一意存在記号

同義語：一意存在量化子

概要

一意存在記号（unique existence quantifier）とは、「$P(x)$ をみたす対象がただ一つ存在する」ことを表す記号 $\exists!$ であり、$\exists!\,x\,P(x)$ は等号をもつ一階述語論理の論理式 $\exists x\,(P(x)\wedge\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=x))$ の略記である。これは存在の部分 $\exists x\,P(x)$ と一意性の部分 $\forall y\,\forall z\,(P(y)\wedge P(z)\Rightarrow y=z)$ の連言とも、$\exists x\,\forall y\,(P(y)\Leftrightarrow y=x)$ とも同値である。新しい論理記号ではないので、二つの一意存在を連言でつないでも一般には一意存在は得られない。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 全称記号, 命題, 等号

定義

以下、変数 $x,y,z$ は一つの議論領域（考察の対象全体。空でないとする）を走るものとし、その各対象 $a$ ごとに真偽が定まる命題を $P(a)$ の形で表す。このような $P$ を変数 $x$ の命題関数という。$\forall$（どの対象についても）と $\exists$（少なくとも一つの対象について）は通常の意味で用い、古典論理の推論（連言・選言・含意の扱い、背理法、二重否定の除去）と、否定の規則
$$\lnot\bigl(\forall x\,P(x)\bigr)\Leftrightarrow\exists x\,\lnot P(x),\qquad \lnot\bigl(\exists x\,P(x)\bigr)\Leftrightarrow\forall x\,\lnot P(x)$$
を用いる。これらは 全称記号 が扱う。
等号 $=$ について本記事が使うのは次の二つだけである。

反射律と代入則
  1. （反射律）どの対象 $a$ についても $a=a$ である。
  2. （代入則）$a=b$ ならば、どの命題関数 $R$ についても $R(a)$ と $R(b)$ の真偽は一致する。

代入則から等号の対称性と推移性が従う。実際、$a=b$ のとき、命題関数 $R(t)$ を「$t=a$」として代入則を使うと $R(a)$ と $R(b)$、すなわち $a=a$ と $b=a$ の真偽が一致し、反射律より $a=a$ は真だから $b=a$ が真である。また $a=b$ かつ $b=c$ のとき、命題関数 $R(t)$ を「$a=t$」として $b=c$ に代入則を使えば、$a=b$ が真であることから $a=c$ が真である。$a=b$ が成り立たないことを $a\neq b$ と書く。

ただ一つ存在することの略記

命題関数 $P$ と、$P$ に自由に現れない変数 $y$ に対し
$$\exists!\,x\,P(x)\ \ :\Longleftrightarrow\ \ \exists x\,\bigl(P(x)\wedge\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=x)\bigr)$$
と定める。すなわち $\exists!\,x\,P(x)$ は右辺の論理式の略記であり、「$P$ をみたす対象がただ一つ存在する」と読む。この $\exists!$ を一意存在記号（unique existence quantifier）という（Enderton）。

右辺は $\exists$、$\forall$、連言、含意、そして等号だけからできている。したがって $\exists!$ は新しい論理記号ではなく、等号をもつ一階述語論理の論理式に対する書き方の約束である。等号記号をもたない言語では、この右辺をそのまま書き下すことができない。

展開に使う変数の取り替え

展開に使う変数 $y$ を、$P$ に自由に現れないものに取ることは必要である。$P(x)$ として「$x=y$」（$y$ は自由変数）を取ってみる。$P$ に現れない変数 $z$ を使って展開すると
$$\exists x\,\bigl(x=y\wedge\forall z\,(z=y\Rightarrow z=x)\bigr)$$
となり、$x$ として $y$ の値を取れば、反射律により 1 つ目の連言項が、含意の形から 2 つ目の連言項が成り立つので、これは真である。ところが変数 $y$ をそのまま使って
$$\exists x\,\bigl(x=y\wedge\forall y\,(y=y\Rightarrow y=x)\bigr)$$
と書くと、$P$ の中の $y$ が $\forall$ に束縛されてしまう（束縛変数）。反射律より $y=y$ は真なので $\forall y\,(y=y\Rightarrow y=x)$ は $\forall y\,(y=x)$ と同値であり、この論理式は「議論領域の対象がすべて等しい」という、もとの主張とは別の主張になる。したがって展開に使う変数は $P$ に自由に現れないものへ取り替える。

