初期値定理と最終値定理

同義語：初期値定理最終値定理initial value theoremfinal value theorem

概要

前提知識: Laplace変換、逆Laplace変換、指数関数、有理関数の積分

初期値定理と最終値定理（initial and final value theorems）とは、Laplace変換から時間領域の関数の始まりの値と長時間後の値を読み取る定理である。初期値には $s\to\infty$、最終値には $s\to0+$ を用いる。ただし最終値の公式は収束を無条件に保証せず、有理関数の場合も極の位置を先に確かめる必要がある。

二つの極限

通常の片側Laplace変換を
$$ F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt $$
と書く。本記事の極限で用いる $s$ は正の実数である。初期値定理は $f(0+)$ を扱う。単一点の値 $f(0)$ を変えても積分は変わらないので、変換から任意に付けた点の値を読み取ることはできない。
最終値定理の $s\to0+$ は、変換が正の $s$ で実際に存在する場合に使う。変換を計算して得た有理式が $s=0$ 付近にも書けるからといって、元の積分がそこで収束するとは限らない。例えば $e^t$ の変換 $1/(s-1)$ は $s>1$ でしか存在せず、$s\to0+$ はその積分の定義域の外にある。この点は、極の条件を確認する理由の一つである。
初期値問題の初期条件と初期値定理も区別する。微分方程式を解くときは $y(0)$ や $y'(0)$ を与える。一方、初期値定理は既に得た変換 $Y$ から $y(0+)$ を確認するための公式である。非零の初期状態を無視して変換した式を、この定理だけで正すことはできない。

初期値定理

$f$ が各有限区間で区分的に連続で、ある $M>0$、実数 $a$ に対して $|f(t)|\le M e^{at}$ を満たすとする。右極限 $f(0+)=\ell$ が存在すれば、
$$ \lim_{s\to\infty}sF(s)=\ell. $$

$u=st$ と変数を換えると
$$ sF(s)=\int_0^\infty e^{-u}f(u/s)\,du. $$
固定した $u>0$ について $u/s\to0+$ なので、$f(u/s)\to\ell$ である。$u=0$ の点の値は積分に影響しない。
$s_0>0$ を十分大きく選び、$a/s_0\le1/2$ とする。$a\le0$ の場合は任意の正の $s_0$ でよい。$s\ge s_0$ について、$a>0$ なら
$$ |e^{-u}f(u/s)|\le M e^{-u}e^{au/s}\le M e^{-u/2}. $$
$a\le0$ ならさらに $M e^{-u}$ で抑えられる。どちらも $[0,\infty)$ で可積分な、$s$ に依存しない上界である。従って優収束によって
$$ \lim_{s\to\infty}sF(s) =\int_0^\infty e^{-u}\ell\,du=\ell $$
となる。

初期値定理は $f'$ の存在を要求しない。原点の右極限と遠方の増大の制御だけで証明できる。$f$ が原点で右連続なら $f(0+)=f(0)$ だから、公式を $f(0)$ と書いても問題ない。しかし、右連続という条件を確認せずに点の値を断定してはいけない。
$sF(s)$ の積分の重み $s e^{-st}$ は面積 $1$ を持ち、$s$ が大きいほど原点近くに集中する。例えば区間 $[\delta,\infty)$ における重みの面積は $e^{-s\delta}$ である。従って固定した正の時間より後の寄与は小さくなり、原点のすぐ右の値が平均として残る。この集中する平均という見方が、微分を使わない証明の意味を表している。

安定な応答の初期値

$$ F(s)=\frac2{s(s+2)}=\frac1s-\frac1{s+2} $$
なら $f(t)=1-e^{-2t}$ である。初期値は $\lim_{s\to\infty}2/(s+2)=0$ となり、$f(0)=0$ と一致する。$t=1$ の値は $f(1)\approx0.864665$（小数第6位まで）である。時間が経つと応答は増えて $1$ に近づくが、初期値の計算では高い $s$ の領域だけを使う。

