長い直線

同義語：long line

概要

定義

長い直線にはいくつかの構成法があるが、最も標準的なものは最小の非可算順序数 $\omega_1$ を用いて構成される。

長い半直線 (Long Ray)

最小の非可算順序数 $\omega_1$ と半開区間 $[0, 1)$ の直積集合
$$L = \omega_1 \times [0, 1)$$
に対し、辞書式順序 $\prec$ を以下のように定める。
$(\alpha, t), (\beta, s) \in L$ に対し、

$\alpha < \beta$ のとき $(\alpha, t) \prec (\beta, s)$
$\alpha = \beta$ かつ $t < s$ のとき $(\alpha, t) \prec (\beta, s)$
この順序 $\prec$ から誘導される順序位相を入れた空間 $L$ を長い半直線 (long ray) と呼ぶ。

直感的には、長さ $1$ の区間 $[0, 1)$ を「非可算個（$\omega_1$ 個）」一列に繋ぎ合わせたものである。
$$L \cong \bigcup_{\alpha < \omega_1} [\alpha, \alpha+1)$$
さらに、この $L$ を2つ用意して原点 $(0,0)$ で貼り合わせたもの（双方向への無限）を長い直線と呼ぶ。
また、最大元（無限遠点）としての $\omega_1$ を $L$ に付け加えたコンパクト化 $L^* = L \cup \{\omega_1\}$ を長い閉半直線 (extended long ray) と呼ぶ。

基本的な性質

長い直線 $L$ は以下の性質を持つ。

局所ユークリッド: 任意の点の近傍は実数直線上の開区間と同相である。したがって $L$ は境界のない $1$ 次元位相多様体である。
ハウスドルフ空間: 順序位相が入っているためハウスドルフ ($T_2$) であり、さらに正規空間 ($T_4$) でもある。
連結かつ弧状連結:
任意の2点 $x < y$ に対し、閉区間 $[x, y]$ は実数上の閉区間 $[0, 1]$ と順序同型（したがって同相）であるため、道が存在する。
可分ではない: 可算な稠密部分集合を持たない。
第二可算ではない: 可算個の開基を持たない。
距離化不可能: 第二可算でないため（多様体においては距離化可能性と第二可算性は同値である）。
パラコンパクトではない: 任意の開被覆が局所有限な細分を持つとは限らない。

コンパクト性の微細な違い

長い直線は、解析学（距離空間）では一致する様々な「コンパクト性」の概念が、一般位相空間では食い違うことを示す良い例である。

$L$（長い半直線）の場合

コンパクトではない: $\omega_1$ が極限順序数であるため、有限個の有界開区間では覆えない。
点列コンパクトである:
これが長い直線の大きな特徴である。$L$ 内の任意の点列 ${x_n}$ は、$L$ 内に収束する部分列を持つ。
（証明の鍵：可算個の可算順序数の上限はまた可算順序数になるため、点列は実質的に「可算な長さ」の中に収まってしまい、有界閉区間内の点列と同様に扱える。）

$L^*$（長い閉半直線）の場合

コンパクトである: 最大元 $\omega_1$ を付加しているため、コンパクト空間となる。
第一可算ではない: 点 $\omega_1$ において可算近傍系を持たない（$\omega_1$ に収束する点列を作れない）。

連結性と弧状連結性の乖離

通常の長い半直線 $L$ は弧状連結であるが、無限遠点を加えた $L^*$ はそうではない。

長い閉半直線 $L^* = L \cup \{\omega_1\}$ は連結であるが、弧状連結ではない。

連結性: 全順序集合において順序位相が連結であるための必要十分条件は「ジャンプ（空隙）がないこと」であり、$L^*$ はこれを満たす。
非弧状連結性:
点 $0$ と点 $\omega_1$ を結ぶ道 $\gamma: [0, 1] \to L^*$ が存在したとして矛盾を導く。

定義域 $[0, 1]$ は実数の部分集合であり、可算稠密部分集合 $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ を持つ（可分である）。
連続写像による可分空間の像は可分である。したがって、像 $\text{Im}(\gamma)$ も可分な位相空間である。
一方、$\gamma$ が $0$ と $\omega_1$ を結ぶならば、中間値の定理（連結性）より $\text{Im}(\gamma)$ は $L^*$ 全体を含むはずである。
しかし、$L^*$（および $L$）は可分ではない（可算順序数全体の集合が不可算であるため、どのような可算集合をとっても、それより大きい要素が必ず存在する）。
これは矛盾である。よって道 $\gamma$ は存在しない。$\square$