直感

一意存在記号は、「少なくとも一つある」という存在の主張と「二つはない」という一意性の主張を、一つの記号にまとめた略記である。二つの主張を束ねただけで新しい論理記号ではないので、$\exists$ や $\forall$ と同じようには振る舞わない。二つの一意存在を連言や選言でつないでも一般には一意存在にはならず（rem-uniqueness-quantifier-counterexample-distribution）、条件を狭めたり広げたりすると真偽が変わる。連言については、cor-uniqueness-quantifier-conjunction のような追加の仮定のもとでなら一意存在が得られる。数学で「$P$ をみたすものを $a$ とおく」と書けるのは一意存在が示されているときであり、存在だけしか分かっていなければ、どれを選んだかによって以後の議論が変わりうる。

例と反例

一次方程式の解

議論領域を実数全体 $\mathbb{R}$ とし、$P(x)$ を「$x+1=0$」とする。このとき $\exists!\,x\,P(x)$ は真である。存在：$(-1)+1=0$ なので $P(-1)$ が成り立つ。一意性：$P(y)$、すなわち $y+1=0$ とすると、両辺に $-1$ を加えて
$$y=y+0=y+\bigl(1+(-1)\bigr)=(y+1)+(-1)=0+(-1)=-1$$
を得る。よって $P(-1)\wedge\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=-1)$ が成り立ち、定義の右辺が $x$ として $-1$ を取ることで満たされる。

条件を限ると真偽が変わること

議論領域を整数全体 $\mathbb{Z}$ とし、$P(x)$ を「$x^2=1$」とする。$\exists!\,x\,P(x)$ は偽である（rem-uniqueness-quantifier-counterexample-nonunique）。一方、$A:=\{a\in\mathbb{Z}\mid a>0\}$ とすると $\exists!\,x\in A,\ P(x)$ は真である。実際 $1\in A$ かつ $1^2=1$ である。また $y\in A$ かつ $y^2=1$ ならば $(y-1)(y+1)=y^2-1=0$ であり、$y>0$ より $y+1>1>0$ だから $y+1\neq0$、したがって $\mathbb{Z}$ で積が $0$ ならば因子の一方が $0$ であることから $y-1=0$、すなわち $y=1$ である。条件を限った一意存在の意味は prop-uniqueness-quantifier-relativization で述べる。

反例：存在するが一意でないこと

議論領域を $\mathbb{Z}$ とし、$P(x)$ を「$x^2=1$」とする。この $P$ は性質「$\exists x\,P(x)$」を満たすが、性質「$\exists!\,x\,P(x)$」を満たさない。実際 $1^2=1$ なので $P(1)$ が成り立ち、存在が言える。一方 $(-1)^2=1$ なので $P(-1)$ も成り立ち、$1-(-1)=2\neq0$ だから $1\neq-1$ である。もし $\exists!\,x\,P(x)$ が真ならば、prop-uniqueness-quantifier-decomposition の一意性の部分を $y$ として $1$、$z$ として $-1$ に適用して $1=-1$ が従い、矛盾する。したがって含意「$\exists x\,P(x)\Rightarrow\exists!\,x\,P(x)$」は成り立たない。

反例：一意性の部分だけでは一意存在にならないこと

議論領域を $\mathbb{Z}$ とし、$P(x)$ を「$2x=1$」とする。この $P$ は性質「$\forall y\,\forall z\,\bigl(P(y)\wedge P(z)\Rightarrow y=z\bigr)$」を満たすが、性質「$\exists!\,x\,P(x)$」を満たさない。前者：$2y=1$ かつ $2z=1$ ならば $2y=2z$ なので $2(y-z)=0$ であり、$2\neq0$ と、$\mathbb{Z}$ で積が $0$ ならば因子の一方が $0$ であることから $y-z=0$、すなわち $y=z$ である。後者：$P$ をみたす整数はない。実際、どの整数 $x$ も $x\ge1$ か $x\le0$ のいずれかであり（$0< x<1$ をみたす整数はない）、$x\ge1$ なら $2x\ge2>1$、$x\le0$ なら $2x\le0<1$ で、どちらの場合も $2x\neq1$ である。よって prop-uniqueness-quantifier-decomposition の存在の部分が成り立たない。したがって含意「$\forall y\,\forall z\,\bigl(P(y)\wedge P(z)\Rightarrow y=z\bigr)\Rightarrow\exists!\,x\,P(x)$」は成り立たない。一意性の部分は、$P$ をみたす対象が一つもないときにも空虚に成り立つことに注意する。

