分離射

$\mu$ はテンソル積の普遍性により $A$ 双線形写像 $(b,b')\mapsto bb'$ から誘導される $A$ 加群の準同型で、$\mu((b\otimes b')(c\otimes c'))=bb'cc'=\mu(b\otimes b')\mu(c\otimes c')$ により環準同型である。任意の $b\in B$ は $b=\mu(b\otimes1)$ と書けるので $\mu$ は全射である。$\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ は $\operatorname{Spec}B\times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec}B$ であり、その 2 つの射影は包含 $i_1\colon b\mapsto b\otimes1$、$i_2\colon b'\mapsto1\otimes b'$ に対応する。$\mu\circ i_1=\mu\circ i_2=\mathrm{id}_B$ だから、$\operatorname{Spec}\mu$ と 2 つの射影との合成はどちらも $\mathrm{id}_{\operatorname{Spec}B}$ であり、ファイバー積の普遍性により $\operatorname{Spec}\mu$ は対角射である。全射な環準同型 $R\to R/J$ に対応する射 $\operatorname{Spec}(R/J)\to\operatorname{Spec}R$ は閉埋め込みである（Har77 II 例 3.2.3。像は閉集合 $V(J)$ で、その上への同相写像であり、構造層の射は各主開集合で $R_g\to(R/J)_g$ という全射になる）から、$\operatorname{Spec}\mu$ は閉埋め込みである。$\square$

射 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ は環準同型 $A\to B$ に対応し、そのファイバー積 $\operatorname{Spec}B\times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec}B$ は $\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ である（Har77 II.3.3 の証明の第 1 段、EGA1 §3.2）。lem-separated-morphism-affine-diagonal により対角射は閉埋め込みなので、この射は分離的である。$A=\mathbb{Z}$ ととれば、アフィンスキーム $\operatorname{Spec}B$ は分離スキームである。$\square$

$S$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ と、$f^{-1}(V)$ に含まれるアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ の組 $(U,V)$ をすべて考え、$W_{U,V}:=p_1^{-1}(U)\cap p_2^{-1}(U)\cong U\times_VU=\operatorname{Spec}(B\otimes_AB)$ とおき、$W$ をこれらの開集合の和とする。$W$ は $X\times_SX$ の開集合である。
まず $\Delta_{X/S}(X)\subset W$ を示す。$x\in X$ に対し、$s=f(x)$ を含むアフィン開集合 $V$ と、$x$ を含み $f^{-1}(V)$ に含まれるアフィン開集合 $U$ をとれば（アフィン開集合は開集合の基底をなす）、$p_1(\Delta_{X/S}(x))=p_2(\Delta_{X/S}(x))=x\in U$ なので $\Delta_{X/S}(x)\in W_{U,V}$ である。
次に $\Delta_{X/S}^{-1}(W_{U,V})=U$ を確かめる。$\Delta_{X/S}(x)\in W_{U,V}$ ならば $x=p_1(\Delta_{X/S}(x))\in U$ であり、逆に $x\in U$ なら $\Delta_{X/S}(x)\in W_{U,V}$ である。したがって $\Delta_{X/S}$ を $W_{U,V}$ の上に制限した射は $U\to U\times_VU$ であり、これは $U\to V$ の対角射である（$U\times_VU\to X\times_SX$ が開埋め込みで、2 つの射影と両立するから）。lem-separated-morphism-affine-diagonal により、これは閉埋め込みである。
$W_{U,V}$ たちは $W$ の開被覆をなし、閉埋め込みであることは終域の開被覆の上で確かめればよいので、$\Delta_{X/S}$ の終域を $W$ に制限した射 $X\to W$ は閉埋め込みである。$W\to X\times_SX$ は開埋め込みだから、$\Delta_{X/S}$ ははめ込みである。$\Delta_{X/S}(X)$ は開集合 $W$ の閉部分集合なので局所閉集合である。$\square$

