変位レトラクト

$r(x):=x/\|x\|$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ から $S^{n-1}$ へのレトラクションである（レトラクトの記事の例「穴あき空間の球面」）。$H\colon(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})\times[0,1]\to\mathbb{R}^n$ を
$$ H(x,t):=(1-t)x+t\,\frac{x}{\|x\|}=\lambda(x,t)\,x,\qquad\lambda(x,t):=(1-t)+\frac{t}{\|x\|} $$
で定める。$\lambda(x,t)$ は非負の 2 項の和で、$t<1$ なら第 1 項が正、$t=1$ なら第 2 項が正なので $\lambda(x,t)>0$ であり、したがって $H(x,t)=\lambda(x,t)x\neq0$、すなわち $H$ は $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ に値をとる。ノルムが連続で $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上で $0$ にならないので $H$ は連続である。$H(x,0)=x$、$H(x,1)=r(x)$ であり、$x\in S^{n-1}$ なら $\lambda(x,t)=(1-t)+t=1$ より $H(x,t)=x$ である。よって $H$ は $S^{n-1}$ を全時刻止める強変位レトラクションである。ホモトピー同値であることは prop-deformation-retract-homotopy-equivalence から従う。$\square$

$r\circ i=\operatorname{id}_A$ はレトラクションの定義から等号で成り立ち、$i\circ r\simeq\operatorname{id}_X$ は変位レトラクトの定義である。よって $r$ は $i$ のホモトピー逆写像であり、$i$ はホモトピー同値である。$\square$

(1)$\Rightarrow$(2) は prop-deformation-retract-homotopy-equivalence である。
(2)$\Rightarrow$(1)：$g\colon X\to A$ を $i$ のホモトピー逆写像とし（$g\circ i\simeq\operatorname{id}_A$、$i\circ g\simeq\operatorname{id}_X$）、$r\colon X\to A$ を任意のレトラクションとする。ホモトピーは合成と両立する（$f\simeq f'$ なら $h\circ f\circ k\simeq h\circ f'\circ k$）ので、
$$ r=r\circ\operatorname{id}_X\simeq r\circ(i\circ g)=(r\circ i)\circ g=g $$
であり、したがって $i\circ r\simeq i\circ g\simeq\operatorname{id}_X$ である。よって $r$ は変位レトラクトの条件を満たし、最後の主張も同時に示された。$\square$

(3)$\Rightarrow$(2) は $X\neq\emptyset$ から明らかである。
(2)$\Rightarrow$(1)：$\{p\}$ へのレトラクションは定値写像 $c_p$ に限るので、変位レトラクトの条件は $\operatorname{id}_X\simeq c_p$、すなわち $X$ が可縮であることそのものである。
(1)$\Rightarrow$(3)：$H\colon X\times[0,1]\to X$ を $H(x,0)=x$、$H(x,1)=x_0$ を満たすホモトピーとし、$p\in X$ を任意にとる。$t\mapsto H(p,t)$ は $p$ から $x_0$ への道である。
$$ G(x,t):=\begin{cases}H(x,2t) & (0\le t\le\tfrac12),\\ H(p,2-2t) & (\tfrac12\le t\le1)\end{cases} $$
とおくと、$t=\tfrac12$ で両式は $x_0$ で一致し、$X\times[0,\tfrac12]$ と $X\times[\tfrac12,1]$ は $X\times[0,1]$ の閉集合による有限被覆なので、貼り合わせの補題により $G$ は連続である。$G(x,0)=x$、$G(x,1)=H(p,0)=p$ なので $G$ は $\operatorname{id}_X$ から $c_p$ へのホモトピーであり、$\{p\}$ は変位レトラクトである。$\square$

弱い場合：包含 $A\hookrightarrow X$ は包含 $A\hookrightarrow B$ と $B\hookrightarrow X$ の合成であり、prop-deformation-retract-homotopy-equivalence により両者はホモトピー同値なので、その合成もホモトピー同値である。また、レトラクション $r_1\colon X\to B$、$r_2\colon B\to A$ の合成は $X$ から $A$ へのレトラクションである（レトラクトの記事の命題「冪等写像による特徴づけ」）。よって prop-deformation-retract-characterization により $A$ は $X$ の変位レトラクトである。
強い場合：$H_1\colon X\times[0,1]\to X$ を $B$ への強変位レトラクション（$H_1(x,1)=r_1(x)$）、$H_2\colon B\times[0,1]\to B$ を $A$ への強変位レトラクション（$H_2(b,1)=r_2(b)$）とする。
$$ H(x,t):=\begin{cases}H_1(x,2t) & (0\le t\le\tfrac12),\\ H_2(r_1(x),2t-1) & (\tfrac12\le t\le1)\end{cases} $$
は $t=\tfrac12$ で両式が $r_1(x)$ に一致するので連続であり、$H(x,0)=x$、$H(x,1)=r_2(r_1(x))$ である。$a\in A\subset B$ に対しては $H_1(a,t)=a$、$r_1(a)=a$、$H_2(a,t)=a$ なので $H(a,t)=a$ である。よって $H$ は $A$ への強変位レトラクションである。$\square$