反例：連言・選言と交換しないこと

$\forall$ は連言と、$\exists$ は選言と交換する。実際、$\forall x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)$ も $\forall x\,P(x)\wedge\forall x\,Q(x)$ も「どの対象でも $P$ が成り立ち、かつどの対象でも $Q$ が成り立つ」ことに他ならず、$\exists x\,\bigl(P(x)\vee Q(x)\bigr)$ も $\exists x\,P(x)\vee\exists x\,Q(x)$ も「$P$ をみたす対象があるか、$Q$ をみたす対象がある」ことに他ならない。$\exists!$ には、これに当たる同値がない。ただし選言については片方向の含意
$$\exists!\,x\,\bigl(P(x)\vee Q(x)\bigr)\ \Longrightarrow\ \exists!\,x\,P(x)\vee\exists!\,x\,Q(x)$$
が成り立つ。実際、$P(x)\vee Q(x)$ をみたす対象がただ一つあるとして、def-uniqueness-quantifier の右辺をみたす対象を $a$ とすると $P(a)\vee Q(a)$ であり、$P(a)$ の場合は、$P(y)$ をみたす $y$ はいずれも $P(y)\vee Q(y)$ をみたすので $y=a$ となり、$\exists!\,x\,P(x)$ が成り立つ。$Q(a)$ の場合も同様に $\exists!\,x\,Q(x)$ が成り立つ。逆向きの含意「$\exists!\,x\,P(x)\vee\exists!\,x\,Q(x)\Rightarrow\exists!\,x\,\bigl(P(x)\vee Q(x)\bigr)$」は成り立たず（下の 2 の $P$、$Q$ では $\exists!\,x\,P(x)$ が真で $\exists!\,x\,\bigl(P(x)\vee Q(x)\bigr)$ が偽である）、連言についてはどちらの向きも成り立たない。すなわち含意「$\exists!\,x\,P(x)\wedge\exists!\,x\,Q(x)\Rightarrow\exists!\,x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)$」は下の 1 が反例であり、含意「$\exists!\,x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)\Rightarrow\exists!\,x\,P(x)\vee\exists!\,x\,Q(x)$」は下の 3 が反例である（下の 3 の $P$、$Q$ では、$\exists!\,x\,P(x)$ が偽であることに加えて、$1$ と $2$ がともに $x>0$ をみたし $2-1=1\neq0$ より $1\neq2$ だから $\exists!\,x\,Q(x)$ も偽である）。以下、議論領域を $\mathbb{Z}$ とする。どの対象 $a$ についても $\exists!\,x\,(x=a)$ は真であることに注意する（存在は反射律 $a=a$ により、一意性は $y=a\Rightarrow y=a$ による）。

