交代群

各因子 $\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}$ は $i$ と $j$ を入れ替えても変わらないので、$2$ 元部分集合 $\{i,j\}$ の関数 $f_\sigma(\{i,j\})$ とみなせる。$\operatorname{sgn}\sigma=\prod_{\{i,j\}}f_\sigma(\{i,j\})$ で、積は $\{1,\dots,n\}$ の $2$ 元部分集合全体にわたる。

1. $\sigma$ は全単射なので、$\{i,j\}\mapsto\{\sigma(i),\sigma(j)\}$ は $2$ 元部分集合全体の上の全単射である。よって分子の絶対値の積 $\prod|\sigma(j)-\sigma(i)|$ は分母の積 $\prod|j-i|$ の並べ替えであり、両者は等しい。したがって $|\operatorname{sgn}\sigma|=1$ であり、$\operatorname{sgn}\sigma$ は有理数なので $\pm1$ である。
2. $\tau(i)\ne\tau(j)$ なので
   $$ f_{\sigma\tau}(\{i,j\})=\frac{\sigma(\tau(j))-\sigma(\tau(i))}{\tau(j)-\tau(i)}\cdot\frac{\tau(j)-\tau(i)}{j-i}=f_\sigma(\{\tau(i),\tau(j)\})\,f_\tau(\{i,j\}) $$
   である。すべての $\{i,j\}$ について掛けると、右辺の第 1 因子の積は、1 の全単射 $\{i,j\}\mapsto\{\tau(i),\tau(j)\}$ で添字を付け替えて $\prod_{\{k,l\}}f_\sigma(\{k,l\})=\operatorname{sgn}\sigma$ になる。よって $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}\sigma\,\operatorname{sgn}\tau$ である。
3. まず $(1\,2)$ の符号を計算する（$n\ge2$）。$\{1,2\}$ の因子は $\frac{1-2}{2-1}=-1$ である。$j\ge3$ について $\{1,j\}$ と $\{2,j\}$ の因子は $\frac{j-2}{j-1}$ と $\frac{j-1}{j-2}$ で、積は $1$ である。$3\le i< j$ の因子は $1$ である。よって $\operatorname{sgn}(1\,2)=-1$ である。一般の互換 $(a\,b)$ は、$\rho(1)=a$、$\rho(2)=b$ となる置換 $\rho$ をとると $(a\,b)=\rho(1\,2)\rho^{-1}$ と書ける（両辺を $a,b$ と他の文字に施して確かめられる）。2 と $\{\pm1\}$ の可換性から $\operatorname{sgn}(a\,b)=\operatorname{sgn}\rho\,(-1)\,(\operatorname{sgn}\rho)^{-1}=-1$ である。$\sigma=\tau_1\cdots\tau_k$（各 $\tau_i$ は互換）なら 2 により $\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^k$ である。$\sigma$ を $k$ 個と $k'$ 個の互換の積に 2 通りに書けば $(-1)^k=(-1)^{k'}$ なので、$k$ と $k'$ の偶奇は一致する。

$A_4$ に位数 $6$ の部分群 $H$ があるとして矛盾を導く。ex-alternating-group-klein の部分群 $V$（位数 $4$）との共通部分 $H\cap V$ は $H$ と $V$ の両方の部分群なので、Lagrangeの定理によりその位数は $6$ と $4$ の公約数、すなわち $1$ か $2$ である。よって $H$ は、互いに素な $2$ つの互換の積（$V$ の $e$ 以外の元）を高々 $1$ 個しか含まない。ex-alternating-group-small の 3 により $A_4$ の $e$ 以外の元は 3 サイクルか $V$ の元なので、$H$ の $e$ 以外の $5$ 個の元のうち少なくとも $4$ 個は 3 サイクルである。
3 サイクル $\sigma$ は位数 $3$ で、$\langle\sigma\rangle=\{e,\sigma,\sigma^2\}$ に含まれる 3 サイクルは $\sigma$ と $\sigma^2=\sigma^{-1}$ の $2$ 個だけである。したがって $H$ に含まれる $4$ 個以上の 3 サイクルは、少なくとも $2$ つの相異なる位数 $3$ の部分群 $P,Q\subset H$ を生む。$P\cap Q$ は $P$ の部分群で $P$ と異なるので、Lagrange の定理から位数は $1$、すなわち $P\cap Q=\{e\}$ である。
このとき積 $pq$（$p\in P$、$q\in Q$）は $9$ 個すべて相異なる。実際 $pq=p'q'$ なら $p'^{-1}p=q'q^{-1}\in P\cap Q=\{e\}$ なので $p=p'$、$q=q'$ である。これら $9$ 個の元はすべて $H$ に属するので $|H|\ge9$ となり、$|H|=6$ に反する。

