長い直線

まず $b=(\alpha,t)$ に対し $[0_R,b]$ を扱う。$\{\beta\mid\beta\le\alpha\}$ は可算集合なので、単射 $\beta\mapsto n(\beta)\in\mathbb{N}$ をとり $w_\beta:=2^{-n(\beta)-1}>0$ とおく。このとき $\sum_{\beta\le\alpha}w_\beta\le1$ である（有限部分和の上限として定める）。$S_\beta:=\sum_{\gamma<\beta}w_\gamma$ とおき、
$$ F(\beta,u):=S_\beta+w_\beta u\qquad((\beta,u)\in[0_R,b]) $$
と定める。$\beta<\gamma$ なら $F(\beta,u)< S_\beta+w_\beta\le S_\gamma\le F(\gamma,v)$ であり、$\beta=\gamma$ なら第2成分について狭義単調だから、$F$ は狭義単調増加である。
$F$ の像が閉区間 $[0,F(b)]$ 全体になることを示す。$0< q< F(b)$ をとり、$D:=\{y\in[0_R,b]\mid F(y)\le q\}$ とおく。$D$ は空でなく上に有界だから、$[0_R,b]$ における上限 $x$ が存在する（上限の存在は、順序数の座標の上限と実数の上限を順に取ることで得られる）。$F(x)>q$ とすると、$x$ は最小元でなく、極限順序数の座標では $\sup_{\delta<\beta}S_\delta=S_\beta$ が成り立つので、$z< x$ で $F(z)>q$ となるものがとれ、$z$ が $D$ の上界になって $x$ の最小性に反する。$F(x)< q$ とすると $x< b$ であり、同じ座標の内部で右から近づけて $z>x$ かつ $F(z)< q$ となるものがとれ、$x$ が $D$ の上界であることに反する。よって $F(x)=q$ である。したがって $F$ は $[0_R,b]$ から $[0,F(b)]$ への順序同型である。
順序同型は、開半直線を開半直線に写すので順序位相について同相を与える。また $[a,b]$ は順序凸なので、部分空間としての位相と、それ自身の順序位相は一致する（Mun00 §16）。$a< b$ のとき $[a,b]$ は上の同型の制限であり、実数の一次変換で $[0,1]$ に写せる。$L$ で片側にある区間は同じ議論または順序を逆にした議論に帰着し、原点をまたぐ区間は両側を実数の負・正の閉区間へ送って原点で接続すればよい。
帰結について。$0_R$ 以外の点 $x$ には $a< x< b$ をとって開区間 $(a,b)$ が実数の開区間と同相な開近傍を与え、$0_R$ には $[0_R,c)$ が $[0,\varepsilon)$ を与える。実数の有理数端点の区間を引き戻せば可算な基本近傍系が得られるので第1可算である。異なる二点 $u< v$ には $u< c< v$ なる $c$ がとれる（同じ座標なら実数の中点、異なる座標なら左の点の第2成分を少し増やす）ので、$\{x< c\}$ と $\{x>c\}$ が分離する開近傍を与え、Hausdorff である。二点を含む閉区間は実数の閉区間と同相だから、その中で二点を結ぶ道がとれ、弧状連結である。$\square$

各 $n$ について $A_n$ の上界 $x_n=(\beta_n,t_n)\in R$ を一つ選ぶ（可算選択公理を用いる）。$\{\beta_n+1\mid n\in\mathbb{N}\}$ は可算個の可算順序数からなるので、その上限 $\alpha$ は可算順序数であり $\alpha\in\omega_1$ である。すべての $n$ について $x_n<(\alpha,0)$ だから $(\alpha,0)$ は $\bigcup_nA_n$ の上界である。高々可算な部分集合は一点集合の可算合併であり、一点集合は有界だから、後半が従う。$L$ では正のコピーと負のコピーに分けて同じ議論を行う。$\square$

$D\subset R$ を高々可算な部分集合とすると、lem-long-line-countable-bounded-union により $D$ は有界であり、その上界 $x$ に対し開集合 $\{y\in R\mid y>x\}$ は空でなく $D$ と交わらない。よって $D$ は稠密でない。$L$ では正の側に同じ議論を適用する。$\overline R$ では、$D\setminus\{\infty\}$ が $R$ で有界であり、その上界 $x$ に対し開区間 $\{y\mid x< y<\infty\}$ は空でなく $D$ と交わらない（$\infty$ もこの区間に入らない）。したがって三つとも可分でない。
第2可算空間では、可算開基の空でない各要素から一点ずつ選べば可算な稠密集合が得られる（可算選択公理を用いる）。可分でないのだから、これらは第2可算でもない。$\square$

