双曲幾何学
概要
双曲幾何学（hyperbolic geometry）とは、Euclid 幾何の平行線公準を「直線の外の 1 点を通る平行線が 2 本以上ある」に置きかえた幾何で、上半平面に長さ $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}/y$ を入れた双曲平面がその代表的なモデルである。そこでは 2 点を結ぶ最短の道（双曲直線）は実軸に中心をもつ半円か縦の半直線で、距離は $\cosh d=1+|z-w|^2/(2\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w)$ で与えられ、実数係数の 1 次分数変換が長さを保つ。Gauss 曲率はいたるところ $-1$ で、三角形の内角の和は $\pi$ より小さく、余弦定理は双曲線関数で書かれる。
前提知識: 平行線公準（高校数学）, 双曲幾何の三角形, Gauss曲率, Möbius変換
高校での出発点：平行線が何本も引ける平面
Euclid の幾何では、直線 $\ell$ とその上にない点 $P$ があると、$P$ を通って $\ell$ と交わらない直線（平行線）はちょうど 1 本である。これが平行線公準である。平行線公準（高校数学） では、平行線公準をほかの公理から証明できないことを、「平行線が無数に引ける平面」の例（Poincaré 円板）を作って確かめた。双曲幾何の三角形 では、座標平面の上半分で $x$ 軸に中心をもつ半円を「直線」とし、面積を $\displaystyle\iint\frac{dx\,dy}{y^2}$ で測ると、三角形の面積が $\pi-(\text{内角の和})$ になることを示した。
平行線公準の代わりに「平行線が 2 本以上ある」を公理とする幾何が 双曲幾何学 である（Bolyai と Lobachevsky が独立に見いだした）。上の 2 つの記事では、半円を「直線」とすることを約束として決めていた。大学の数学では、まず曲線の 長さの測り方 を決め、「直線」は 2 点を結ぶ最短の道として後から出てくる。この記事ではその道筋で双曲幾何学を組み立て、次の問いに答える。
- 上半平面で長さをどう測るか。最短の道は何か。→ def-hg-upper、thm-hg-distance
- 図形を形を変えずに動かす変換は何か。→ prop-hg-isometry
- 平行線は本当に何本も引けるか。→ prop-hg-parallel
- 三角形の辺と角はどんな関係にあるか。→ thm-hg-cosine
- この平面はどれだけ曲がっているか。→ prop-hg-curvature以下、平面の点を複素数 $z=x+iy$ で表す（複素数平面と図形）。
高校の記事での言葉 この記事での言葉 $x$ 軸に中心をもつ半円、$x$ 軸に垂直な半直線 2 点を結ぶ最短の道（測地線） 面積 $\displaystyle\iint\frac{dx\,dy}{y^2}$ 長さ $\displaystyle\int\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y}$ から決まる面積 実数係数の 1 次分数変換 長さを保つ変換（等長変換） Poincaré 円板 円板モデル（prop-hg-disk）
上半平面モデル
長さと距離
$\mathbb H=\{z\in\mathbb C\mid\operatorname{Im}z>0\}$ を上半平面とする。区分的に $C^1$ 級の曲線 $\gamma\colon[a,b]\to\mathbb H$ の 双曲的な長さ を
$$
L(\gamma)=\int_a^b\frac{|\gamma'(t)|}{\operatorname{Im}\gamma(t)}\,dt
$$
と定める。$z,w\in\mathbb H$ の 双曲距離 $d(z,w)$ を、$z$ から $w$ への区分的に $C^1$ 級の曲線 $\gamma$ 全体にわたる $L(\gamma)$ の下限とする。$\mathbb H$ の中の領域 $D$ の 双曲面積 を $\displaystyle\iint_D\frac{dx\,dy}{y^2}$、2 つの曲線の交点での 角 を、普通の角（接線どうしのなす角）とする。$\mathbb H$ にこの長さ・距離・面積・角を考えたものを 双曲平面 という。
高さ $y$ のところでは、普通の長さ $\varepsilon$ の短い線分の双曲的な長さはおよそ $\varepsilon/y$ である。$x$ 軸に近いほど長さが大きく数えられ、$x$ 軸は「無限に遠い」場所になる。長さの式は $ds=\dfrac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y}$ とも書く。この式では、どの点でも向きによらず同じ倍率 $1/y$ で長さを測るので、角は普通の角と同じになる。
- $i$ から $iY$（$Y>1$）への縦の線分 $\gamma(t)=it$（$1\le t\le Y$）では $L=\displaystyle\int_1^Y\frac{dt}{t}=\log Y$ である。$Y\to\infty$ でも、$i$ から $i/Y$ へ下りて $Y\to\infty$ としても、長さは限りなく大きくなる。