$V$、$U$、$U'$ を 2 のようにとる。$X\times_SX$ の開集合 $W:=p_1^{-1}(U)\cap p_2^{-1}(U')$ は $U\times_VU'=\operatorname{Spec}(B\otimes_AB')$ と同型で、$\Delta_{X/S}^{-1}(W)=U\cap U'$ である（$\Delta_{X/S}(x)\in W$ は $x=p_1(\Delta_{X/S}(x))\in U$ かつ $x=p_2(\Delta_{X/S}(x))\in U'$ と同値）。$\Delta_{X/S}$ の制限 $\delta\colon U\cap U'\to U\times_VU'$ は、2 つの射影との合成が包含 $U\cap U'\to U$、$U\cap U'\to U'$ になる射であり、アフィンスキームへの射は大域切断の環への準同型で決まる（Har77 II 演習 2.4、EGA1 §1.7）から、$\delta$ は環準同型 $\varphi\colon B\otimes_AB'\to\mathcal{O}_X(U\cap U')$、$b\otimes b'\mapsto b|_{U\cap U'}\cdot b'|_{U\cap U'}$ に対応する射である。
$1\Rightarrow2$。$\Delta_{X/S}$ が閉埋め込みなら、その開集合 $W$ への制限 $\delta$ も閉埋め込みである。アフィンスキーム $\operatorname{Spec}(B\otimes_AB')$ の閉部分スキームは、あるイデアル $J$ による $\operatorname{Spec}((B\otimes_AB')/J)$ である（Har77 II 演習 3.11 (b)、EGA1 4.2.3）。したがって $U\cap U'\cong\operatorname{Spec}((B\otimes_AB')/J)$ はアフィンで、$\varphi$ は商写像 $B\otimes_AB'\to(B\otimes_AB')/J$ と同一視され全射である。
$2\Rightarrow3$ は明らかである。
$3\Rightarrow1$。開集合 $W_{\alpha ij}:=p_1^{-1}(U_{\alpha i})\cap p_2^{-1}(U_{\alpha j})$ が $X\times_SX$ を覆うことを示す。$z\in X\times_SX$ に対し、$x=p_1(z)$、$x'=p_2(z)$ は $f(x)=f(x')=:s$ をみたす（$f\circ p_1=f\circ p_2$）。$s\in V_\alpha$ なる $\alpha$ をとれば $x,x'\in f^{-1}(V_\alpha)$ なので、$x\in U_{\alpha i}$、$x'\in U_{\alpha j}$ なる $i,j$ があり、$z\in W_{\alpha ij}$ である。各 $W_{\alpha ij}$ の上で $\Delta_{X/S}$ の制限は $\delta\colon U_{\alpha i}\cap U_{\alpha j}\to U_{\alpha i}\times_{V_\alpha}U_{\alpha j}$ であり、仮定 3 により始域はアフィン、対応する環準同型は全射なので、$\delta$ は閉埋め込みである（Har77 II 例 3.2.3）。閉埋め込みであることは終域の開被覆の上で確かめればよいので、$\Delta_{X/S}$ は閉埋め込みである。$\square$

$X$ が分離スキームであるとは $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ が分離的なことであり、$V=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ はアフィンで、任意のアフィン開集合 $U,U'\subset X$ はその逆像 $X$ に含まれる。prop-separated-morphism-affine-criterion の $1\Rightarrow2$ により主張が従う。後半も $V=S$ ととれば同じである。$\square$