$\mathcal{U}=\{[0_R,(\alpha,0))\mid 0<\alpha<\omega_1\}$ は $R$ の開被覆である（$(\beta,t)\in[0_R,(\beta+1,0))$）。可算部分族 $\{[0_R,(\alpha_n,0))\}_n$ をとると、各成員は有界だから lem-long-line-countable-bounded-union によりその合併も有界であり、$R$ 全体を覆わない。$L$ では $\{(-(\alpha,0),(\alpha,0))\}$ の族に同じ議論を行う。コンパクト集合は有界（ex-long-line-bounded-closed-compact の逆向き：$\mathcal{U}$ の有限部分族に含まれるので有界）なので、可算個のコンパクト集合の合併も有界であり、全体を覆わない。$\square$

閉であることは閉集合の共通部分だから明らかなので、非有界性を示す。$x\in R$ を任意にとる。各自然数を無限回現れるように並べた列 $(n_k)_{k\in\mathbb{N}}$ を固定する（たとえば対の枚挙の第1成分）。$y_{-1}:=x$ とおき、$F_{n_k}$ が非有界であることを用いて $y_k\in F_{n_k}$ を $y_k>y_{k-1}$ となるように再帰的に選ぶ（従属選択公理を用いる）。
$\{y_k\mid k\in\mathbb{N}\}$ は可算集合なので lem-long-line-countable-bounded-union により有界であり、その上界を $z$ とすると $[0_R,z]$ は実数の閉区間と同相（prop-long-local）だから、上限 $c:=\sup_ky_k$ が $R$ に存在し、$c>x$ である。狭義増加列は上限に収束する。すなわち $c$ の任意の開近傍は、ある $d< c$ について $(d,c]$ を含み、$c$ の上限性から $y_k>d$ となる $k$ があり、以降のすべての項が $(d,c]$ に入る。
各 $n$ を固定すると、$n_k=n$ となる $k$ は無限個あり、その部分列は $\{y_k\}$ の中で共終なので同じ上限 $c$ をもつ。この部分列は $F_n$ の点からなり $c$ に収束するので、$F_n$ が閉であることから $c\in F_n$ である。$n$ は任意だったので $c\in\bigcap_nF_n$ であり、$x$ は任意だったので $\bigcap_nF_n$ は非有界である。$\square$

$X:=\{r\in\mathbb{R}\mid f^{-1}([r,\infty))\ \text{は非有界}\}$ とおく。$r'< r$ かつ $r\in X$ なら $f^{-1}([r',\infty))\supset f^{-1}([r,\infty))$ だから $r'\in X$ であり、$X$ は下に閉じている。
$X\ne\emptyset$：もしすべての整数 $i$ について $f^{-1}([i,\infty))$ が有界なら、lem-long-line-countable-bounded-union により $\bigcup_{i\in\mathbb{Z}}f^{-1}([i,\infty))=R$ が有界になるが、$R$ は非有界なので矛盾する。
$X$ は上に有界：もし $X=\mathbb{R}$ なら、各 $m\in\mathbb{N}$ について $f^{-1}([m,\infty))$ は非有界であり、$f$ の連続性から閉集合である。prop-long-line-countable-unbounded-closed-intersection によりその共通部分 $\bigcap_mf^{-1}([m,\infty))=f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ が非有界となり矛盾する。$X$ は下に閉じた空でない集合なので、$X=\mathbb{R}$ でなければ上に有界である。そこで $c:=\sup X$ とおく。
$f^{-1}([c,\infty))$ は非有界：各 $i\ge1$ について $c-1/i< c$ だから $c-1/i\in X$、すなわち $f^{-1}([c-1/i,\infty))$ は非有界閉集合であり、prop-long-line-countable-unbounded-closed-intersection により
$$ f^{-1}([c,\infty))=\bigcap_{i\ge1}f^{-1}([c-1/i,\infty)) $$
は非有界である。
$f^{-1}((-\infty,c))$ は有界：各 $i\ge1$ について $f^{-1}((-\infty,c-1/i])$ は閉集合であり、これが非有界だとすると、非有界閉集合 $f^{-1}([c,\infty))$ との共通部分が空になって prop-long-line-countable-unbounded-closed-intersection の後半に反する。よって有界であり、lem-long-line-countable-bounded-union により $f^{-1}((-\infty,c))=\bigcup_{i\ge1}f^{-1}((-\infty,c-1/i])$ も有界である。
$f^{-1}((c,\infty))$ は有界：各 $i\ge1$ について $c+1/i\notin X$ だから $f^{-1}([c+1/i,\infty))$ は有界であり、lem-long-line-countable-bounded-union により $f^{-1}((c,\infty))=\bigcup_{i\ge1}f^{-1}([c+1/i,\infty))$ も有界である。
以上より $B:=f^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{c\})$ は二つの有界集合の合併として有界であり、$x\notin B$ なら $f(x)=c$ である。$\square$