- $i$ から $1+i$ への横の線分 $\gamma(t)=t+i$（$0\le t\le1$）では、$\operatorname{Im}\gamma=1$ なので $L=1$ である。一方、この 2 点を、$x$ 軸の点 $\dfrac12$ を中心とする半円の弧（少し上にふくらむ）で結ぶと、双曲的な長さは約 $0.9624$ で、横の線分より短い（下の thm-hg-distance の公式から $\operatorname{arcosh}\dfrac32=0.9624\ldots$）。双曲平面では、普通の線分が最短とは限らない。
長さを保つ変換
$a,b,c,d$ を $ad-bc=1$ を満たす実数とし、$T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ とおく。
- $\operatorname{Im}T(z)=\dfrac{\operatorname{Im}z}{|cz+d|^2}$、$T'(z)=\dfrac{1}{(cz+d)^2}$ である。とくに $T$ は $\mathbb H$ から $\mathbb H$ への全単射である。
- $\mathbb H$ の中の曲線 $\gamma$ について $L(T\circ\gamma)=L(\gamma)$ で、$d\bigl(T(z),T(w)\bigr)=d(z,w)$ である。$T$ は角と双曲面積も保つ。
- $T(z)-T(w)=\dfrac{z-w}{(cz+d)(cw+d)}$ であり、$\dfrac{|z-w|^2}{\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}$ は $T$ で変わらない。
折り返し $R(z)=-\bar z$ も、1・2 の意味で双曲的な長さ・距離・面積・角を保つ。
要点：$T(z)$ の虚部と $T'(z)$ を計算すると、長さの式の被積分関数 $|\gamma'|/\operatorname{Im}\gamma$ が $T$ で変わらないことが分かる。角は $T'\neq0$ を掛ける写像が角を保つことから、面積は Jacobi 行列式 $|T'|^2$ から従う。
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1. $T(z)=\dfrac{(az+b)(c\bar z+d)}{|cz+d|^2}$ で、分子は $ac|z|^2+adz+bc\bar z+bd$ だから、虚部は $(ad-bc)\operatorname{Im}z=\operatorname{Im}z$ である。$T'$ は商の微分による（分子は $a(cz+d)-c(az+b)=ad-bc=1$）。$\operatorname{Im}z>0$ なら $\operatorname{Im}T(z)>0$ である。行列 $\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$ の変換も同じ条件を満たし、$T$ の逆写像になる（Möbius変換 の定理「Möbius 変換の群と行列の群」）ので、$T$ は $\mathbb H$ の全単射である。
2. 連鎖律 $(T\circ\gamma)'=T'(\gamma)\gamma'$ と 1 から$$\frac{|(T\circ\gamma)'(t)|}{\operatorname{Im}T(\gamma(t))}=\frac{|\gamma'(t)|/|c\gamma(t)+d|^2}{\operatorname{Im}\gamma(t)/|c\gamma(t)+d|^2}=\frac{|\gamma'(t)|}{\operatorname{Im}\gamma(t)}$$なので $L(T\circ\gamma)=L(\gamma)$ である。$z$ から $w$ への曲線と $T(z)$ から $T(w)$ への曲線は $T$ と $T^{-1}$ で 1 対 1 に対応するので、下限も等しい。複素数 $T'(z)\neq0$ を掛けることは、接ベクトルをすべて同じ角だけ回して同じ倍率で伸ばすことなので、角は変わらない。面積は、$T$ を $(x,y)$ の写像とみたときの Jacobi 行列式が $|T'|^2$（Cauchy–Riemann の関係式による）なので、変数変換の公式により $\displaystyle\iint_{T(D)}\frac{du\,dv}{v^2}=\iint_D\frac{|T'(z)|^2}{(\operatorname{Im}T(z))^2}\,dx\,dy=\iint_D\frac{dx\,dy}{y^2}$ である。
3. $T(z)-T(w)=\dfrac{(az+b)(cw+d)-(aw+b)(cz+d)}{(cz+d)(cw+d)}$ の分子は $(ad-bc)(z-w)=z-w$ である。これと 1 から $\dfrac{|T(z)-T(w)|^2}{\operatorname{Im}T(z)\operatorname{Im}T(w)}=\dfrac{|z-w|^2}{\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}$ である。