5 から示す。$X\times_SX$ の開集合 $(f\circ p_1)^{-1}(V_\alpha)=p_1^{-1}(f^{-1}V_\alpha)\cap p_2^{-1}(f^{-1}V_\alpha)$ は $f^{-1}(V_\alpha)\times_{V_\alpha}f^{-1}(V_\alpha)$ と同型で、これらは $X\times_SX$ を覆い、$\Delta_{X/S}$ による逆像は $f^{-1}(V_\alpha)$、その上への制限は $f^{-1}(V_\alpha)\to V_\alpha$ の対角射である。閉埋め込みであることは終域の開被覆の上で確かめればよいので 5 が従う。
2 を示す。$X'=X\times_SS'$、$f'\colon X'\to S'$ とおく。ファイバー積の結合性から標準同型 $X'\times_{S'}X'\cong(X\times_SX)\times_SS'$ があり、この同型のもとで $\Delta_{X'/S'}$ は $\Delta_{X/S}\times_S\mathrm{id}_{S'}$、すなわち $\Delta_{X/S}$ の射 $(X\times_SX)\times_SS'\to X\times_SX$ による底変換に一致する（$T$ 値点で確かめる。$X'(T)$ は組 $(a,s')$（$a\in X(T)$、$s'\in S'(T)$、$f\circ a$ が $s'$ の $S$ への像に等しい）の集合で、$\Delta_{X'/S'}$ は $(a,s')\mapsto((a,a),s')$ である）。閉埋め込みは底変換で保たれるので $\Delta_{X'/S'}$ は閉埋め込みである。
1 を示す。$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ を分離射とする。対角射 $\Delta_{X/Z}\colon X\to X\times_ZX$ は、$\Delta_{X/Y}\colon X\to X\times_YX$ と、標準射 $j\colon X\times_YX\to X\times_ZX$ の合成である。正方形
$$ \begin{array}{ccc} X\times_YX&\xrightarrow{\ j\ }&X\times_ZX\\ \downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f\times_Zf}\\ Y&\xrightarrow{\ \Delta_{Y/Z}\ }&Y\times_ZY \end{array} $$
はファイバー積の図式である。実際、$(X\times_ZX)\times_{Y\times_ZY}Y$ の $T$ 値点は、組 $(a,b)\in X(T)\times X(T)$ で $g\circ f\circ a=g\circ f\circ b$ をみたすものと $c\in Y(T)$ で $(f\circ a,f\circ b)=(c,c)$ をみたすものの組、すなわち $f\circ a=f\circ b$ をみたす組 $(a,b)$ であり、これは $(X\times_YX)(T)$ である。よって $j$ は閉埋め込み $\Delta_{Y/Z}$ の底変換で、閉埋め込みである。閉埋め込みの合成は閉埋め込みなので、$\Delta_{X/Z}=j\circ\Delta_{X/Y}$ は閉埋め込みである。
4 を示す。$j\colon X\times_YX\to X\times_ZX$ を上と同じ射とすると、正方形
$$ \begin{array}{ccc} X&\xrightarrow{\ \Delta_{X/Y}\ }&X\times_YX\\ \parallel&&\downarrow{\scriptstyle j}\\ X&\xrightarrow{\ \Delta_{X/Z}\ }&X\times_ZX \end{array} $$
はファイバー積の図式である。実際、$X\times_{X\times_ZX}(X\times_YX)$ の $T$ 値点は $a\in X(T)$ と $(b,c)\in(X\times_YX)(T)$ で $(a,a)=(b,c)$ をみたすものの組、すなわち $a=b=c$ をみたすものであり、$X(T)$ と一致する。よって $\Delta_{X/Y}$ は閉埋め込み $\Delta_{X/Z}$ の底変換であり、閉埋め込みである。
3 を示す。$f\times_Sf'$ は、$f\times_S\mathrm{id}_{X'}\colon X\times_SX'\to Y\times_SX'$ と $\mathrm{id}_Y\times_Sf'\colon Y\times_SX'\to Y\times_SY'$ の合成である。前者は $f$ の $Y\times_SX'\to Y$ による底変換、後者は $f'$ の $Y\times_SY'\to Y'$ による底変換なので、2 により分離的であり、1 により合成も分離的である。$\square$

$p_1,p_2\colon U\times_XU\to U$ を射影とすると $j\circ p_1=j\circ p_2$ であるから、$j$ がモノ射なら $p_1=p_2$ である。すると $\Delta_{U/X}\circ p_1=(p_1,p_1)=(p_1,p_2)=\mathrm{id}_{U\times_XU}$ であり、$p_1\circ\Delta_{U/X}=\mathrm{id}_U$ でもあるので、$\Delta_{U/X}$ は $p_1$ を逆射とする同型である。同型は閉埋め込みだから $j$ は分離的である。
開埋め込みがモノ射であることは、$T\to X$ の像が開集合 $U$ に含まれるとき $U$ を経由する射がただ 1 つ存在することからわかる（開埋め込み）。閉埋め込み $Z\to X$ がモノ射であることは、$T\to X$ が $Z$ を経由するなら経由の仕方は一意であること（閉埋め込み、EGA1 §4.2。$T$ と $X$ がアフィンなら、$\mathcal{O}_X(X)\to\mathcal{O}_T(T)$ がイデアル $J$ を零に写すとき $\mathcal{O}_X(X)/J\to\mathcal{O}_T(T)$ は一意に定まる。一般には $X$、$T$ のアフィン開被覆の上で確かめて貼り合わせる）による。モノ射の合成はモノ射なので、はめ込みもモノ射である。最後の主張は prop-separated-morphism-permanence の 1 による。$\square$