$R,L$ 内の点列は、その項の順序数座標が可算個なので、有界な閉区間に収まる。その区間は実数の閉区間と同相だから、収束部分列がある。一方、$R$ の有界な初期開区間全体、$L$ の原点を中心とする有界開区間全体は、それぞれ有限部分被覆のない開被覆を与える。
$\overline R$ の開被覆から $\infty$ を含む一つを取ると、それはある終端区間 $(a,\infty]$ を含む。残る $[0_R,a]$ はコンパクトなので有限個で覆える。点列に $\infty$ が無限回現れれば定値部分列を取り、そうでなければ $R$ の場合に帰着する。
$\infty$ の近傍を可算個並べ、それぞれに含まれる終端区間 $(a_n,\infty]$ を選ぶ。全ての $a_n$ より大きい $b\in R$ を取ると、$(b,\infty]$ の中に含まれる近傍は、この可算族の中には一つもない。従って可算近傍基にはならない。$\square$

$R$ の点 $x$ に対し、$x< y$ なる $y$ をとると $[0_R,y]$ は $x$ の近傍であり、実数の閉区間と同相（prop-long-local）だからコンパクトである。$L$ でも $x$ を含む閉区間 $[u,v]$（$u< x< v$）が同じ役割を果たす。$\overline R$ では、$R$ の点については $R$ が $\overline R$ の開部分空間なので同じ近傍が使え、$\infty$ については $\overline R$ 全体がコンパクトな近傍である。$\square$