  1. $P(x)$ を「$x=0$」、$Q(x)$ を「$x=1$」とすると、$\exists!\,x\,P(x)$ と $\exists!\,x\,Q(x)$ はともに真である。しかし $P(x)\wedge Q(x)$ をみたす整数 $x$ があれば、$x=0$ と $x=1$ から等号の対称性と推移性により $0=1$ となって $0\neq1$ に反するので、$P(x)\wedge Q(x)$ をみたす整数はなく、$\exists!\,x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)$ は偽である。したがって含意「$\exists!\,x\,P(x)\wedge\exists!\,x\,Q(x)\Rightarrow\exists!\,x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)$」は成り立たない。
  2. 同じ $P$、$Q$ について、$P(x)\vee Q(x)$ は $0$ と $1$ の二つでみたされ、$0\neq1$ だから、prop-uniqueness-quantifier-decomposition の一意性の部分が破れ $\exists!\,x\,\bigl(P(x)\vee Q(x)\bigr)$ は偽である。したがって含意「$\exists!\,x\,P(x)\wedge\exists!\,x\,Q(x)\Rightarrow\exists!\,x\,\bigl(P(x)\vee Q(x)\bigr)$」は成り立たない。
  3. $P(x)$ を「$x^2=1$」、$Q(x)$ を「$x>0$」とすると、$P(x)\wedge Q(x)$ をみたす整数は $1$ だけなので $\exists!\,x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)$ は真だが（ex-uniqueness-quantifier-relativized と同じ計算）、$\exists!\,x\,P(x)$ は偽である（rem-uniqueness-quantifier-counterexample-nonunique）。したがって含意「$\exists!\,x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)\Rightarrow\exists!\,x\,P(x)$」は成り立たない。
  4. $P(x)$ を「$x=0$」、$R(x)$ を「$x^2=x$」とすると、$0^2=0$ と代入則から $\forall x\,\bigl(P(x)\Rightarrow R(x)\bigr)$ が成り立ち、$\exists!\,x\,P(x)$ は真である。しかし $1^2=1$ でもあるので $R$ は $0$ と $1$ の二つでみたされ、$\exists!\,x\,R(x)$ は偽である。したがって含意「$\exists!\,x\,P(x)$ かつ $\forall x\,\bigl(P(x)\Rightarrow R(x)\bigr)$ ならば $\exists!\,x\,R(x)$」は成り立たない。条件を狭める向きで正しい形は prop-uniqueness-quantifier-restriction と cor-uniqueness-quantifier-conjunction にある。

性質

存在と一意性への分解

$\exists!\,x\,P(x)$ は、次の二つがともに成り立つことと同値である。

  1. （存在の部分）$\exists x\,P(x)$。
  2. （一意性の部分）$\forall y\,\forall z\,\bigl(P(y)\wedge P(z)\Rightarrow y=z\bigr)$。

まず $\exists!\,x\,P(x)$ を仮定する。定義より、ある対象 $a$ があって $P(a)$ かつ $\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=a)$ である。$P(a)$ から 1 が従う。次に $P(y)$ かつ $P(z)$ とすると $y=a$ かつ $z=a$ である。命題関数 $R(t)$ を「$y=t$」とし、$z=a$ に代入則（axm-uniqueness-quantifier-equality）を使うと、$R(z)$ と $R(a)$ の真偽が一致する。$R(a)$ すなわち $y=a$ は真なので $R(z)$ すなわち $y=z$ が真である。よって 2 が成り立つ。
逆に 1 と 2 を仮定する。1 より、ある対象 $a$ があって $P(a)$ である。任意の $y$ について、$P(y)$ ならば $P(y)\wedge P(a)$ なので、2 を $y$ と $a$ に適用して $y=a$ を得る。よって $P(a)\wedge\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=a)$ が成り立ち、定義の右辺が $x$ として $a$ を取ることで満たされるので $\exists!\,x\,P(x)$ である。$\square$

同値な展開

$\exists!\,x\,P(x)$ は $\exists x\,\forall y\,\bigl(P(y)\Leftrightarrow y=x\bigr)$ と同値である。

まず $\exists!\,x\,P(x)$ を仮定し、定義の右辺をみたす対象 $a$ を取る。$P(a)$ かつ $\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=a)$ である。任意の $y$ について、$P(y)\Rightarrow y=a$ は仮定に含まれている。逆に $y=a$ とすると、命題関数 $P$ に代入則（axm-uniqueness-quantifier-equality）を使って $P(y)$ と $P(a)$ の真偽が一致し、$P(a)$ は真だから $P(y)$ が真である。よって $\forall y\,\bigl(P(y)\Leftrightarrow y=a\bigr)$ が成り立つ。
逆に $\forall y\,\bigl(P(y)\Leftrightarrow y=a\bigr)$ をみたす対象 $a$ があるとする。$y$ として $a$ を取ると $P(a)\Leftrightarrow a=a$ であり、反射律より $a=a$ は真だから $P(a)$ が真である。また $\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=a)$ は同値の片方向として含まれている。よって定義の右辺が $x$ として $a$ を取ることで満たされ、$\exists!\,x\,P(x)$ である。$\square$

