メタコンパクト空間
概要
メタコンパクト空間（metacompact space）とは、任意の開被覆が点有限な開細分をもつ位相空間である。点有限とは各点を含む細分の成員が有限個であることをいい、細分全体が有限である必要はない。コンパクト空間・パラコンパクト空間・距離空間・離散空間はメタコンパクトだが、逆にメタコンパクトでもパラコンパクトとは限らない。
前提知識: 位相空間, 開被覆, 細分, コンパクト空間, パラコンパクト空間
定義
位相空間 $X$ の部分集合族 $\mathcal{V}$ が 点有限（point-finite）であるとは、各点 $x\in X$ に対して
$$
\{V\in\mathcal{V}\mid x\in V\}
$$
が有限集合であることをいう。
$\mathcal{U}$ と $\mathcal{V}$ を $X$ の被覆とする。$\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の 細分であるとは、各 $V\in\mathcal{V}$ に対して $V\subset U$ となる $U\in\mathcal{U}$ が存在することをいう。さらに $\mathcal{V}$ の各成員が開集合なら、$\mathcal{V}$ を 開細分という。細分は元の被覆の部分族である必要はない。
位相空間 $X$ が メタコンパクト（metacompact）であるとは、$X$ の任意の開被覆 $\mathcal{U}$ が、点有限な開細分 $\mathcal{V}$ をもつことをいう。
本記事ではメタコンパクト性の定義にHausdorff性などの分離公理を含めない。分離公理を含める流儀を採用する場合も、以下の含意に同じ分離公理を仮定すれば議論は変わらない（Engelking89 §5.3）。
直感――各点で有限個に整理する
開被覆には、一つの点の上へ無限個の開集合が重なることがある。メタコンパクト性は、どんな開被覆も、各点から見れば有限個しか重ならない開被覆へ細かく整理できることをいう。空間全体で細分の成員が有限個である必要はなく、必要なのは点ごとの有限性である。この点で、有限部分被覆を要求するコンパクト性より弱い。
基本的な含意
任意のコンパクト空間はメタコンパクトである。
$X$ をコンパクト空間、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。コンパクト性により、$\mathcal{U}$ は有限部分被覆 $\mathcal{V}\subset\mathcal{U}$ をもつ。$\mathcal{V}$ は元の被覆の成員からなるので開細分であり、有限族なので各点を含む成員も有限個である。したがって $\mathcal{V}$ は点有限な開細分であり、$X$ はメタコンパクトである。
任意のパラコンパクト空間はメタコンパクトである。
$X$ をパラコンパクト空間、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。パラコンパクト性により、$\mathcal{U}$ は局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ をもつ。任意の $x\in X$ に対し、局所有限性から $x$ のある近傍 $W$ は $\mathcal{V}$ の有限個の成員としか交わらない。$x$ を含む各 $V\in\mathcal{V}$ は $W$ と点 $x$ で交わるので、そのような $V$ も有限個しかない。よって $\mathcal{V}$ は点有限であり、$X$ はメタコンパクトである。
任意の強パラコンパクト空間はパラコンパクトであり、したがってメタコンパクトである。
強パラコンパクト性は、任意の開被覆が星状有限な開細分 $\mathcal{V}$ をもつことをいう。ここで星状有限とは、各 $V\in\mathcal{V}$ と交わる $\mathcal{V}$ の成員が有限個しかないことである。
$x\in X$ を取り、$x\in V$ となる $V\in\mathcal{V}$ を一つ選ぶ。$V$ 自身が $x$ の開近傍であり、$V$ と交わる成員は有限個しかない。よって $\mathcal{V}$ は局所有限である。したがって $X$ はパラコンパクトであり、前の命題からメタコンパクトでもある。
以上から、分離公理を一律に含めない本記事の流儀では
$$
\text{コンパクト}\Longrightarrow\text{強パラコンパクト}
