正則領域

$\mathbb{C}^n$ の開集合の連結成分は開集合である（各点の小さな球は連結だから）。よって $V'$ は空でない開集合で、$V'\subset U$ と $W\not\subset U$ から $V'\neq W$ である。$W$ は連結なので、$V'$ は $W$ の中で閉集合でない（閉なら開かつ閉で $V'=W$ となる）。したがって $W$ の点 $q$ で、$V'$ の閉包に属し $V'$ に属さないものがある。もし $q\in U$ なら、$q$ は $U\cap W$ の点であり、$q$ を含む $U\cap W$ の連結成分は $q$ の開近傍として $V'$ と交わるので $V'$ に等しく、$q\in V'$ となって矛盾する。よって $q\in W\setminus U$ である。後半は、$F-f$ が連結な開集合 $V'$ の上で正則で、空でない開集合 $V\cap V'$（$v$ を含む）の上で $0$ だから、一致の定理（prop-doh-basic の 4）による。

$V,W$ が存在したとして、lem-doh-boundary の $V'$ と $q$ をとる。$q$ は $U$ に属さず $U$ の閉包に属するので境界点である。$f_q$ の延長 $F\in\mathcal{O}(W)$ は $V'$ の上で $f_q$ と一致する。$V'$ の点列 $z_k\to q$ をとると、$F$ は $q\in W$ で連続なので $F(z_k)\to F(q)$ だが、$|f_q(z_k)|\to\infty$ であり、矛盾する。

1：$K\subset\widehat K_U$ は定義から明らかである。$\widehat K_U$ は連続関数 $|f|$ による閉集合 $\{|f|\le\sup_K|f|\}$ の、$f\in\mathcal{O}(U)$ にわたる共通部分なので、$U$ の中で閉である。座標関数 $z_j$ は正則なので、$\widehat K_U$ の点は $|z_j|\le\sup_K|z_j|$ を満たし、$\widehat K_U$ は有界である。2：$\sup_K|f|\le\sup_L|f|$ による。3：$K\subset\widehat K_U$ から $\ge$、定義から $\le$ が従う。後半は前半から $\widehat{(\widehat K_U)}_U\subset\widehat K_U$ が従い、逆の包含は 1 による。

$m\ge1$ について $L_m:=\{z\in U\mid\|z\|_\infty\le m,\ d_U(z)\ge1/m\}$ とおき、$L_m$ が空でない $m$ だけを考える（$m$ が大きければ空でない）。$d_U$ は連続で、$d_U\ge1/m$ の点の極限は $U$ に属するので、$L_m$ は $\mathbb{C}^n$ の有界閉集合でコンパクトであり、$L_m\subset L_{m+1}$ である。$U$ のコンパクト集合 $C$ は有界で $d_U$ は $C$ の上で正の最小値をとるので、$C$ はある $L_m$ に含まれる。$K_m:=\widehat{(L_m)}_U$ とおくと、正則凸性により $K_m$ はコンパクトで、prop-doh-hull により $K_m\subset K_{m+1}$、$\widehat{(K_m)}_U=K_m$ である。

各 $K_m$ はコンパクトで $q\notin U$ なので、$p_j\in K_m$ となる $j$ は有限個しかない（無限個あれば部分列が $K_m$ の点に収束するが、極限は $q\notin K_m$ である）。そこで、番号 $m_1< m_2<\cdots$ と部分列 $p_{j_1},p_{j_2},\dots$ を、$p_{j_k}\notin K_{m_k}$ かつ $p_{j_k}\in K_{m_{k+1}}$ となるように帰納的に選べる（$p_{j_k}$ を選んだら、$p_{j_k}\in L_m$ となる $m>m_k$ を $m_{k+1}$ とし、$K_{m_{k+1}}$ に属さない $p_j$（$j>j_k$）を $p_{j_{k+1}}$ とする）。$x_k:=p_{j_k}$、$C_k:=K_{m_k}$ と書く。