$R(z)=-\bar z$ は $(x,y)\mapsto(-x,y)$ で、$|(R\circ\gamma)'|=|\gamma'|$、$\operatorname{Im}R(\gamma)=\operatorname{Im}\gamma$ だから長さを保ち、面積と角も明らかに保つ。$\square$
$ad-bc=1$ の実数係数の 1 次分数変換は、平行移動 $z\mapsto z+b$、拡大 $z\mapsto kz$（$k>0$）、$z\mapsto-1/z$ を含む。拡大 $z\mapsto2z$ は普通の長さを 2 倍にするが、双曲的な長さは変えない。双曲幾何の三角形 の補題「平行移動・拡大・折り返し」は prop-hg-isometry の特別な場合である。同じ主張は Lee18 Problem 3-7（p. 80）にもある。
最短の道と距離の公式
$z\neq w$ を $\mathbb H$ の 2 点とする。prop-hg-isometry の形の変換 $T$（$ad-bc=1$）と $Y>1$ があって、$T(z)=i$、$T(w)=iY$ となる。
要点：平行移動と拡大で $z$ を $i$ に移し、$i$ と $w$ を通る双曲直線の両端を $0$ と $\infty$ に送る 1 次分数変換で $w$ を虚軸に移す。
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段 1。$z=x_0+iy_0$ とし、$A_1(z)=\dfrac{z-x_0}{y_0}$ とおく（行列 $\dfrac1{\sqrt{y_0}}\begin{pmatrix}1&-x_0\\ 0&y_0\end{pmatrix}$ で、行列式は $1$）。$A_1(z)=i$ である。$w_1=A_1(w)$ とおく。
段 2（$\operatorname{Re}w_1\neq0$ のとき）。$i$ と $w_1$ を通り実軸の上に中心 $c$ をもつ円を $C$ とする（$|i-c|^2=|w_1-c|^2$ から $c=\dfrac{|w_1|^2-1}{2\operatorname{Re}w_1}$、半径 $\rho=\sqrt{1+c^2}$）。$C$ と実軸の交点を $p=c-\rho< q=c+\rho$ とし、$$M(z)=\frac{z-p}{q-z}\qquad\left(\text{行列}\ \frac{1}{\sqrt{q-p}}\begin{pmatrix}1&-p\\ -1&q\end{pmatrix}\right)$$とおく。$M(p)=0$、$M(q)=\infty$ なので、Möbius変換 の定理「円は円に移る」により、$M(C)$ は $0$ と $\infty$ を通る円、つまり $0$ を通る直線である。$C$ は実軸に関して対称で、$M$ は実数係数なので $M(\bar z)=\overline{M(z)}$ であり、$M(C)$ も実軸に関して対称である。$0$ を通り実軸に関して対称な直線は実軸か虚軸で、$M(i)\in\mathbb H$ は実数でないので、$M(C)$ は虚軸である。よって $M(i)=is$、$M(w_1)=is'$（$s,s'>0$）と書け、さらに $z\mapsto z/s$ を合成すると、$i$ は $i$ に、$w_1$ は虚軸の点に移る。
段 3。こうして $w$ を虚軸の点 $iY$ に移せた（$\operatorname{Re}w_1=0$ なら段 2 は要らない）。$Y\neq1$ であり、$Y<1$ なら $z\mapsto-1/z$（$i$ を動かさず、$iY$ を $i/Y$ に移す）を合成すればよい。$\square$
$z,w\in\mathbb H$ について次が成り立つ。
- $\displaystyle\cosh d(z,w)=1+\frac{|z-w|^2}{2\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}$ である。
- $z\neq w$ のとき、$z$ から $w$ への曲線で双曲的な長さが $d(z,w)$ に等しいもの（最短の道）があり、その像は、$\operatorname{Re}z=\operatorname{Re}w$ なら縦の線分、そうでなければ $z,w$ を通り実軸の上に中心をもつ円の弧で、ただ 1 つに決まる。
段 1（$z=i$、$w=iY$、$Y>1$ の場合）。$\gamma(t)=x(t)+iy(t)$（$a\le t\le b$）を $i$ から $iY$ への曲線とすると
$$
L(\gamma)=\int_a^b\frac{\sqrt{x'^2+y'^2}}{y}\,dt\ \ge\ \int_a^b\frac{|y'|}{y}\,dt\ \ge\ \int_a^b\frac{y'}{y}\,dt=\log Y
$$