一意存在の否定

$\lnot\exists!\,x\,P(x)$ は、次のいずれかが成り立つことと同値である。

  1. $P$ をみたす対象が一つもない。すなわち $\forall x\,\lnot P(x)$。
  2. $P$ をみたす相異なる二つの対象がある。すなわち $\exists y\,\exists z\,\bigl(P(y)\wedge P(z)\wedge y\neq z\bigr)$。

prop-uniqueness-quantifier-decomposition より $\exists!\,x\,P(x)$ は存在の部分と一意性の部分の連言と同値であるから、その否定は二つの否定の選言と同値である。存在の部分の否定は、冒頭に挙げた否定の規則により $\lnot\exists x\,P(x)\Leftrightarrow\forall x\,\lnot P(x)$ で 1 になる。一意性の部分の否定は、同じ規則を二度使って
$$\lnot\forall y\,\forall z\,\bigl(P(y)\wedge P(z)\Rightarrow y=z\bigr)\Leftrightarrow\exists y\,\exists z\,\lnot\bigl(P(y)\wedge P(z)\Rightarrow y=z\bigr)$$
となり、含意 $S\Rightarrow T$ の否定が $S\wedge\lnot T$ と同値であることから、右辺は $\exists y\,\exists z\,\bigl(P(y)\wedge P(z)\wedge y\neq z\bigr)$ すなわち 2 と同値である。$\square$

条件を限った一意存在

$A$ を議論領域の部分集合とし、$\exists!\,x\in A,\ P(x)$ を $\exists!\,x\,\bigl(x\in A\wedge P(x)\bigr)$ の略記とする。以下、所属 $x\in A$ は変数 $x$ の命題関数として扱い、集合についての公理は使わない。このとき $\exists!\,x\in A,\ P(x)$ は
$$\exists x\,\Bigl(x\in A\wedge P(x)\wedge\forall y\,\bigl(y\in A\Rightarrow(P(y)\Rightarrow y=x)\bigr)\Bigr)$$
と同値である。すなわちこれは、$A$ の中に $P$ をみたすものがあり、$A$ の中ではそれが唯一である、という主張である。

命題関数 $Q$ を「$x\in A\wedge P(x)$」とすると、定義より $\exists!\,x\in A,\ P(x)$ は
$$\exists x\,\Bigl(x\in A\wedge P(x)\wedge\forall y\,\bigl((y\in A\wedge P(y))\Rightarrow y=x\bigr)\Bigr)$$
である。命題 $S$、$T$、$U$ について $(S\wedge T)\Rightarrow U$ と $S\Rightarrow(T\Rightarrow U)$ は同値であるから、$S$ を「$y\in A$」、$T$ を「$P(y)$」、$U$ を「$y=x$」として、内側の全称命題は $\forall y\,\bigl(y\in A\Rightarrow(P(y)\Rightarrow y=x)\bigr)$ と同値である。よって主張の式が得られる。$\square$

同値な条件への移行と条件を狭めた場合
  1. $\forall x\,\bigl(P(x)\Leftrightarrow Q(x)\bigr)$ ならば、$\exists!\,x\,P(x)$ と $\exists!\,x\,Q(x)$ は同値である。
  2. $\exists!\,x\,P(x)$、$\forall x\,\bigl(Q(x)\Rightarrow P(x)\bigr)$、$\exists x\,Q(x)$ がすべて成り立つならば $\exists!\,x\,Q(x)$ である。さらに、$P(a)$ をみたす $a$ と $Q(b)$ をみたす $b$ については $a=b$ である。
  1. prop-uniqueness-quantifier-decomposition により、存在の部分と一意性の部分をそれぞれ移せばよい。$\exists!\,x\,P(x)$ とする。$P(a)$ をみたす $a$ を取ると仮定より $Q(a)$ なので $\exists x\,Q(x)$ である。また $Q(y)$ かつ $Q(z)$ ならば仮定より $P(y)$ かつ $P(z)$ なので $y=z$ である。よって $\exists!\,x\,Q(x)$ である。$P$ と $Q$ の役割を入れ替えれば逆も同様である。
  2. $\exists!\,x\,P(x)$ より、$P(c)$ かつ $\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=c)$ をみたす対象 $c$ を取る。$\exists x\,Q(x)$ より $Q(b)$ をみたす $b$ が取れ、$\forall x\,\bigl(Q(x)\Rightarrow P(x)\bigr)$ より $P(b)$ なので $b=c$ である。よって存在の部分 $\exists x\,Q(x)$ が成り立つ。一意性の部分は、$Q(y)$ かつ $Q(z)$ ならば $P(y)$ かつ $P(z)$ となり、prop-uniqueness-quantifier-decomposition の一意性の部分から $y=z$ が従うことによる。よって prop-uniqueness-quantifier-decomposition により $\exists!\,x\,Q(x)$ である。最後の主張については、$P(a)$ をみたす $a$ は $\forall y\,(P(y)\Rightarrow y=c)$ より $a=c$ をみたし、$Q(b)$ をみたす $b$ は上のとおり $b=c$ をみたすので、等号の対称性と推移性から $a=b$ である。$\square$
連言が一意存在になる条件