$x_k\notin C_k=\widehat{(C_k)}_U$ なので、$g\in\mathcal{O}(U)$ で $|g(x_k)|>\sup_{C_k}|g|$ となるものがある。$g$ を定数倍して $\sup_{C_k}|g|<1<|g(x_k)|$ としてよい。正の整数 $N$ を十分大きくとって $f_k:=g^N$ とおくと、$$\sup_{C_k}|f_k|\le2^{-k},\qquad|f_k(x_k)|\ge k+1+\sum_{l< k}|f_l(x_k)|$$とできる（$f_1,\dots,f_{k-1}$ は先に決めておく）。$f:=\sum_{k\ge1}f_k$ とおく。$U$ のコンパクト集合 $C$ はある $L_m$ に含まれ、$m_l\ge m$ となる $l$ をとれば $C\subset K_m\subset K_{m_l}=C_l$ である。$k\ge l$ なら $C\subset C_k$ で $|f_k|\le2^{-k}$ なので、級数は $C$ の上で一様に収束し、$f\in\mathcal{O}(U)$ である（prop-doh-basic の 5）。$l>k$ なら $x_k\in C_{k+1}\subset C_l$ なので $|f_l(x_k)|\le2^{-l}$ であり、$$|f(x_k)|\ge|f_k(x_k)|-\sum_{l< k}|f_l(x_k)|-\sum_{l>k}2^{-l}\ge k+1-1=k$$となる。よって $f$ は部分列 $(x_k)$ の上で有界でない。

1：ex-doh-examples の 1・3（凸な領域が $\mathbb{C}^n$ 全体のときは thm-doh-cartan-thullen の証明の冒頭）と thm-doh-cartan-thullen による。

2：$g\in\mathcal{O}(U')$ なら $g\circ\varphi\in\mathcal{O}(U)$ であり（正則写像 の命題「正則関数の引き戻しによる判定」）、$\varphi^{-1}$ についても同様なので、$g\mapsto g\circ\varphi$ は $\mathcal{O}(U')$ から $\mathcal{O}(U)$ への全単射である。コンパクト集合 $K\subset U$ と $z\in U$ について$$z\in\widehat K_U\iff|g(\varphi(z))|\le\sup_K|g\circ\varphi|=\sup_{\varphi(K)}|g|\ \ (g\in\mathcal{O}(U'))\iff\varphi(z)\in\widehat{\varphi(K)}_{U'}$$だから、$\varphi(\widehat K_U)=\widehat{\varphi(K)}_{U'}$ である。$\varphi$ は同相写像なので、$U$ が正則凸なら $U'$ も正則凸であり、逆も同様である。thm-doh-cartan-thullen により主張を得る。

$d_U$ と同じく $d_{U,\nu}$ は $U$ 上で正の連続関数であり（$|d_{U,\nu}(z)-d_{U,\nu}(z')|\le\nu(z-z')$）、$\{y\mid\nu(y-z)< r\}\subset U$ となるのは $r\le d_{U,\nu}(z)$ のときである。$u:=-\log d_{U,\nu}$ とおく。

段 1．$a\in U$、$b\in\mathbb{C}^n$ が $\{a+\zeta b\mid|\zeta|\le1\}\subset U$ を満たし、1 変数の多項式 $p$ について $|\zeta|=1$ で $u(a+\zeta b)\le\operatorname{Re}p(\zeta)$、すなわち $d_{U,\nu}(a+\zeta b)\ge|e^{-p(\zeta)}|$ とする。$|\zeta|\le1$ でも同じ不等式が成り立つことを示す。$\nu(w)< 1$ となる $w$ を固定し、$t\in[0,1]$ について $\Phi_t(\zeta):=a+\zeta b+t\,e^{-p(\zeta)}w$ とおく（$\mathbb{C}$ 全体で正則）。$|\zeta|=1$ では $\nu(\Phi_t(\zeta)-(a+\zeta b))=t|e^{-p(\zeta)}|\nu(w)< d_{U,\nu}(a+\zeta b)$ なので $\Phi_t(\zeta)\in U$ であり、$K:=\{\Phi_t(\zeta)\mid|\zeta|=1,\ 0\le t\le1\}$ は $U$ に含まれる空でないコンパクト集合である。$L$ を $\widehat K_{\mathcal P}$ の閉包、$\overline{\mathbb{D}}:=\{|\zeta|\le1\}$、$\Lambda:=\{t\in[0,1]\mid\Phi_t(\overline{\mathbb{D}})\subset U\}$ とおくと $0\in\Lambda$ である。