である。ex-hg-segments の (1) で縦の線分の長さは $\log Y$ だったので、$d(i,iY)=\log Y$ である。等号が成り立つのは、$x'=0$ かつ $y'\ge0$ のとき、つまり曲線が虚軸の上を下がらずに上るときだけで、そのとき像は線分 $\{it\mid1\le t\le Y\}$ である。一方、1 の右辺は $1+\dfrac{(Y-1)^2}{2Y}=\dfrac{Y^2+1}{2Y}=\cosh(\log Y)$ で、1 が成り立つ。
段 2（1 の一般の場合）。lem-hg-normalize の $T$ をとる。prop-hg-isometry により $d(z,w)=d(i,iY)$ で、1 の右辺の分数も $T$ で変わらないので、段 1 から 1 が従う。
段 3（2）。最短の道 $\gamma$ に対して $T\circ\gamma$ は $i$ から $iY$ への最短の道なので、段 1 によりその像は虚軸の線分である。したがって $\gamma$ の像は、虚軸の一部を $T^{-1}$ で移したものである。$T^{-1}$ は円と直線を円と直線に移し（Möbius変換 の定理「円は円に移る」）、実数係数なので $T^{-1}(\bar z)=\overline{T^{-1}(z)}$ を満たす。虚軸を含む直線は実軸に関して対称なので、その像も実軸に関して対称な円または直線で、$\mathbb H$ に入る部分は実軸の上に中心をもつ円の上半分か、縦の半直線である。$z,w$ を通るそのような円または直線はただ 1 つ（$\operatorname{Re}z\neq\operatorname{Re}w$ なら、中心は線分 $zw$ の垂直二等分線と実軸の交点）なので、最短の道の像はただ 1 つに決まる。逆に、その弧に沿う曲線は、虚軸の線分を $T^{-1}$ で移したものとして最短である。$\square$
縦の半直線 $\{a+iy\mid y>0\}$ と、実軸の上に中心をもつ円の上半分を 双曲直線（双曲平面の 測地線）という。
thm-hg-distance により、異なる 2 点を通る双曲直線はちょうど 1 本あり、2 点の間の部分が最短の道である。これは 双曲幾何の三角形 の定義「上半平面モデル」で約束として決めた「直線」と同じものである。双曲直線を進むと、どちらの向きにも実軸（または $\infty$）に近づき、ex-hg-segments のとおり距離は限りなく大きくなる。実軸の点と $\infty$ を 理想点（無限遠の点）という。$\cosh$ は 双曲線関数 である。
平行線
$\ell$ を双曲直線、$P$ を $\ell$ の上にない $\mathbb H$ の点とする。$P$ を通り $\ell$ と交わらない双曲直線は無数にある。そのうち、$\ell$ と理想点を共有するもの（極限平行線）はちょうど 2 本である。
等長変換で動かしてよい。$\ell$ が縦の半直線なら平行移動で、$\ell$ が端 $p< q$ をもつ半円なら $M(z)=\dfrac{z-p}{q-z}$（行列式 $q-p>0$ を $1$ に正規化できる）で、$\ell$ を虚軸 $\{iy\mid y>0\}$ に移せる（$M$ は $p,q$ を $0,\infty$ に移し、上と同じ理由で $\ell$ を $0$ を通り実軸に関して対称な直線の $\mathbb H$ の部分、つまり虚軸に移す）。必要なら折り返し $R(z)=-\bar z$ を合成して、$P=x+iy$、$x>0$ としてよい。
$P$ を通る双曲直線は、縦の半直線 $\operatorname{Re}z=x$ と、中心 $c\in\mathbb R$、半径 $r=|P-c|$ の半円である。縦の半直線は虚軸と交わらない。中心 $c$ の半円が虚軸と $\mathbb H$ の中で交わるのは $c-r<0< c+r$、つまり $|c|< r$ のときである。$c>0$ で $r\le c$ となる条件は $(x-c)^2+y^2\le c^2$、すなわち
$$
c\ \ge\ c_0=\frac{x^2+y^2}{2x}
$$
である。よって $c\ge c_0$ を満たす無数の $c$ について、半円は $\ell$ と交わらない。極限平行線は、$\ell$ の端 $0$ を共有する $c=c_0$ の半円と、端 $\infty$ を共有する縦の半直線 $\operatorname{Re}z=x$ の 2 本である（$c\le0$ では $r=|P-c|>|c|$ なので必ず交わる）。$\square$
たとえば $\ell$ が虚軸、$P=1+i$ なら $c_0=1$ で、中心 $1$、半径 $1$ の半円（$\ell$ と理想点 $0$ を共有する）、縦の半直線 $\operatorname{Re}z=1$、中心 $2$、半径 $\sqrt2$ の半円（$2-\sqrt2>0$ なので交わらない）などが、どれも $P$ を通る平行線である。
左：上半平面で、虚軸 ℓ（黒）と点 P = 1 + i を通る双曲直線。青の半円（中心 1.5、2、3）は ℓ と交わらない平行線、緑の破線（中心 1 の半円と縦の直線 Re z = 1）は極限平行線、赤の半円（中心 0.5）は ℓ と交わる。右：円板モデルで、中心 0 からの双曲距離が 1、2、3 の円（橙の点線）と、頂点 0、A、B の双曲三角形（辺 AB は単位円に直交する円の弧）