$\exists!\,x\,P(x)$ かつ $\exists x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)$ ならば $\exists!\,x\,\bigl(P(x)\wedge Q(x)\bigr)$ である。

命題関数 $Q'$ を「$P(x)\wedge Q(x)$」とすると $\forall x\,\bigl(Q'(x)\Rightarrow P(x)\bigr)$ が成り立ち、仮定より $\exists x\,Q'(x)$ である。よって prop-uniqueness-quantifier-restriction の 2 から $\exists!\,x\,Q'(x)$ が従う。$\square$

補足：等号への依存と、他の記事との分担

定義の右辺には等号が現れ、これを外すことはできない。等号記号をもたない言語では右辺をそのまま書き下せず、等号の代わりに議論領域上の同値関係 $\sim$ を用いて $\exists x\,\bigl(P(x)\wedge\forall y\,(P(y)\Rightarrow y\sim x)\bigr)$ とすれば、「$\sim$ を除いてただ一つ」という別の主張になる。たとえば $\mathbb{Z}$ 上で $P(x)$ を「$x^2=1$」とし、$x\sim y$ を「$x=y$ または $x=-y$」で定めると、$\sim$ は $\mathbb{Z}$ 上の同値関係であり（反射律は $x=x$ による。対称性は、$x=-y$ のとき両辺に $-1$ を掛けて $-x=y$ を得ることによる。推移性は、$x=\pm y$ と $y=\pm z$ の四つの場合を $-(-z)=z$ を使って確かめればよい）、$P$ をみたす整数は $1$ と $-1$ だけであり（$x^2=1$ ならば $(x-1)(x+1)=x^2-1=0$ であり、$\mathbb{Z}$ で積が $0$ ならば因子の一方が $0$ であることから $x=1$ または $x=-1$ である）、この二つは $\sim$ で結ばれるのでこの意味では一意である。しかし rem-uniqueness-quantifier-counterexample-nonunique のとおり $\exists!\,x\,P(x)$ 自体は偽である。
$\forall x\,\exists!\,y\,R(x,y)$ という形の主張は、どの $x$ に対しても対応する $y$ がただ一つ定まることを述べており、$x$ に $y$ を対応させる規則が定まっていることの表現として使われる。
親記事 全称記号 が扱う事項は本記事では再掲しない。すなわち、$\exists!\,x\,P(x)$ から $\exists x\,P(x)$ が従うこと、変域が空のときの $\forall$・$\exists$・$\exists!$ の真偽、$\forall$ と $\exists$ の否定の規則、$\forall\exists$ と $\exists\forall$ の違いである。また、二項演算の単位元がただ一つに定まることは 単位元 が、逆元がただ一つに定まることは 逆元 が所有しており、本記事はそれらを再掲しない。cor-uniqueness-quantifier-conjunction や prop-uniqueness-quantifier-restriction は、そうした個別の一意性の議論に共通する形を取り出したものである。
本記事が使った基礎は、等号の反射律と代入則、古典論理の推論と $\forall$・$\exists$ の否定の規則、および例と反例のための $\mathbb{Z}$ の演算と順序の基本性質（$0\neq1$、$2\neq0$、積が $0$ ならば因子の一方が $0$ であること、$0< a<1$ をみたす整数がないこと、$-(-a)=a$）と $\mathbb{R}$ の加法の結合律・単位元・逆元である。所属 $x\in A$ は命題関数として扱っており、集合についての公理は使わない。選択公理も使わない。一意存在記号の定義と略記としての位置づけは Enderton に従う。

関連項目

参考文献

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