最終値が存在するときの定理

最終値定理のAbel型

$f$ が区分的に連続で、有限な極限 $\lim_{t\to\infty}f(t)=L$ を持つとする。このときすべての $s>0$ で変換が存在し、
$$ \lim_{s\to0+}sF(s)=L $$
が成り立つ。

各有限区間で区分的に連続で、遠方に有限な極限を持つので、$f$ は全半直線で有界である。従って正の $s$ について変換は絶対収束する。$g(t)=f(t)-L$ と置くと
$$ sF(s)-L=s\int_0^\infty e^{-st}g(t)\,dt. $$
任意の $\varepsilon>0$ に対して、$t\ge T$ なら $|g(t)|\le\varepsilon$ となる $T$ を選ぶ。積分を $[0,T]$ と $[T,\infty)$ に分けると
$$ |sF(s)-L| \le s\int_0^T|g(t)|\,dt +\varepsilon s\int_T^\infty e^{-st}\,dt \le s C_T+\varepsilon. $$
ここで $C_T=\int_0^T|g(t)|\,dt$ は有限である。$s\to0+$ とすれば上極限は $\varepsilon$ 以下となり、$\varepsilon$ は任意なので零になる。

この定理では、時間領域の極限が存在することを仮定した。従って $sF(s)$ の極限を計算できたというだけでは、時間領域の収束を証明したことにならない。変換側の平均が収束しても、元の関数は振動し続けることがある。この向きの違いを明確にするため、次の有理関数版では極の条件から時間領域の収束を先に導く。
重み $s e^{-st}$ の面積は、ここでも $1$ である。しかし $s$ が小さくなると、重みの広がりは時間 $1/s$ 程度になる。固定した有限区間の重みは $1-e^{-sT}$ で零へ近づく。初期の短い過渡現象が平均から消え、遠方の定常値が残る。ただし、平均が消すのは初期の過渡現象だけとは限らず、収束しない振動も平均によって消える。このため逆向きの結論には追加条件が必要になる。

有理関数での極の判定

有理関数版の最終値定理

$F$ が既約な真にプロパーな有理関数で、$f$ はその連続な逆Laplace変換とする。すなわち分子の次数が分母より小さく、共通因子は除いてあるとする。$sF(s)$ のすべての極が開左半平面 $\operatorname{Re}s<0$ にあるなら、$f$ は有限な最終値を持ち、
$$ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s). $$
$sF$ に極がない場合も条件を満たす。

逆Laplace変換の定理「重根の展開公式」により、真にプロパーな $F$ は極 $\lambda$ の主部の和に分かれる。各項 $c/(s-\lambda)^j$ の逆変換は
$$ \frac{c}{(j-1)!}t^{j-1}e^{\lambda t} $$
である。この有限和は連続で指数オーダーであり、変換は $F$ に等しい。仮定した連続な逆変換 $f$ も同じ範囲に属するので、逆Laplace変換の定理「Lerchの一意性定理」により、この有限和と各点で一致する。
$sF$ の極の条件から、$F$ の零でない極はすべて左半平面にある。なぜなら零でない点では $s$ を掛けても極を除けないからである。原点に $F$ の極がある場合、その次数は高くとも $1$ である。次数 $2$ 以上なら $sF$ に原点の極が残り、仮定に反する。
従って、ある定数 $L$ と左半平面の極だけを持つ真にプロパーな有理関数 $R$ を使って
$$ F(s)=\frac{L}{s}+R(s) $$
と書ける。原点の極がなければ $L=0$ とする。$R$ の各逆変換は $t^m e^{\lambda t}$ の定数倍で、$\operatorname{Re}\lambda<0$ だから零へ収束する。実際、$d=-\operatorname{Re}\lambda>0$ に対し、$t^m e^{-dt}\to0$ は指数関数の増大が多項式より速いことから従う。
したがって $f(t)=L+r(t)\to L$ である。また $R$ は原点で正則なので $sR(s)\to0$、従って $sF(s)\to L$ となる。時間領域の収束と変換側の値が両方得られた。