点・双曲直線・合同（等長変換で移り合うこと）をこのように解釈すると、Euclid 幾何の公理のうち平行線公準以外は成り立ち、平行線公準は「平行線が少なくとも 2 本ある」に置きかわる（Lee18 pp. 142–144。すべての公理の確かめはこの記事ではしない）。これが、平行線公準がほかの公理から証明できないことの、大学の数学での説明である（平行線公準（高校数学） の注意「平行線公準の独立性」）。
円板モデル
平行線公準（高校数学） の Poincaré 円板は、双曲平面を単位円板に写したものである。
$\mathbb D=\{z\in\mathbb C\mid|z|<1\}$ の曲線 $\gamma$ の長さを $L_{\mathbb D}(\gamma)=\displaystyle\int\frac{2|\gamma'(t)|}{1-|\gamma(t)|^2}\,dt$ で測る。Cayley 変換 $C(z)=\dfrac{z-i}{z+i}$ は $\mathbb H$ から $\mathbb D$ への全単射で、$L_{\mathbb D}(C\circ\gamma)=L(\gamma)$ を満たす。したがって $\mathbb D$ の双曲距離 $d_{\mathbb D}$ は
$$
\cosh d_{\mathbb D}(z,w)=1+\frac{2|z-w|^2}{(1-|z|^2)(1-|w|^2)},\qquad d_{\mathbb D}(0,r)=\log\frac{1+r}{1-r}\quad(0\le r<1)
$$
を満たす。$\mathbb D$ の双曲直線（$\mathbb H$ の双曲直線の $C$ による像）は、$\mathbb D$ の直径と、単位円に直交する円の $\mathbb D$ に入る部分である。
要点：$1-|C(z)|^2=\dfrac{4\operatorname{Im}z}{|z+i|^2}$、$|C'(z)|=\dfrac{2}{|z+i|^2}$ から $\dfrac{2|C'(z)|}{1-|C(z)|^2}=\dfrac1{\operatorname{Im}z}$ となり、長さが保たれる。
詳しい証明を開く
$|z+i|^2-|z-i|^2=4\operatorname{Im}z$ なので $1-|C(z)|^2=\dfrac{4\operatorname{Im}z}{|z+i|^2}$ で、$\operatorname{Im}z>0$ と $|C(z)|<1$ は同値である。$C$ は逆写像 $w\mapsto\dfrac{i(1+w)}{1-w}$ をもつので、$\mathbb H$ から $\mathbb D$ への全単射である（1次分数変換（高校数学） の定理「上半平面から単位円板への変換」）。$C'(z)=\dfrac{2i}{(z+i)^2}$ なので $\dfrac{2|C'(z)|}{1-|C(z)|^2}=\dfrac{4/|z+i|^2}{4\operatorname{Im}z/|z+i|^2}=\dfrac1{\operatorname{Im}z}$ で、prop-hg-isometry の 2 と同じ計算で $L_{\mathbb D}(C\circ\gamma)=L(\gamma)$ である。$C(z)-C(w)=\dfrac{2i(z-w)}{(z+i)(w+i)}$ から
$$\frac{2|C(z)-C(w)|^2}{(1-|C(z)|^2)(1-|C(w)|^2)}=\frac{8|z-w|^2}{|z+i|^2|w+i|^2}\cdot\frac{|z+i|^2|w+i|^2}{16\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}=\frac{|z-w|^2}{2\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}$$
なので、thm-hg-distance の 1 から円板の公式が出る。$w=0$、$z=r$ では $\cosh d=1+\dfrac{2r^2}{1-r^2}=\dfrac{1+r^2}{1-r^2}$ で、$d=\log\dfrac{1+r}{1-r}$ がこれを満たす（$e^d=\dfrac{1+r}{1-r}$ を $\cosh d=\dfrac{e^d+e^{-d}}2$ に代入する）。双曲直線の像：$C$ は円と直線を円と直線に移し（Möbius変換 の定理「円は円に移る」）、角を保つ。$\mathbb H$ の双曲直線は実軸と直交するので、その像は単位円と直交する円または直線である。単位円と直交する直線は原点を通り、直径を与える。
双曲計量 の記事は、円板の長さを密度 $\dfrac{1}{1-|z|^2}$ で測る流儀をとっている。そこでの長さと距離はこの記事のちょうど $\dfrac12$ 倍で、曲率は $-4$ になる（その記事の注意「正規化の約束」）。