3 サイクルは偶置換なので $A_n$ に属し、それらが生成する部分群は $A_n$ に含まれる。逆に $\sigma\in A_n$ とする。$\sigma$ は互換の積に書け（対称群 の記事の定理「互換による生成」）、prop-alternating-group-sign の 3 によりその個数は偶数である。そこで $\sigma=(\tau_1\tau_2)(\tau_3\tau_4)\cdots(\tau_{2m-1}\tau_{2m})$ と隣り合う 2 つずつに組にし、各組 $\tau\tau'$ が 3 サイクルの積であることを示せばよい（$m=0$ なら $\sigma=e$ は空な積）。

1. $\tau=\tau'$ なら $\tau\tau'=e$ である。
2. $\tau$ と $\tau'$ が文字を 1 つだけ共有するとき、共有する文字を $y$ として $\tau=(x\,y)$、$\tau'=(y\,z)$（$x,y,z$ は相異なる）と書ける。$(y\,z)$ を先に施すと $z\mapsto y\mapsto x$、$x\mapsto x\mapsto y$、$y\mapsto z\mapsto z$ なので $(x\,y)(y\,z)=(x\,y\,z)$ である。
3. $\tau=(a\,b)$ と $\tau'=(c\,d)$ が文字を共有しないとき、$(b\,c)(b\,c)=e$ を挟んで
   $$ (a\,b)(c\,d)=(a\,b)(b\,c)\cdot(b\,c)(c\,d)=(a\,b\,c)(b\,c\,d) $$
   である（2 を 2 回使った）。
   いずれの場合も $\tau\tau'$ は 3 サイクルの積なので、$\sigma$ も 3 サイクルの積である。

$H$ を $S_n$ の指数 $2$ の部分群とする。指数 $2$ の部分群は正規部分群である（正規部分群 の記事の命題「指数 2 の部分群の正規性」）ので、剰余群 $S_n/H$ は位数 $2$ の群である。位数 $2$ の群では任意の元の $2$ 乗が単位元である（位数は Lagrangeの定理 により $1$ か $2$）から、任意の $g\in S_n$ について $g^2H=(gH)^2=H$、すなわち $g^2\in H$ である。
$n=2$ なら $A_2=\{e\}$ で、$S_2$ の指数 $2$ の部分群は位数 $1$ なので $\{e\}=A_2$ である。$n\ge3$ とし、$\sigma$ を 3 サイクルとすると $\sigma^3=e$ なので $\sigma=\sigma^4=(\sigma^2)^2\in H$ である。よって $H$ はすべての 3 サイクルを含み、thm-alternating-group-3-cycles により $A_n\subset H$ である。$|H|=n!/2=|A_n|$ なので $H=A_n$ である。
後半について、全射準同型 $\varphi\colon S_n\to\{\pm1\}$ の核は指数 $2$ の部分群なので前半により $\ker\varphi=A_n$ である。すると $\varphi$ は $A_n$ 上で $1$、奇置換（$A_n$ の外）で $-1$ をとるので $\varphi=\operatorname{sgn}$ である。