）なので微分同相である。thm-gm-differential の 2 から $\nu$ は向きを逆にし、
$$ \int_MK\,dA=\int_M\nu^*dA_{S^2}=-\operatorname{area}\bigl(S^2\setminus\{(0,0,\pm1)\}\bigr)=-4\pi $$
である。懸垂面は平均曲率が $0$ なので、thm-gm-conformal により $\nu$ は共形でもある。

コンパクトな超曲面

楕円点の存在

$M\subset\mathbb R^{n+1}$ を境界のないコンパクトな超曲面（$n\ge1$）とし、$|x|$ が $M$ の上で最大値 $R$ をとる点を $p$ とする。このとき $R>0$ で、$p$ での単位法ベクトルは $\pm p/R$ であり、内向きの $N_p:=-p/R$ に関する主曲率はすべて $\frac1R$ 以上である。とくに $n=2$ なら $K(p)\ge\frac1{R^2}>0$ で、Gauss 写像は $p$ の近くで向きを保つ微分同相である。

$M$ は $n\ge1$ 次元なので 2 点以上を含み、$R>0$ である。$v\in T_pM$ を任意にとり、$\gamma(0)=p$、$\gamma'(0)=v$ となる $M$ の曲線 $\gamma$ をとって $f(t):=\frac12|\gamma(t)|^2$ とおく。$f$ は $t=0$ で最大値をとるので
$$ f'(0)=\langle p,v\rangle=0,\qquad f''(0)=|v|^2+\langle p,\gamma''(0)\rangle\le0 $$
である。前者から $p\perp T_pM$ で、$p/R$ は単位法ベクトルである。$\mathbb R^{n+1}$ での加速度 $\gamma''(0)$ の法成分は $\mathrm{II}(v,v)$ で（第2基本形式の命題「曲線の加速度と第 2 基本形式」）、$p$ は法ベクトルなので $\langle p,\gamma''(0)\rangle=\langle p,\mathrm{II}(v,v)\rangle$ である。よって $N_p=-p/R$ について
$$ \langle s_pv,v\rangle=\langle\mathrm{II}(v,v),N_p\rangle=-\frac1R\langle\mathrm{II}(v,v),p\rangle\ge\frac{|v|^2}R $$
である。$v$ を主方向の単位ベクトルにとれば、主曲率は $\frac1R$ 以上である。$n=2$ では $K(p)=\kappa_1\kappa_2\ge\frac1{R^2}$ で（$K$ は単位法ベクトルの選び方によらない）、thm-gm-differential の 2・3 により $\nu$ は $p$ の近くで向きを保つ微分同相である。$\square$

平坦なトーラスは埋め込めない

$\mathbb R^3$ の境界のないコンパクトな曲面で、Gauss 曲率がいたるところ $0$ 以下のものはない。とくに、平坦なトーラス $\mathbb R^2/\mathbb Z^2$（Euclid 計量の商）は、$\mathbb R^3$ の曲面として等長に（誘導計量が平坦な計量に一致するように）埋め込めない。

前半は thm-gm-elliptic から従う。後半：そのような埋め込みがあれば、像の Gauss 曲率は誘導計量の断面曲率に等しく（Gaussの驚異の定理）、平坦な計量では $0$ である。これは前半に反する。$\square$

同じ理由で、$\mathbb R^3$ の境界のないコンパクトな曲面は極小曲面にならない（極小曲面では $K=-\kappa_1^2\le0$）。これは平均曲率の系「閉部分多様体は極小でない」の $\mathbb R^3$ の曲面の場合の別証明である。

Gauss 写像の像

$M\subset\mathbb R^{n+1}$ を境界のないコンパクトな超曲面とし、単位法ベクトル場 $N$ に関する Gauss 写像を $\nu$ とする。このとき、すべての $a\in S^n$ について $a\in\nu(M)$ または $-a\in\nu(M)$ である。すなわち $\nu(M)\cup(-\nu(M))=S^n$ である。

$h(p):=\langle p,a\rangle$ はコンパクトな $M$ の上で最大値をとる。その点 $p$ では、prf-gm-elliptic と同じく $M$ の曲線に沿う微分を考えると $\langle v,a\rangle=0$（$v\in T_pM$）なので、$a\perp T_pM$ で、$a=\pm N_p=\pm\nu(p)$ である。$\square$

閉曲面の Gauss 曲率の積分は、Gauss 写像の写像度で決まる。$M\subset\mathbb R^3$ を連結で境界のないコンパクトな曲面とすると
$$ \int_MK\,dA=4\pi\deg\nu=2\pi\chi(M) $$
である（$\chi$ は Euler標数、$\deg$ は写像度）。前半は thm-gm-differential の 2 と写像度の積分公式（Lee13 Theorem 17.35（pp. 457–458））から、後半は Chern–Gauss–Bonnetの定理の定理「超曲面の Chern–Gauss–Bonnet の定理（Hopf）」で $n=1$ とした場合である（偶数次元の超曲面で $\chi(M)=2\deg\nu$）。この記事では後半を証明しない。球面では $\deg\nu=1$、$\chi=2$ で、どちらも $4\pi$ になる。