円板モデルで、$0$ からの双曲距離が $\rho$ の点の全体（中心 $0$、半径 $\rho$ の 双曲的な円）は、$\log\dfrac{1+t}{1-t}=\rho$ を解いて、普通の円 $|z|=t$、$t=\tanh\dfrac\rho2$ である。その双曲的な長さと、円で囲まれた部分の双曲面積（長さの倍率 $\lambda=\dfrac{2}{1-|z|^2}$ の 2 乗 $\lambda^2\,dx\,dy$ で測る）は
$$
2\pi\cdot\frac{2t}{1-t^2}=2\pi\sinh\rho,\qquad 2\pi\int_0^t\frac{4r}{(1-r^2)^2}\,dr=\frac{4\pi t^2}{1-t^2}=4\pi\sinh^2\frac\rho2
$$
である（$t=\tanh\frac\rho2$ のとき $\dfrac{2t}{1-t^2}=\sinh\rho$、$\dfrac{t^2}{1-t^2}=\sinh^2\dfrac\rho2$）。$\rho$ が大きいと円周は $\pi e^\rho$ 程度で、平面の円周 $2\pi\rho$ よりはるかに速く増える。中心が $0$ でない双曲的な円も、等長変換で中心を $0$ に移せるので普通の円であるが、普通の円としての中心は双曲的な中心と一致しない（Apolloniusの円 の節「双曲幾何の円」）。
三角形
3 点を双曲直線の線分で結んだ図形を 双曲三角形 という。辺の長さは双曲距離で、角は普通の角で測る。
双曲三角形の 3 辺の長さを $a,b,c$、辺 $c$ の向かいの角を $\gamma$ とすると
$$
\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos\gamma
$$
が成り立つ。
段 1（頂点を円板の中心へ）。円板モデルで考える。lem-hg-normalize と Cayley 変換 $C$（$C(i)=0$）を合わせると、角 $\gamma$ の頂点を $0$ に移す等長変換がある。回転 $z\mapsto e^{i\theta}z$ と共役 $z\mapsto\bar z$ は $|z|$ と $|z'|$ を変えないので円板モデルの長さを保つ。必要なら共役を合成して、角 $\gamma$ の頂点を $0$ に置き、ほかの 2 頂点を $A=s$（$0< s<1$ の実数）、$B=te^{i\gamma}$（$0< t<1$）としてよい。
段 2（$0$ から出る辺）。$0$ から $w\neq0$ への曲線 $\gamma(\cdot)$ について、$r=|\gamma|$ とおくと $|\gamma'|\ge|r'|$ なので
$$
L_{\mathbb D}(\gamma)\ \ge\ \int\frac{2|r'|}{1-r^2}\,dt\ \ge\ \log\frac{1+|w|}{1-|w|}
$$
で、半径の線分で等号が成り立つ。よって $0$ を通る双曲直線は直径で、$0$ での角は普通の角 $\gamma$ である。prop-hg-disk により $b=d_{\mathbb D}(0,A)$、$a=d_{\mathbb D}(0,B)$ とすると $s=\tanh\dfrac b2$、$t=\tanh\dfrac a2$ である。
段 3（計算）。$S_a=\sinh\dfrac a2$、$C_a=\cosh\dfrac a2$ などと書くと、$1-s^2=\dfrac1{C_b^2}$、$1-t^2=\dfrac1{C_a^2}$、$|A-B|^2=s^2+t^2-2st\cos\gamma$ である。prop-hg-disk の公式から
$$
\cosh c=1+2C_a^2C_b^2\bigl(s^2+t^2-2st\cos\gamma\bigr)=1+2\bigl(S_b^2C_a^2+S_a^2C_b^2\bigr)-4S_aC_aS_bC_b\cos\gamma
$$
である。$4S_aC_aS_bC_b=\sinh a\sinh b$ であり、$C^2=1+S^2$ から
$$
1+2\bigl(S_b^2C_a^2+S_a^2C_b^2\bigr)=1+2S_a^2+2S_b^2+4S_a^2S_b^2=(1+2S_a^2)(1+2S_b^2)=\cosh a\cosh b
$$
である（$\cosh a=1+2\sinh^2\frac a2$）。$\square$
同じ式は Hit18 Theorem 5.4.12（p. 104）にあり、双曲幾何の三角形 の注意「双曲の余弦定理」と 球面三角法 の比較表で紹介されていたものである。
- 双曲幾何の三角形 の例「上半平面の三角形の角」の三角形 $P=i$、$Q=1+i$、$R=2i$ を thm-hg-distance で測ると
$$ \cosh PR=1+\frac{1}{2\cdot1\cdot2}=\frac54,\qquad \cosh PQ=1+\frac{1}{2}=\frac32,\qquad \cosh QR=1+\frac{2}{2\cdot1\cdot2}=\frac32 $$