$Z\to X$ は閉埋め込み $\Delta_{Y/S}$ の $(f_1,f_2)$ による底変換なので閉埋め込みである。普遍性を示す。$h\colon T\to X$ が $Z$ を経由するとは、ファイバー積の普遍性により、射 $c\colon T\to Y$ で $(f_1,f_2)\circ h=\Delta_{Y/S}\circ c$ をみたすものが存在することである。この等式は $(f_1\circ h,f_2\circ h)=(c,c)$、すなわち $f_1\circ h=c=f_2\circ h$ と同値である。したがって $h$ が $Z$ を経由することと $f_1\circ h=f_2\circ h$ は同値である（$c$ は $f_1\circ h$ として一意に定まる）。
グラフ射について。$\Gamma_f$ は $\Delta_{Y/S}\colon Y\to Y\times_SY$ の、射 $f\times_S\mathrm{id}_Y\colon X\times_SY\to Y\times_SY$ による底変換である。実際、$(X\times_SY)\times_{Y\times_SY}Y$ の $T$ 値点は、$(a,b)\in X(T)\times Y(T)$（$S$ 上で両立するもの）と $c\in Y(T)$ で $(f\circ a,b)=(c,c)$ をみたすものの組、すなわち $b=f\circ a$ をみたす $(a,b)$ であり、これは $a\in X(T)$ と 1 対 1 に対応し、その対応は $\Gamma_f$ で与えられる。よって $\Gamma_f$ は閉埋め込みである。$\square$

prop-separated-morphism-equalizer の閉部分スキーム $Z\subset X$ を考える。包含 $U\to X$ は $f_1|_U=f_2|_U$ により $Z$ を経由するので、$U\subset Z$ であり、$Z$ は閉集合だから $X=\overline{U}\subset Z$、すなわち $Z$ の下部集合は $X$ 全体である。被約スキーム $X$ の閉部分スキームで下部集合が $X$ 全体であるものは $X$ 自身に限る（イデアル層 $\mathcal{J}$ の各アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ 上の切断 $J$ について $V(J)=\operatorname{Spec}A$ だから $J$ は冪零根基に含まれ、$A$ が被約なので $J=0$）。よって $Z=X$ であり、$\mathrm{id}_X$ が $Z$ を経由するから $f_1=f_2$ である。$\square$

$\mathbb{P}^n_A$ は標準的なアフィン開集合 $U_i=D_+(x_i)=\operatorname{Spec}A[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]$（$i=0,\dots,n$）で覆われ、$U_i\cap U_j=D_+(x_ix_j)$ は $U_i$ の主開集合 $D(x_j/x_i)$ であり、
$$ \mathcal{O}(U_i\cap U_j)=A[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i][x_i/x_j] $$
である。これはアフィンである。環準同型 $\mathcal{O}(U_i)\otimes_A\mathcal{O}(U_j)\to\mathcal{O}(U_i\cap U_j)$ の像は $x_k/x_i$（$k=0,\dots,n$）と $x_k/x_j$（$k=0,\dots,n$）で生成される $A$ 部分代数であり、$x_i/x_j$ を含むので $\mathcal{O}(U_i\cap U_j)$ 全体に一致する。すなわち全射である。$S=\operatorname{Spec}A$ の被覆として $S$ 自身、$f^{-1}(S)=\mathbb{P}^n_A$ の被覆として $(U_i)_i$ をとれば prop-separated-morphism-affine-criterion の 3 がみたされるので、$\mathbb{P}^n_A\to\operatorname{Spec}A$ は分離的である。
一般の $S$ については、$\mathbb{P}^n_S\to S$ は $\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の底変換なので prop-separated-morphism-permanence の 2 により分離的である。$S$ 上の射影スキームは $\mathbb{P}^n_S$ の閉部分スキーム、準射影スキームはその開部分スキームであり、prop-separated-morphism-monomorphism により $S$ 上分離的である。$\square$