共形な Gauss 写像

線形写像 $A\colon V\to W$（$V,W$ は内積空間）が、ある $\lambda\ge0$ についてすべての $v$ で $|Av|=\lambda|v|$ を満たすとき、$A$ は共形（拡大率 $\lambda$）であるという。$\lambda>0$ なら、$A$ はベクトルのなす角を保つ。

共形な Gauss 写像

$p\in M$ で、$d\nu_p$ が拡大率 $\lambda$ の共形写像であることと、$p$ での主曲率がすべて $\lambda$ か $-\lambda$ であることは同値である。とくに $n=2$ では、$d\nu_p$ が共形であることと、$p$ が臍点（$\kappa_1=\kappa_2$）であるか平均曲率が $0$（$\kappa_1=-\kappa_2$）であることは同値である。

$s_p$ は自己随伴なので、主方向からなる正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$（$s_pe_i=\kappa_ie_i$）がとれる。$v=\sum_iv^ie_i$ について、thm-gm-differential の 1 から
$$ |d\nu_pv|^2=|s_pv|^2=\sum_i\kappa_i^2(v^i)^2 $$
である。これがすべての $v$ で $\lambda^2|v|^2=\sum_i\lambda^2(v^i)^2$ に等しいことは、$v=e_i$ を代入すれば分かるように、すべての $i$ で $\kappa_i^2=\lambda^2$ と同値である。$n=2$ では、$\kappa_1^2=\kappa_2^2$ は $\kappa_1=\kappa_2$ または $\kappa_1=-\kappa_2$ と同値で、後者は $H=\frac12(\kappa_1+\kappa_2)=0$ のことである。逆に $\kappa_1=\pm\kappa_2$ なら $\lambda=|\kappa_1|$ として共形である。$\square$

$n=2$ で、臍点では $K=\kappa_1^2\ge0$ なので $d\nu_p$ は向きを保ち（$K>0$ のとき）、平均曲率が $0$ の点では $K=-\kappa_1^2\le0$ なので向きを逆にする（$K< 0$ のとき）。とくに極小曲面の Gauss 写像は、$K\neq0$ の点の近くで向きを逆にする共形な局所微分同相である。立体射影 $S^2\setminus\{(0,0,1)\}\to\mathbb C$ は外向きの向きに関して向きを逆にする共形写像なので、極小曲面の Gauss 写像を立体射影したものは、向きの合う等温座標 $z$ について向きを保つ共形写像で、Cauchy–Riemann 方程式を満たす（$K=0$ の点では $\kappa_1=\kappa_2=0$ で $d\nu=0$ なので、方程式は自明に満たされる）。すなわち $z$ の正則関数（極を許せば有理型関数）である。これが極小曲面(微分幾何学) の定理「Weierstrass–Enneper の表示」の 3 の関数 $g$ である。

反例：条件を外すと

各行は条件を 1 つだけ外している。

外す条件	反例	成り立たなくなること
コンパクト（thm-gm-elliptic）	円柱 $S^1\times\mathbb R\subset\mathbb R^3$	主曲率がすべて正の点がある
連結（prop-gm-constant の 1 ⇒ 3）	平行な 2 平面 $\{x_3=0\}\cup\{x_3=1\}$ と $N=(0,0,1)$	1 つの超平面に含まれる
$n=2$（thm-gm-conformal の後半）	$\mathbb R^4$ のグラフ $x_4=\frac12(x_1^2+x_2^2-x_3^2)$ の原点	共形なら臍点か平均曲率 $0$

反例の確かめ

1 行目：円柱の主曲率は、どちらの単位法ベクトルについても $\pm\frac1r$ と $0$ である（第2基本形式の例「球面と円柱」の (2)）。$0$ の主曲率がいつもあるので、主曲率がすべて正の点はない。円柱はコンパクトでなく、$|x|$ は最大値をとらない。
2 行目：$\nu\equiv(0,0,1)$ は定値だが、2 つの平面は 1 つの超平面に含まれない。prf-gm-constant の関数 $f=x_3$ は各成分で定数だが、成分ごとに値が違う。
3 行目：$f=\frac12(x_1^2+x_2^2-x_3^2)$ の原点は臨界点なので、上向きの単位法ベクトルについて、原点での形作用素は Hesse 行列 $\operatorname{diag}(1,1,-1)$ で表される（第2基本形式の例「グラフ」）。主曲率 $1,1,-1$ の絶対値はすべて $1$ なので、thm-gm-conformal により $d\nu_0$ は拡大率 $1$ の共形写像である。しかし主曲率は等しくなく（臍点でない）、平均曲率は $\frac13\neq0$ である。$n\ge3$ では、共形であることは「主曲率がすべて等しい」と「平均曲率が $0$」のどちらにも帰着しない。

補足

流儀と出典

形作用素を $s=d\nu$（符号を付けない）と定め、Gauss–Kronecker 曲率を $\det d\nu$ とする文献もある。そのとき奇数次元の超曲面では $K$ の符号が逆になり、thm-gm-differential の 2 の $(-1)^n$ は付かない。Lee18 Problem 8-9（p. 257）は、この記事と同じく $\nu^*dV_{S^n}=(-1)^nK\,dV$ を述べている。この記事の証明は第2基本形式の Weingarten の方程式から直接書いた。