である。$P$ での角は $\cos P=\dfrac1{\sqrt5}$（その例の計算）で、$\sinh PR=\dfrac34$、$\sinh PQ=\dfrac{\sqrt5}2$ なので、右辺は $\dfrac32\cdot\dfrac54-\dfrac{\sqrt5}2\cdot\dfrac34\cdot\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{15}8-\dfrac38=\dfrac32=\cosh QR$ で、余弦定理と合う。 - $\gamma=\dfrac\pi2$ なら $\cosh c=\cosh a\cosh b$ で、これが双曲幾何の三平方の定理である。$a,b$ が小さいとき、$\cosh x=1+\dfrac{x^2}2+\cdots$ から $c^2\approx a^2+b^2$ となり、小さい三角形は Euclid 幾何に近い。
- $\cos\gamma>-1$ なら $\cosh c<\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b=\cosh(a+b)$ なので $c< a+b$ である。
面積と内角。 双曲三角形の双曲面積 $S$ と内角 $\alpha,\beta,\gamma$ の間には
$$
S=\pi-(\alpha+\beta+\gamma)
$$
が成り立つ。これは上半平面での面積 $\displaystyle\iint\frac{dx\,dy}{y^2}$ を使って 双曲幾何の三角形 の定理「双曲三角形の面積」で証明されており、下の prop-hg-curvature の $K=-1$ を Gauss–Bonnetの定理 の命題「測地三角形の角度の過不足」に入れたものでもある。とくに、どの双曲三角形も面積は $\pi$ より小さく、内角の和は $\pi$ より小さい。
正多角形の敷き詰め。 内角の和が $\pi$ より小さいので、平面より小さい内角の正多角形が作れる。たとえば内角 $\dfrac\pi4$ の正八角形を 1 つの頂点に 8 枚ずつ集めて双曲平面を敷き詰められる（Hit18 Example 7.7.11（p. 190）。正多角形の敷き詰め の注意「双曲平面の敷き詰め」）。
曲率
$\mathbb R^3$ の中にない $\mathbb H$ では、等角座標の長さ $ds=\lambda\sqrt{dx^2+dy^2}$ の Gauss 曲率を、Gauss曲率 の系「直交座標・等角座標での Gauss 曲率」の式 $K=-\Delta\log\lambda/\lambda^2$ で定める（曲面片ではこの式が Gauss 曲率に一致する）。
双曲平面の長さ $ds=\dfrac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{y}$ は、$\lambda=\dfrac1y$ として $ds=\lambda\sqrt{dx^2+dy^2}$ の形（等角座標）であり、その Gauss 曲率はいたるところ $K=-1$ である。
Gauss曲率 の系「直交座標・等角座標での Gauss 曲率」の式 $K=-\dfrac{\Delta\log\lambda}{\lambda^2}$ に $\log\lambda=-\log y$ を入れると、$\Delta(-\log y)=\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}(-\log y)=\dfrac1{y^2}$ なので $K=-\dfrac{1/y^2}{1/y^2}=-1$ である。$\square$
ここで、曲面の上の長さだけから Gauss 曲率を計算する式（驚異の定理）を、$\mathbb R^3$ の中にない平面 $\mathbb H$ の長さに当てはめている。Riemann 幾何学では、これは $\mathbb H$ の Riemann 計量 $\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2}$ の断面曲率がいたるところ $-1$ であることにあたる（Lee18 Theorem 8.34（p. 254）、断面曲率 の例「回転面型の計量」の 3）。
Gauss曲率 の例「回転面と擬球」の擬球（$u<0$）は、$E=1$、$F=0$、$G=e^{2u}$ なので、曲面の上の長さは $ds^2=du^2+e^{2u}dv^2$ である。$x=v$、$y=e^{-u}$（$y>1$）とおくと $dy=-e^{-u}du$ なので
$$
\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=e^{2u}dv^2+e^{2u}\cdot e^{-2u}du^2=du^2+e^{2u}dv^2
$$
である。よって、擬球の小さな部分は、双曲平面の $\{y>1\}$ の部分と同じ長さの測り方をもつ。$\mathbb R^3$ の中で双曲幾何の一部を目に見える形で実現した例である（擬球の $v$ は角なので、$v$ と $v+2\pi$ が同じ点を表す）。双曲平面の全体を $\mathbb R^3$ の滑らかな曲面として実現することはできない（Lee18 p. 6）。
3 つの幾何の比較
| 球面（$K=1$） | 平面（$K=0$） | 双曲平面（$K=-1$） | |
