Petr–Douglas–Neumannの定理

前提知識: Napoleonの定理, 離散Fourier変換と反転公式, 複素数の掛け算は回転と拡大, 1の冪根で数を振り分ける

高校での出発点：四角形に 2 回の操作をする

Napoleonの定理 では、三角形の各辺の外側に正三角形を立て、その中心を結ぶと正三角形になることを見た。四角形ではどうだろうか。各辺の外側に正方形を立てて中心を結んでも、一般には正方形にならない。ところが、もう 1 回操作を加えると正方形が現れる。
この記事では、平面の点を複素数で表す（複素数平面と図形）。複素数 $u$ に $-i$ を掛けると、$u$ を時計回りに $90^\circ$ 回したベクトルになる（複素数の掛け算は回転と拡大）。

四角形の各辺に直角二等辺三角形を外側に立ててその頂点を結び（青）、次にその中点を結ぶ（赤）と正方形になる

同じ四角形で先に中点を結び（緑の平行四辺形）、次に直角二等辺三角形を立ててその頂点を結ぶと、同じ正方形（赤）になる

正方形の中心は、辺を斜辺とする直角二等辺三角形の直角の頂点である。つまり (1) は「頂角 $90^\circ$ の二等辺三角形を立てる」操作、(2) の中点は「頂角 $180^\circ$ の二等辺三角形（つぶれた三角形）を立てる」操作と見られる。$90^\circ=\dfrac{2\pi\cdot1}4$、$180^\circ=\dfrac{2\pi\cdot2}4$ である。三角形では頂角 $120^\circ=\dfrac{2\pi\cdot1}3$（正三角形の中心）の 1 回で正三角形になった（Napoleonの定理）。この記事で答える問いは次の 3 つである。

1. $n$ 角形では、どんな操作を何回すれば正 $n$ 角形になるか。→ thm-pdn-main
2. 操作の順番を入れかえても結果が同じなのはなぜか。→ lem-pdn-mult
3. 操作を 1 つ抜かしたり、同じ操作を 2 回したりするとどうなるか。→ 「例と反例」の節

   高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
   辺の中点から垂直に進む	操作 $T_k$	巡回行列を掛ける
   $1$ の $n$ 乗根 $\zeta$ で振り分ける	頂点の列の Fourier 成分	離散 Fourier 変換
   成分に数を掛けるだけ	$T_k$ は成分 $t\equiv-k$ を消す	巡回行列の固有値
   順番によらない	掛け算は交換できる	巡回行列は互いに可換

言葉の準備：頂角 $\frac{2\pi k}n$ の二等辺三角形を立てる操作

$n\ge3$ とし、$\zeta=\cos\dfrac{2\pi}n+i\sin\dfrac{2\pi}n$（$1$ の原始 $n$ 乗根）とおく。

式の意味を確かめる。$-i(z_{j+1}-z_j)$ は、辺 $z_j\to z_{j+1}$ のベクトルを時計回りに $90^\circ$ 回したもので、辺を進む向きの右側を向き、長さは辺の長さ $L$ に等しい。$w_j$ は辺の中点から右側へ $\dfrac{c_k}2L$ だけ進んだ点である。

• $k<\dfrac n2$ なら $c_k>0$ で、$w_j$ は辺の右側にある。$w_j$ を頂点とし辺を底辺とする二等辺三角形の頂角を $\varphi$ とすると、高さ $\dfrac{c_k}2L$ と底辺の半分 $\dfrac L2$ の比から $\dfrac{1}{\tan(\varphi/2)}=c_k=\dfrac1{\tan(\pi k/n)}$ で、$\varphi=\dfrac{2\pi k}n$ である。
• $k=\dfrac n2$ なら $c_k=0$ で、$w_j$ は辺の中点である（頂角 $\pi$ のつぶれた二等辺三角形）。
• $k>\dfrac n2$ なら $c_k<0$ で、$w_j$ は辺の左側にあり、頂角は $2\pi-\dfrac{2\pi k}n$ である。
  反時計回りに並ぶ凸多角形では右側が外側なので、$T_k$（$k<\frac n2$）は「各辺の外側に頂角 $\frac{2\pi k}n$ の二等辺三角形を立て、その頂点を新しい頂点にする」操作である。$k$ と $n$ の組で、立てる三角形は次のようになる。