\Longrightarrow\text{パラコンパクト}\Longrightarrow\text{メタコンパクト}
$$
が成り立つ。最初の含意も、有限部分被覆が星状有限な開細分になることから従う。
例と反例
通常の位相をもつ閉区間 $[0,1]$ はコンパクトなのでメタコンパクトである。ここでは任意の開被覆から有限部分被覆を選ぶだけで、点有限な開細分が得られる。
任意の距離空間はパラコンパクトであるというStoneの定理により、任意の距離空間はメタコンパクトである（Mun00 Theorem 41.4）。特に実数直線 $\mathbb{R}$ は、コンパクトではないがメタコンパクトである。この例は「メタコンパクトならコンパクト」という逆向きの含意を破る。
任意の離散空間 $X$ はメタコンパクトである。実際、開被覆 $\mathcal{U}$ が与えられたとき、各 $x\in X$ はある $U_x\in\mathcal{U}$ に属する。一点集合族
$$
\mathcal{V}=\{\{x\}\mid x\in X\}
$$
は開被覆で、各 $\{x\}$ は $U_x$ に含まれるので $\mathcal{U}$ の開細分である。各点は $\mathcal{V}$ の成員をちょうど一つだけ含むので、$\mathcal{V}$ は点有限である。$X$ が無限なら、この例もメタコンパクト性がコンパクト性を含意しないことを示す。
無限集合 $X$ の一点 $p$ を固定し、空集合と $p$ を含むすべての部分集合を開集合とする特定点位相を考える。この空間はメタコンパクトでない。
実際、
$$
\mathcal{U}=\{\{p,x\}\mid x\in X\setminus\{p\}\}
$$
は開被覆である。$\mathcal{V}$ をその任意の開細分とする。$x\ne p$ を覆う $V\in\mathcal{V}$ は、ある $\{p,y\}\in\mathcal{U}$ に含まれ、$x\in V$ を満たす。したがって $y=x$ であり、非空開集合 $V$ は $p$ を含むので $V=\{p,x\}$ である。ゆえに各 $x\ne p$ について $\{p,x\}\in\mathcal{V}$ が必要であり、点 $p$ は無限個の成員に属する。したがって点有限な開細分は存在しない。
これは「任意の位相空間はメタコンパクトである」という主張を破る反例である。
Dieudonné plank はメタコンパクトだが、可算パラコンパクトですらなく、したがってパラコンパクトでない（SS95 Example 89）。これは
$$
\text{メタコンパクト}\Longrightarrow\text{パラコンパクト}
$$
という逆向きの含意を破る標準反例である。空間の構成と性質の検証は同文献に譲る。
可算メタコンパクト性との違い
位相空間 $X$ が 可算メタコンパクト（countably metacompact）であるとは、$X$ の任意の可算な開被覆が点有限な開細分をもつことをいう。
メタコンパクト空間は可算メタコンパクトだが、逆は成り立たない。たとえばNiemytzki平面（Moore平面）は可算メタコンパクトだがメタコンパクトでない（SS95 Example 82）。したがって、可算メタコンパクト性は「任意の開被覆」を扱うメタコンパクト性より真に弱い。これはLindelöf性や可算コンパクト性とも別の被覆性質である。
用語と学習の道筋
点有限性は、各点を 含む 成員の個数を数える。局所有限性は、各点のある近傍と 交わる 成員の個数を数えるので、より強い。星状有限性は、各成員と交わる成員の個数を数え、開被覆については局所有限性よりさらに強い。この差が、強パラコンパクト・パラコンパクト・メタコンパクトの順序を生む。
メタコンパクト性を学んだ後は、まず パラコンパクト空間 と比較して局所有限性の利点を確認し、次に可算メタコンパクト性、被覆次元、点有限な1の分割へ進むとよい。メタコンパクト性は細分全体の濃度を有限または可算にする条件ではないことにも注意する。
関連項目
- 前提: 位相空間, 開被覆, 細分
- 比較: コンパクト空間, パラコンパクト空間, 強パラコンパクト空間
- 直後に読む: 可算メタコンパクト空間, 局所有限族
- 発展: 被覆次元, 1の分割, Niemytzki平面
参考文献
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