$t\in\Lambda$、$|\zeta_0|< 1$ とする。$m(\zeta):=(\zeta+\zeta_0)/(1+\bar\zeta_0\zeta)$ は $|\zeta|< 1/|\zeta_0|$（$\zeta_0=0$ なら $\mathbb{C}$ 全体）で正則で、$\overline{\mathbb{D}}$ を $\overline{\mathbb{D}}$ に、単位円周を単位円周に写し、$m(0)=\zeta_0$ である。$v\in\mathcal{P}$ と $\Phi_t\circ m$ に 擬凸領域 の補題「正則円板の最大値原理」（$\rho=1$）を使うと $v(\Phi_t(\zeta_0))\le\max_{|\zeta|=1}v(\Phi_t(\zeta))\le\sup_Kv$ である。$|\zeta_0|=1$ なら $\Phi_t(\zeta_0)\in K$ である。よって $\Phi_t(\overline{\mathbb{D}})\subset\widehat K_{\mathcal P}\subset L$ である。

$\Lambda$ は閉集合である：$t_k\in\Lambda$、$t_k\to t$ なら、各 $\zeta\in\overline{\mathbb{D}}$ で $\Phi_{t_k}(\zeta)\in L$、$\Phi_{t_k}(\zeta)\to\Phi_t(\zeta)$ なので $\Phi_t(\zeta)\in L\subset U$ である。$\Lambda$ は $[0,1]$ の中で開集合である：$t\in\Lambda$ なら、コンパクト集合 $\Phi_t(\overline{\mathbb{D}})$ の上での $d_{U,\nu}$ の最小値 $\eta>0$ と $M:=\max_{\overline{\mathbb{D}}}|e^{-p}|$ について、$|s-t|M< \eta$ なら $\nu(\Phi_s(\zeta)-\Phi_t(\zeta))=|s-t||e^{-p(\zeta)}|\nu(w)< \eta$ なので $\Phi_s(\overline{\mathbb{D}})\subset U$ である。$[0,1]$ は連結なので $\Lambda=[0,1]$ である。$t=1$ で $w$ を動かすと、$|\zeta|\le1$ について $\{y\mid\nu(y-a-\zeta b)< |e^{-p(\zeta)}|\}\subset U$、すなわち $d_{U,\nu}(a+\zeta b)\ge|e^{-p(\zeta)}|$ である。

段 2．$g(\theta):=u(a+e^{i\theta}b)$ は $2\pi$ 周期の実数値連続関数である。$\varepsilon>0$ について、Parsevalの等式 の命題「部分和の平均の一様収束」により、三角多項式 $P(\theta)=\sum_{|k|\le N}c_ke^{ik\theta}$ で $|g-P|< \varepsilon$ となるものがある。$p(\zeta):=\sum_{k=0}^Nc_k\zeta^k+\sum_{k=1}^N\overline{c_{-k}}\,\zeta^k$ とおくと $\operatorname{Re}p(e^{i\theta})=\operatorname{Re}P(\theta)$ であり、$g$ は実数値なので $g< \operatorname{Re}p(e^{i\theta})+\varepsilon$ である。段 1 を $p+\varepsilon$ に使うと $u(a)\le\operatorname{Re}c_0+\varepsilon=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\operatorname{Re}P\,d\theta+\varepsilon\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}g\,d\theta+2\varepsilon$ である。$\varepsilon\to0$ として $u(a)\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(a+e^{i\theta}b)\,d\theta$ を得る。$u$ は連続なので、多重劣調和関数 の命題「円板の平均による言い換え」により多重劣調和である。$\square$