  $n$	$k$	$c_k$	$w_j$
  $3$	$1$	$\dfrac1{\sqrt3}$	外側の正三角形の中心（頂角 $120^\circ$）
  $4$	$1$	$1$	外側の正方形の中心（頂角 $90^\circ$）
  $4$	$2$	$0$	辺の中点
  $5$	$1$、$2$	$\cot36^\circ$、$\cot72^\circ$	外側、頂角 $72^\circ$、$144^\circ$
  $5$	$3$	$\cot108^\circ<0$	内側、頂角 $144^\circ$

  $T_k$ は Kiepertの双曲線 の構成で、底角を $\theta=90^\circ-\dfrac{180^\circ k}n$ にしたものと同じである（$\tan\theta=c_k$）。

鍵の補題：操作は Fourier 成分に数を掛ける

$n$ 角形 $z$ の離散 Fourier 変換を
$$ \widehat z(t)=\sum_{j=0}^{n-1}z_j\,\zeta^{-tj}\qquad(t=0,1,\dots,n-1) $$
とする（離散Fourier変換と反転公式 の定義。$\widehat z(t)$ は $t$ を $n$ で割った余りだけで決まる）。$\widehat z(0)=z_0+\cdots+z_{n-1}$ は頂点の和で、$\dfrac{\widehat z(0)}n$ は頂点の重心である。反転公式
$$ z_j=\frac1n\sum_{t=0}^{n-1}\widehat z(t)\,\zeta^{tj} $$
により、$n$ 角形は $n$ 個の成分 $\widehat z(0),\dots,\widehat z(n-1)$ で決まる。

lem-pdn-mult を図式で書くと次のようになる。$\mathcal F$ は離散 Fourier 変換、$M_k$ は第 $t$ 成分に $\mu_k(t)$ を掛ける操作である。
$$ \xymatrix{ z \ar[r]^{T_k} \ar[d]_{\mathcal F} & T_kz \ar[d]^{\mathcal F} \\ \widehat z \ar[r]_{M_k} & M_k\widehat z } $$
図式が可換であるとは、$\mathcal F\circ T_k=M_k\circ\mathcal F$、つまり「$T_k$ で動かしてから変換しても、変換してから成分ごとに $\mu_k(t)$ を掛けても同じ」ということである。$M_k$ どうしは成分ごとの掛け算なので、どの順に行っても結果が同じになる。

主定理：Petr–Douglas–Neumann の定理

成分が第 0 成分と第 1 成分だけの列は、正 $n$ 角形である。

段 3 から、結果が 1 点につぶれるのは $\widehat z(1)=0$ のとき、つまりもとの $n$ 角形の「反時計回りの正 $n$ 角形の成分」が $0$ のときに限る。たとえば時計回りに並ぶ正 $n$ 角形 $z_j=\zeta^{-j}$ から始めると、$\widehat z(1)=\sum_j\zeta^{-2j}=0$（$n\ge3$ なので $\zeta^{-2}\ne1$）で、結果は重心 $0$ の 1 点になる。

$n=3,4,5$ の場合

$n=3$ では操作は $T_1$ の 1 回だけで、$T_1$ は外側の正三角形の中心をとる操作である。thm-pdn-main は Napoleonの定理 そのものになる。Napoleonの定理 の「大学数学で見る」の節では、同じことを 3 頂点の離散 Fourier 変換で示している（そこでの倍率 $1,-1,0$ は、本記事の $\mu_1(0)=1$、$\mu_1(1)=-\zeta^2$、$\mu_1(2)=0$ にあたる。頂点の番号の付け方が違うので、$0$ でない倍率は絶対値が $1$ の数だけずれる）。
$n=4$ では $T_1$（外側の正方形の中心）と $T_2$（中点）の 2 回である。ex-pdn-start と ex-pdn-order は、2 つの順番がともに同じ正方形を与える例だった。順番ごとに、次の形に言いかえられる。

1. は Van Aubelの定理（四角形）、(2) は Thébaultの定理 で扱う形である。ex-pdn-start では $w_2-w_0=-\dfrac12+\dfrac{11}2i$、$w_3-w_1=-\dfrac{11}2-\dfrac12i=i\left(-\dfrac12+\dfrac{11}2i\right)$ である。
   $n=5$ では $T_1$（外側、頂角 $72^\circ$）、$T_2$（外側、頂角 $144^\circ$）、$T_3$（内側、頂角 $144^\circ$）の 3 回で正五角形になる。