判定に使うのは $F$ の極そのものではなく、約分した $sF$ の極である。$F$ に原点の単純極があることは許される。その項 $L/s$ は定数 $L$ に対応し、まさに非零の最終値を表す。$F$ のすべての極を厳密に左半平面に要求すると、最終値が非零となる重要な場合を除いてしまう。
一方、原点の二重極は許されない。例えば $F=1/s^2$ の逆変換は $t$ で、$sF=1/s$ に原点の極が残る。虚軸上の零でない極も許されない。$F=1/(s^2+1)$ の逆変換は $\sin t$ であり、$sF$ の極 $\pm i$ は原点を掛けても消えない。右半平面の極は増大する指数関数を生む。
極を数える前の約分も必要である。式の分母に $s-1$ が見えても、分子と完全に相殺されるなら、それは有理関数の極ではない。ここで判定するのは、対象となる出力の変換の極である。別の出力や内部状態に消えていない不安定なモードがあるかどうかは、この一つの変換だけでは判断できない。

非零の初期値と零の最終値

$$ F(s)=\frac{s+5}{(s+1)(s+2)} =\frac4{s+1}-\frac3{s+2} $$
だから $f(t)=4e^{-t}-3e^{-2t}$ である。初期値は $\lim_{s\to\infty}sF(s)=1$、最終値は $\lim_{s\to0}sF(s)=0$ となる。$sF$ の極は $-1,-2$ だけなので有理関数版が使える。この関数は初期値から単調に減るとは限らず、$f'(0)=-4+6=2$ と最初は増える。$t=1$ の値は $f(1)\approx1.065512$（小数第6位まで）である。最終値が零であることと途中の増減は別の情報である。

定常値に減衰振動が重なる

$$ f(t)=3+e^{-t}\cos2t, \qquad F(s)=\frac3s+\frac{s+1}{(s+1)^2+4}. $$
初期値は $4$、最終値は $3$ である。$F$ の極は $0,-1\pm2i$ だが、$sF$ では原点の極が消え、残る極は左半平面にある。$t=1$ の値は $3+e^{-1}\cos2\approx2.846908$（小数第6位まで）である。虚部が非零でも、実部が負なら振動の振幅が減って定常値に収束する。

重根でも負の実部なら収束する

$$ F(s)=\frac1{s+1}+\frac1{(s+1)^2}, \qquad f(t)=(1+t)e^{-t}. $$
$sF$ に $-1$ の二重極があるが、これは左半平面なので許される。初期値は $1$、最終値は $0$、$t=1$ の値は $2/e\approx0.735759$（小数第6位まで）である。重根のため $t$ が掛かっていても指数減衰が勝つ。原点の二重極と負の点の二重極を同じものとして扱ってはならない。

使う順序と定常応答

有理式が与えられたら、次の手順で調べる。

分子と分母の共通因子を除き、真にプロパーな式か確認し、逆変換には連続な代表を用いる。
初期値は $\lim_{s\to\infty}sF(s)$ を計算し、必要なら逆変換の右極限と照合する。
最終値については $sF(s)$ を改めて約分し、その極をすべて求める。
すべての極の実部が負なら $\lim_{s\to0}sF(s)$ を計算する。

虚軸や右半平面に極が残れば、この判定で有限な最終値を保証できない。逆変換して挙動を調べる。

変換 $F$	初期値	$sF$ の極	最終値
$2/[s(s+2)]$	$0$	$-2$	$1$
$(s+5)/[(s+1)(s+2)]$	$1$	$-1,-2$	$0$
$3/s+(s+1)/[(s+1)^2+4]$	$4$	$-1\pm2i$	$3$
$1/(s+1)+1/(s+1)^2$	$1$	$-1$、二重	$0$
$1/(s^2+1)$	$0$	$\pm i$	存在しない