$U'$ の擬凸性．$v$ を $U$ の連続な多重劣調和 exhaustion 関数とし、$\iota(z'):=(z',c)$ とおく。多重劣調和関数 の定理「正則写像による引き戻し」により $v\circ\iota$ は $U'$ 上の連続な多重劣調和関数である。$\{v< r\}$ の閉包 $C$ は $U$ に含まれるコンパクト集合で、$\iota$ は距離を保つので $\iota^{-1}(C)$ はコンパクトで $U'$ に含まれ、$\{v\circ\iota< r\}=\iota^{-1}(\{v< r\})$ の閉包を含む。

切り落とし．$\pi(z',z_m):=(z',c)$、$A:=\{z\in U\mid z_m=c\}$、$E:=\{z\in U\mid\pi(z)\notin U\}$ とおくと、$A,E$ は $U$ の交わらない閉集合である。1の分割 の定理「滑らかな Urysohn の補題」により、$C^\infty$ 級関数 $f_1\colon U\to[0,1]$ で $A$ の上で $1$、$E$ の上で $0$ となるものがある。同じ定理を閉集合 $\{f_1\ge\frac23\}$ と $\{f_1\le\frac13\}$ に使うと、$C^\infty$ 級関数 $\chi\colon U\to[0,1]$ で、開集合 $N_A:=\{f_1>\frac23\}\supset A$ の上で $1$、開集合 $N_E:=\{f_1< \frac13\}\supset E$ の上で $0$ となるものがある。$U\setminus E$ の上で $h(z):=g(z')$ とおくと $h$ は正則で、$\chi h$（$N_E$ の上では $0$ とする）は $U$ 上の $C^\infty$ 級関数である。

$\bar\partial$ 方程式．$U\setminus(A\cup E)$ の上で $\omega:=\frac{h}{z_m-c}\,\bar\partial\chi$、$N_A\cup N_E$ の上で $\omega:=0$ とおく（重なりでは $\bar\partial\chi=0$ なので一致する）。$\omega$ は $U$ 上の $C^\infty$ 級の $(0,1)$ 形式で、$\frac{h}{z_m-c}$ が正則であることと $\bar\partial\bar\partial\chi=0$ から $\bar\partial\omega=0$ であり、$U$ 全体で $(z_m-c)\,\omega=\bar\partial(\chi h)$ である。∂̄方程式のL²評価 の定理「Hörmander の $L^2$ 存在定理」（$q=0$）により、局所 2 乗可積分な関数 $u$ で超関数の意味で $\bar\partial u=\omega$ となるものがある。$F:=\chi h-(z_m-c)u$ とおくと $\bar\partial F=\bar\partial(\chi h)-(z_m-c)\omega=0$ なので、同記事の補題「正則関数についての Weyl の補題」により、$G\in\mathcal{O}(U)$ でほとんどいたるところ $F=G$ となるものがある。

超平面の上の値．$N_A$ の上では $\omega=0$ なので、同じ補題により $N_A$ 上の正則関数 $\tilde u$ でほとんどいたるところ $u=\tilde u$ となるものがある。$N_A$ の上で $\chi=1$ だから、連続関数 $G$ と $h-(z_m-c)\tilde u$ は $N_A$ の上でほとんどいたるところ等しく、したがって $N_A$ の各点で等しい。$(z',c)\in A$ では $G(z',c)=h(z',c)=g(z')$ である。$\square$

$U=\mathbb{C}^n$ なら 1〜4 はすべて成り立つ（1 は thm-doh-cartan-thullen の証明の冒頭、2 は $|z|^2$ による）。以下 $U\ne\mathbb{C}^n$ とする。