$R$、$L$ のいずれでも、$A=\emptyset$ なら $U=\emptyset$、$V$ を空間全体とし、$B=\emptyset$ なら逆にすればよい。以下では $A,B$ はともに空でないとする。まず $R$ で示す。交わらない閉集合 $A,B$ がともに非有界であることはない。もし両方非有界なら、$a_1< b_1< a_2< b_2<\cdots$（$a_i\in A$、$b_i\in B$）を交互に狭義増加するように選べる（従属選択公理）。この可算集合は lem-long-line-countable-bounded-union により有界で、prop-long-local により上限 $c\in R$ をもつ。prf-long-line-countable-unbounded-closed-intersection と同じ理由で $(a_i)$ も $(b_i)$ も $c$ に収束するので、$A,B$ が閉であることから $c\in A\cap B$ となり矛盾する。
したがって一方は有界である。記号を入れ替えて $A$ が有界としてよい。$A$ の上界 $p_0$ をとり、$p_0< p$ なる $p\in R$ を一つとる。$K:=[0_R,p]$ とおくと $A\subset K$、$p\notin A$ であり、$K$ は実数の閉区間と同相なので距離 $d$ を移して距離空間とみなせる。$B':=(B\cap K)\cup\{p\}$ は $K$ の閉集合で $A$ と交わらない。両者は空でない交わらない閉集合なので
$$ h(x):=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B')}\qquad(x\in K) $$
は連続であり（距離関数は $1$-Lipschitz、閉集合への距離が $0$ になるのはその閉集合の点に限るので分母は正）、$A$ 上で $0$、$B'$ 上で $1$ をとる。$h$ を $\{x\in R\mid x\ge p\}$ 上で定数 $1$ として $R$ 全体へ延長する。$R$ は二つの閉集合 $K$ と $\{x\ge p\}$ の合併で、共通部分 $\{p\}$ 上で二つの定義が一致するので、貼り合わせにより延長も連続である。延長した $h$ は $A$ 上で $0$、$B$ 上で $1$ をとる（$B$ の点は $K$ に入れば $B'$ の点、$p$ より先なら定数 $1$ の側にある）。$U:=h^{-1}([0,1/3))$ と $V:=h^{-1}((2/3,1])$ が求める開集合である。
$L$ では、正の端と負の端のそれぞれについて、$A,B$ の少なくとも一方がその端の方向に有界である。一方だけが非有界な端はその非有界な集合に割り当て、両方が有界な端はどちらか一方に割り当てる。正の端に割り当てられていない集合の全点より大きく、かつ $0$ より大きい切断点 $p_+$ をとる。負の端に割り当てられていない集合の全点より小さく、かつ $0$ より小さい切断点 $p_-$ をとる。$K:=[p_-,p_+]$ は実数の閉区間と同相である。$A':=(A\cap K)\cup\{p_\varepsilon\mid \varepsilon\ \text{側の端が}\ A\ \text{に割り当てられている}\}$ とし、$B'$ も同様に定める。切断点は割り当てられていない集合に属さないので、$A'$ と $B'$ は交わらない閉集合である。$A$ が $K$ の外に点をもつなら、その点の側の端は $A$ に割り当てられているので、対応する端点が $A'$ に入る。$A\ne\emptyset$ より $A'$ は空でなく、同様に $B'$ も空でない。上の距離比で $A',B'$ を分離する連続関数 $h$ を作り、$K$ の外では各端点の値 $h(p_\pm)$ の定数として延長する。有限個の閉集合上で貼り合わせた延長は連続であり、$A$ 上で $0$、$B$ 上で $1$ になるので、その逆像で求める分離を得る。$\square$

$X$ を可算コンパクト空間（任意の可算開被覆が有限部分被覆をもつ空間。可算コンパクト空間）とすると、$X$ の空でない部分集合からなる局所有限な族 $\mathcal{V}$ は有限である。実際 $\mathcal{V}$ が無限なら、相異なる成員 $V_0,V_1,\dots$ と各 $V_k$ の点 $x_k$ を選べる（可算選択公理）。可算コンパクト性の点列による特徴づけ（可算コンパクト空間 が所有する）により点列 $(x_k)$ は集積点 $p$ をもつが、局所有限性から $p$ のある近傍 $W$ は有限個の成員としか交わらない。一方 $W$ は無限個の $k$ について $x_k\in V_k$ を含むので、$W$ は無限個の成員と交わる。矛盾である。
さて $R$（同様に $L$）は点列コンパクトなので可算コンパクトである（この一般論は 可算コンパクト空間 が所有する）。$R$ がパラコンパクトだとすると、開被覆 $\{[0_R,(\alpha,0))\mid0<\alpha<\omega_1\}$ は局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ をもつ。空の成員を除いても細分であり局所有限だから、上の議論により $\mathcal{V}$ は有限である。$\mathcal{V}$ は被覆なので、各成員を含む元の被覆の成員を有限個集めれば $R$ を覆う。これは、この開被覆には有限部分被覆がないこと（prf-long-compactness）に反する。$L$ では開被覆 $\{(- (\alpha,0),(\alpha,0))\mid0<\alpha<\omega_1\}$ を用い、同じ有限部分被覆の不存在から矛盾を得る。$\square$

$R$ は有界な区間を使って任意の二点を道で結べるので連結である。$\infty$ の任意の近傍が $R$ と交わるから $\overline R$ は $R$ の閉包であり、連結集合の閉包として連結である（連結空間 の記事の命題）。
もし $0_R$ と $\infty$ を結ぶ道があれば、その像は連結である。順序空間の連結部分集合は、その2点の間の全点を含むため（$t\notin S$ なら $\{x< t\}$, $\{x>t\}$ が $S$ の分割を与える）、その像は $\overline R$ 全体になる。しかし実数区間の連続像は可分であり、$\overline R$ が可分でないことに矛盾する。
最後に、$R$ 内の点列はある $b\in R$ より下に収まるので、$\infty$ の近傍 $(b,\infty]$ に入らず、そこへ収束しない。$\infty$ 自身を項に許せば定値点列は収束するので、ここで $R$ 内という条件は省けない。$\square$