零初期状態の線形系の伝達関数を $H(s)$ とし、大きさ $A$ のステップ入力を与えると $Y(s)=A H(s)/s$ となる。$Y$ が真にプロパーで、$sY=A H$ のすべての極が左半平面にあるなら、出力の最終値は $A H(0)$ である。これは入力の一定値に対する定常応答を求める式である。
例えば $H(s)=2/(s+2)$、$A=1$ なら ex-ivf-step の $Y$ を得る。$H(0)=1$ なので最終出力は $1$ で、入力との差も零になる。もし $H(s)=1/(s+2)$ なら、同じ単位入力に対する最終出力は $1/2$、入力との差は $1/2$ になる。単に系が安定だからといって定常差が零になるわけではなく、原点での値も必要である。
$s$ を掛ける操作は時間領域の微分を連想させるが、ここでは端点での値を取り出すための平均の正規化でもある。微分公式 $\mathcal L[f']=sF-f(0+)$ を使って最終値を導く方法もあるが、$f'$ の可積分性などの条件を別に確認する必要がある。本記事のAbel型の証明は微分を仮定しないため、跳びを持つ有界な入力にもそのまま適用できる。

条件を外した反例

誤り	問題	修正
初期値を任意の $f(0)$ とする	単一点は積分から見えない	右極限を用いる
$sF$ の極限があれば収束するとする	振動の平均も零になりうる	有理関数なら極を先に調べる
$F$ に原点の極があるだけで除外する	定数の変換も原点の極を持つ	$sF$ を調べる
約分前の分母の根を極とする	除去可能な因子を数える	既約な有理関数を使う
原点に近づけない変換を使う	収束半平面を忘れる	積分の定義域を確認する
外す条件	反例	成り立たなくなること
:--	:--	:--
初期の右連続性	$f(0)=7$、$f(t)=1$（$t>0$）	$sF=1$ は $f(0)$ でなく $f(0+)$ を与える
有理関数版の連続な代表	$f(t)=1$、ただし正整数では $f(t)=2$	$F=1/s$、$sF=1$ でも、この代表には最終値がない
最終値の存在・極の条件	$f(t)=\sin t$	$sF=s/(s^2+1)\to0$ だが $f$ は収束しない
正の $s$ 全体での変換の存在	$f(t)=e^t$	$s/(s-1)\to0$ は積分の定義域外の計算になる
原点の極の条件	$f(t)=t$	$sF=1/s$ が発散し有限な最終値はない
通常の関数という条件	$F(s)=1$	逆変換はデルタで、通常の右極限を持つ関数ではない

正整数だけ値を変えた反例は、各有限区間では有限個の不連続点を持ち、有界で区分的に連続である。値を変えた集合は可算で測度零だから、変換は定数関数と同じ $1/s$ である。しかし $f(n)=2$ と $f(n+1/2)=1$ の二つの列により最終値は存在しない。連続な逆変換を用いる条件は、変換が区別できない孤立点での値を排除するために必要となる。
$\sin t$ の反例では、$t=\pi/2+2\pi n$ の列では値が $1$、$t=3\pi/2+2\pi n$ の列では $-1$ なので時間領域の極限は存在しない。それでも重み付き平均の $sF$ は零へ収束する。これは最終値定理のAbel型の逆が一般には成立しないことを、同じ関数で明確に示している。
$e^t$ の反例はさらに注意を要する。$s>1$ における変換の式を有理関数として原点まで延長することはできるが、その延長値は原点近くのLaplace積分ではない。有理関数版でも $sF$ に右半平面の極 $1$ が残るので条件は満たされない。解析的な式を持つこと、変換積分が存在すること、時間領域の有限な極限があることを別々に確認する必要がある。
逆に、原点の単純極を持つ $F=3/s$ は完全に許される。逆変換は一定値 $3$ で、$sF=3$ には極がない。条件を「$F$ の極がすべて負」と短く言い換えると、この例を誤って除外する。実際の判定の対象を省略せず、$sF$ と明記することが大切である。
AMF20 §9.3（p. 9-16）は制御系のステップ応答について初期値と最終値の公式を述べている。本記事では、通常の関数についての仮定と有理式の極の条件を明示して使う。