1 ⇒ 3・4．thm-doh-cartan-thullen により $U$ は正則凸である。$\mathcal{P}:=\{\log|f|\mid f\in\mathcal{O}(U)\}$ は多重劣調和関数の集合で（多重劣調和関数 の例「基本的な例」の 3）、空でないコンパクト集合 $K$ について $\widehat K_{\mathcal P}=\widehat K_U$ はコンパクトである。lem-doh-logdist を Euclid ノルムと $\|\cdot\|_\infty$ に使う。

2 ⇒ 3・4．$v$ を連続な多重劣調和 exhaustion 関数とし、$\mathcal{P}:=\{v\}$ とする。空でないコンパクト集合 $K$ について $\widehat K_{\mathcal P}\subset\{v< \max_Kv+1\}$ なので、その閉包はコンパクトで $U$ に含まれる。lem-doh-logdist を使う。

3 ⇒ 2、4 ⇒ 2．$d$ を $\delta_U$ または $d_U$ とし、$\varphi:=\max(-\log d,|z|^2)$ とおく。$\varphi$ は連続な多重劣調和関数である（多重劣調和関数 の例「基本的な例」の 1 と命題「和・最大値・上限・合成・減少極限」の 2）。$\{\varphi< c\}$ は $C_c:=\{z\in U\mid|z|^2\le c,\ d(z)\ge e^{-c}\}$ に含まれる。$C_c$ の点列の極限 $z$ は、$d\ge e^{-c}$ の点の近くにあるので $U$ に属し、$d$ の連続性から $C_c$ に属する。よって $C_c$ は $\mathbb{C}^n$ の有界閉集合で、$U$ に含まれるコンパクト集合である。

2 ⇒ 1．$V,W$ が def-doh-main の条件を満たすとして矛盾を導く。lem-doh-boundary の $V'$ と $q\in W\setminus U$ をとり、Euclid 距離の開球 $B\ni q$ を $B\subset W$ ととり、$a\in V'\cap B$ を選ぶ。$\sigma(s):=a+s(q-a)$ とし、$s^*:=\min\{s\in[0,1]\mid\sigma(s)\notin U\}$ とおくと、$U$ は開集合なので $s^*>0$ であり、$q^*:=\sigma(s^*)\in B\setminus U\subset W\setminus U$ である。線分 $\sigma([0,s^*))$ は $U\cap W$ の連結な部分集合で $a$ を含むので $V'$ に含まれる。

$M\in GL_n(\mathbb{C})$ を $M(q-a)=e_1$ ととり、$T(z):=M(z-a)$ とおく。$v$ を $U$ の連続な多重劣調和 exhaustion 関数とすると、$v\circ T^{-1}$ は $T(U)$ の exhaustion 関数で多重劣調和なので（多重劣調和関数 の定理「正則写像による引き戻し」）、$T(U)$ は擬凸である。$U_k:=\{z'\in\mathbb{C}^k\mid(z',0,\dots,0)\in T(U)\}$（$1\le k\le n$）とおくと、$U_{k-1}$ は $U_k$ を $z_k=0$ で切ったものなので、lem-doh-extension により $U_k$ はすべて擬凸で、$U_{k-1}$ 上の正則関数は $U_k$ 上の正則関数に延びる。$U_1=\{\lambda\in\mathbb{C}\mid a+\lambda(q-a)\in U\}$ は $s^*$ を含まないので、$g(\lambda):=1/(\lambda-s^*)$ は $U_1$ 上で正則である。これを順に延ばして $T(U)$ 上の正則関数 $\tilde G$ を得て、$G:=\tilde G\circ T\in\mathcal{O}(U)$ とおくと、$\lambda\in U_1$ について $G(a+\lambda(q-a))=g(\lambda)$ である。

$p_j:=\sigma(s^*-1/j)$（$j$ は大きい整数）は $V'$ の点で $q^*$ に収束し、$G(p_j)=-j$ である。$G$ の延長 $F\in\mathcal{O}(W)$ は $V'$ の上で $G$ と一致する（lem-doh-boundary）ので $F(p_j)=-j$ だが、$F$ は $q^*\in W$ で連続なので $F(p_j)\to F(q^*)$ となり、矛盾する。$\square$