弧状連結性は prop-long-local で示した。局所弧状連結性（局所弧状連結空間）も同じ命題から従う。各点は実数の区間と同相な開近傍をもち、その中の小さい区間もまた実数の区間と同相で弧状連結だから、弧状連結な開近傍からなる基本近傍系がとれる。$\gamma\colon[0,1]\to L$ をループとすると、像 $\gamma([0,1])$ はコンパクトである（コンパクト空間の連続像はコンパクト。コンパクト空間 が所有する）。開被覆 $\{(-(\alpha,0),(\alpha,0))\mid0<\alpha<\omega_1\}$ の有限部分被覆をとれば、像はある有界開区間 $I$ に含まれる。$I$ は実数の開区間と同相（prop-long-local）で、実数の区間は凸だから、$I$ の中でループを一点へ連続的に縮められる。この縮小は $L$ の中のホモトピーでもあるので、$\gamma$ は定値ループにホモトピックである。よって $L$ は単連結（単連結空間）である。$R$ でも同じ議論が通る。$\square$

埋め込みにより $R\subset K$ と同一視する。$R$ は $K$ で稠密であり、$K$ はコンパクト Hausdorff である。
$K\setminus R\ne\emptyset$：さもなくば $K=R$ がコンパクトになり prop-long-compactness に反する。
$p\in K\setminus R$ の任意の開近傍 $W$ について $W\cap R$ は非有界：もし $W\cap R\subset[0_R,b]$ なら、$[0_R,b]$ は $R$ でコンパクト（ex-long-line-bounded-closed-compact）、したがって $K$ でもコンパクトであり、$K$ が Hausdorff だから $K$ の閉集合である（Hausdorff 空間のコンパクト部分集合は閉。コンパクト空間 が所有する）。$p$ の任意の開近傍 $V$ に対し $V\cap W$ は空でない開集合なので、$R$ の稠密性から $R$ と交わる。よって $p$ は $W\cap R$ の $K$ における触点であり、$p\in[0_R,b]\subset R$ となって $p\notin R$ に矛盾する。
$K\setminus R$ は高々一点：$p\ne q$ を $K\setminus R$ の点とする。$K$ はコンパクト Hausdorff なので $T_1$ かつ正規（コンパクト Hausdorff 空間の正規性。コンパクト空間 が所有する）であり、したがって正則（正則空間）である。交わらない開集合 $U\ni p$、$U'\ni q$ をとり、正則性により $p\in W_p\subset\overline{W_p}\subset U$、$q\in W_q\subset\overline{W_q}\subset U'$ となる開集合をとる。$\overline{W_p}\cap\overline{W_q}=\emptyset$ である。前段より $W_p\cap R$ と $W_q\cap R$ はともに非有界なので、$a_1< b_1< a_2< b_2<\cdots$（$a_i\in W_p\cap R$、$b_i\in W_q\cap R$）を交互に狭義増加するように選べる（従属選択公理）。lem-long-line-countable-bounded-union と prop-long-local により上限 $c\in R$ が存在し、prf-long-line-countable-unbounded-closed-intersection と同じ理由で $(a_i)$ も $(b_i)$ も $R$ の中で、したがって $K$ の中で $c$ に収束する。よって $c\in\overline{W_p}\cap\overline{W_q}$ となり矛盾する。
同相の構成：$K=R\cup\{p\}$ である。$K$ は Hausdorff なので $\{p\}$ は閉、したがって $R$ は $K$ の開部分空間である。$h\colon K\to\overline R$ を $R$ 上恒等、$h(p)=\infty$ で定めると全単射である。$\overline R$ の開基は、$R$ の開集合と終端区間 $(a,\infty]$ からなる。$R$ の開集合 $O$ について $h^{-1}(O)=O$ は $K$ で開であり、$h^{-1}((a,\infty])=K\setminus[0_R,a]$ は、$[0_R,a]$ が $K$ の閉集合であることから開である。よって $h$ は連続である。$K$ はコンパクト、$\overline R$ は Hausdorff で、$h$ は連続全単射だから、$K$ の閉集合の像はコンパクトすなわち閉であり（コンパクト空間 が所有する二つの命題による）、$h$ は同相写像である。$\square$