導関数の可積分性からの判定

極の位置を使わず、時間領域で最終値の存在を確かめる別の十分条件もある。$f$ が各有限区間で絶対連続で、
$$ \int_0^\infty |f'(t)|\,dt<\infty $$
なら、微積分の基本定理から
$$ f(t)=f(0)+\int_0^t f'(v)\,dv $$
である。右辺の積分は絶対収束するので、$f$ の最終値は $f(0)+\int_0^\infty f'$ となる。従って最終値定理のAbel型を使える。
この場合は導関数の変換によっても同じ結果を得る。$f$ は有界で、$f'$ は絶対可積分だから、正の $s$ に対して部分積分が正当化される。無限遠の境界項 $e^{-st}f(t)$ は零になり、
$$ sF(s)-f(0)=\int_0^\infty e^{-st}f'(t)\,dt. $$
右辺では $|e^{-st}f'(t)|\le|f'(t)|$ なので、$s\to0+$ の極限を積分内へ移せる。その結果は $\int_0^\infty f'$ で、先ほどの最終値と一致する。
ここで必要なのは導関数の絶対積分が有限であることだ。「$f'$ が指数オーダーである」という条件だけでは、$s\to0+$ で積分を交換できない。例えば $f(t)=e^t$ の導関数も指数オーダーだが、零付近の正の $s$ で変換は存在しない。$f(t)=\sin t$ の導関数は有界なので指数オーダーだが、時間領域の最終値は存在しない。
導関数の絶対可積分性は便利な十分条件だが、最終値の存在に必要な条件ではない。収束する関数でも、その導関数の絶対積分が発散する場合がある。最終値定理のAbel型では導関数を仮定せず、関数そのものの有限な極限だけを使った。この二つの条件の強さを区別すれば、適用できる関数を不用意に狭めずに済む。

最終値と途中の応答

初期値と最終値が同じでも、途中の波形は一意には定まらない。例えば $f_1(t)=1-e^{-t}$ と $f_2(t)=1-e^{-2t}$ は、ともに初期値 $0$、最終値 $1$ を持つ。しかし減衰の速さは違い、正の時刻では $f_2(t)>f_1(t)$ である。端点の定理は応答の全体を復元する公式ではなく、逆変換をせずに取り出せる二つの情報である。
さらに、$1-e^{-t}\cos2t$ も初期値 $0$、最終値 $1$ を持つが、途中では定常値を超える場合がある。最終値が存在することと、定常値に単調に近づくことは別である。減衰振動の極は左半平面にあるため最終値の条件を満たすが、虚部があることで途中の振動を生む。極の実部は減衰、虚部は振動に関係する。
定常値だけが目的なら最終値定理は計算を短くする。一方、応答の最大値や到達時間を求めるなら、逆変換して時間領域の関数を調べる必要がある。初期値定理と最終値定理の二つの検算だけでは、時間領域の式のすべての係数が正しいと保証できない。途中で零になる非零の過渡項を加えても、二つの端点の値は変わらないためである。
有理関数版の証明が示したように、安定な過渡項は多項式と減衰指数の積の和である。定常値の計算で消えるこれらの項こそ、途中の応答を決める。目的に応じて、端点の定理で十分な情報と、逆変換を必要とする情報を分けて使うとよい。
定常入力への最終値の式では、入力の大きさと伝達関数の原点の値を掛ける順序自体は単純である。しかし、極の条件を調べる段を後回しにしてはいけない。原点の値が存在することは、時間領域で定常状態へ近づくことより弱い情報である。例えば振動系の有理関数は原点で有限でも、虚軸上の極が過渡項を消えない振動として残す。
最終値が分かっても、指定した誤差以内へいつ到達するかは別に調べる。誤差を $f(t)-L$ として逆変換の減衰項から評価すれば、極の実部と重根の多項式因子が時間の見積りに現れる。端点の極限を取った段ではこれらの項はすべて消えたので、最終値の数だけから到達時刻を読み取ることはできない。
初期値と最終値の判定を併用するときも、二つの極限を同時に取る一つの操作として扱わない。初期値では大きな正の $s$ において原点近くを平均し、最終値では小さな正の $s$ において遠い時間を平均する。異なる時間領域を見る操作だからこそ、必要な条件も異なる。得られた二つの端点の情報を、逆変換で求めた波形と合わせて解釈する。