|---|---|---|---|
| 1 点を通る平行線 | $0$ 本 | $1$ 本 | 無数 |
| 三角形の内角の和 | $>\pi$ | $=\pi$ | $<\pi$ |
| 三角形の面積 | （内角の和）$-\pi$ | 内角と無関係 | $\pi-$（内角の和） |
| 半径 $\rho$ の円周 | $2\pi\sin\rho$ | $2\pi\rho$ | $2\pi\sinh\rho$ |
| 余弦定理 | $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos\gamma$ | $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ | $\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos\gamma$ |
球面の欄は半径 $1$ の球面で、大円を直線とし、2 点を同じとみなさない場合である（球面の余弦定理は 球面三角法、面積は 球面三角形の面積）。半径 $1$ の球面の上で、球面上の距離で測って半径 $\rho$ の円は、普通の半径 $\sin\rho$ の円である。
例と反例
prop-hg-isometry と thm-hg-distance は、長さの測り方と変換の条件がそろって初めて成り立つ。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 長さを $\displaystyle\int\frac{\lvert\gamma'\rvert}{\operatorname{Im}\gamma}$ で測る | 普通の長さ $\displaystyle\int\lvert\gamma'\rvert$ | 1 次分数変換 $z\mapsto2z$ が長さを保つ、最短の道が半円 |
| $ad-bc>0$ | $z\mapsto-z$（$a=-1$、$b=c=0$、$d=1$） | $\mathbb H$ を $\mathbb H$ に移す |
1 行目：普通の長さでは $z\mapsto2z$ は長さを 2 倍にする。また $i$ と $1+i$ を結ぶ最短の道は横の線分で、thm-hg-distance の半円の弧ではない。
2 行目：$z\mapsto-z$ は $ad-bc=-1$ で、$i$ を $-i\notin\mathbb H$ に移す。prop-hg-isometry の 1 の式は $\operatorname{Im}T(z)=(ad-bc)\dfrac{\operatorname{Im}z}{|cz+d|^2}$ からきていて、$ad-bc<0$ では虚部の符号が変わる。一方、$ad-bc=-1$ の実数 $a,b,c,d$ について $z\mapsto\dfrac{a\bar z+b}{c\bar z+d}$ は、折り返し $R(z)=-\bar z$ と、行列 $\begin{pmatrix}-a&b\\ -c&d\end{pmatrix}$（行列式 $1$）の 1 次分数変換の合成なので、$\mathbb H$ を $\mathbb H$ に移し、双曲的な長さを保つ。
補足
双曲面モデル。 $\mathbb R^3$ に $\langle p,q\rangle=p_1q_1+p_2q_2-p_3q_3$ を考えたとき、2 葉双曲面の上半分 $\{p\mid\langle p,p\rangle=-1,\ p_3>0\}$ に $\langle\ ,\ \rangle$ から長さを入れたものは、双曲平面と同じ長さの測り方をもつ（Lee18 Theorem 3.7（p. 62）。この記事では証明しない）。円板の中で双曲直線がまっすぐな弦になる Beltrami–Klein モデルもある（Lee18 Proposition 5.28（p. 138））。
高次元と曲面の分類。 同じ式 $\dfrac{dx_1^2+\cdots+dx_{n-1}^2+dy^2}{y^2}$ で $n$ 次元の双曲空間が定まり、断面曲率はいたるところ $-1$ である（Lee18 Theorem 8.34（p. 254））。連結な曲面にはどれも、Gauss 曲率が一定の完備な Riemann 計量が入る（一様化定理。Lee18 Theorem 1.7（p. 6））。Gauss–Bonnetの定理 と合わせると、種数 $2$ 以上の閉曲面ではその定数は負で、曲面は双曲幾何をもつ。双曲幾何は曲面の位相や 3 次元多様体の研究の中心にある。
関連項目
- 前提: 平行線公準（高校数学）, 双曲幾何の三角形, Gauss曲率, Möbius変換
- 前に読む: 1次分数変換（高校数学）, Saccheri–Legendreの定理
- 比較: 球面三角法, 球面三角形の面積, 双曲計量
- 関連: 双曲線関数, Apolloniusの円, 正多角形の敷き詰め, 余弦定理
- 発展: Gauss–Bonnetの定理, 断面曲率, 測地線, Riemann幾何学
参考文献
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