五角形（黒）に T1、T2、T3 を順に行うと、1 回目（青）、2 回目（緑）を経て、3 回目（赤）で正五角形になる

例と反例

thm-pdn-main の仮定を外すと何が崩れるかを並べる。

T1 を 2 回行った四角形（赤）は正方形にならない

T1 と T3 を行うと、4 つの頂点が 2 点に重なる（赤の 2 点）

大学数学で見る：巡回行列と正多角形の星形

$T_k$ は、頂点の列 $(z_0,\dots,z_{n-1})$ に $n\times n$ の行列を掛ける 1 次変換である。第 $j$ 行は、第 $j$ 列に $\dfrac{-\zeta^{-k}}{1-\zeta^{-k}}$、第 $j+1$ 列に $\dfrac1{1-\zeta^{-k}}$ を置き、ほかは $0$ である。このように各行が 1 つ上の行を右に 1 つずらしたものになっている行列を 巡回行列 という。離散Fourier変換と反転公式 の命題「巡回行列の固有ベクトル」により、どの巡回行列も同じ固有ベクトル $v_t=(1,\zeta^t,\zeta^{2t},\dots)$ をもつ。lem-pdn-mult の $\mu_k(t)$ は、$T_k$ の行列の固有値である。固有ベクトルが共通なので、巡回行列どうしは掛ける順番を入れかえても同じ行列になり（互いに可換）、thm-pdn-main の結果が順番によらないのはこのためである。巡回群 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ の指標で見ると、$v_t$ は指標 $j\mapsto\zeta^{tj}$ そのものである（巡回群の指標と直交関係）。
同じ証明で、使う $k$ の組を変えたときに何が出るかもわかる。

$m=1$ なら $u_j=g+r\zeta^{-j}$ で、時計回りの正 $n$ 角形になる。$n=5$、$m=3$（$T_1$、$T_2$、$T_4$ を使う）なら $u_j=g+r\zeta^{2j}$ で、頂点が重心のまわりに $144^\circ$ ずつ進み、正五角形の頂点を 1 つおきに結ぶ星形（五芒星）になる。$m$ と $n$ が 1 以外の公約数をもつと、ex-pdn-cx-last のように頂点が重なる。
たとえば ex-pdn-five の 5 点を 1 つおきの順 $0$、$6+3i$、$-1+2i$、$4$、$2+4i$ に結んだ自己交差する五角形（図 6 の黒）に $T_1$、$T_2$、$T_4$ を行うと、ex-pdn-five で得た正五角形の 5 頂点を 1 つおきの順に結んだ五芒星（図 6 の赤）になる。
自己交差する五角形（黒）に T1、T2、T4 を行うと、正五角形の頂点を 1 つおきに結ぶ星形（赤）になる
この定理は Wei26 に、正 $n$ 角形の重心がもとの $n$ 角形の重心と一致することとともに述べられている。

さらに先へ

• Kiepertの双曲線 では、三角形の 3 辺に同じ底角の二等辺三角形を立て、底角を連続に動かした。$T_k$ は底角を $90^\circ-\dfrac{180^\circ k}n$ にとびとびに選んだものである。
• Van Aubelの定理（四角形） と Thébaultの定理 は、cor-pdn-four を初等幾何の言葉で述べ直したものである。
• 頂点の列を成分に分けて、操作が成分ごとの掛け算になることを使う考え方は、1の冪根で数を振り分ける や、巡回的な連立 1 次方程式・差分方程式でも使われる。

関連項目

• 前提: Napoleonの定理, 離散Fourier変換と反転公式, 複素数の掛け算は回転と拡大, 1の冪根で数を振り分ける
• 前に読む: Kiepertの双曲線, Napoleonの定理, 離散Fourier変換と反転公式, 1の冪根で数を振り分ける
• 次に読む: Finsler–Hadwigerの定理
• 関連（高校数学）: Varignonの定理, 複素数平面と図形, 回転・鏡映と行列の群, Van Aubelの定理（四角形）
• 発展: 巡回群の指標と直交関係