一様可積分性

同義語：一様可積分uniform integrabilityuniformly integrableequi-integrability

概要

一様可積分性（uniform integrability）とは、σ-有限な測度空間上の可積分関数の族 $F$ について、$L^1$ ノルムが有界で、測度の小さい集合の上の積分と、ある測度有限な集合の外の積分が、$F$ 全体で一様に小さくなるという性質である。測度の小さい集合への質量の集中と無限遠への質量の逃げを封じる条件であり、測度が有限なら $\lim_{t\to\infty}\sup_{f\in F}\int_{\{|f|>t\}}|f|\,d\mu=0$ と同値である。可積分関数で抑えられる族、有限測度上で $L^p$（$p>1$）有界な族、条件付き期待値の族が例である。Vitali の収束定理では $L^1$ 収束の条件として、Dunford–Pettis の定理では $L^1$ の弱コンパクト性の特徴づけとして使われる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 測度, Lebesgue積分, Lp空間, 優収束定理

優収束定理 は、可積分な関数 $g$ で $|f_n|\le g$ と抑えられる列について、極限と積分の交換を保証する。しかし、そのような $g$ が見つからなくても交換が成り立つことは多い。交換を妨げるのは、区間 $(0,1)$ 上の $n1_{(0,1/n)}$ のように測度の小さい集合に質量が集中することと、$\mathbb{R}$ 上の $1_{(n,n+1)}$ のように質量が無限遠へ逃げることである。どちらの列も各点で $0$ に収束するが、積分は $1$ のままである。
一様可積分性（uniform integrability）は、関数の族について、ノルムの有界性に加えてこの 2 つの逃げ方を一様に封じる条件である。Vitaliの収束定理 では、ほとんど至る所の収束を $L^1$ 収束に引き上げる条件として現れ、Dunford–Pettisの定理 では、$L^1$ の部分集合が弱コンパクト集合に含まれるための条件として現れる。測度が有限のときは、de la Vallée-Poussinの判定法 により、超線形に増大する凸関数で測った積分の有界性と言い換えられる。

定義

この記事を通して、$(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ は σ-有限な測度空間とし、測度有限な可測集合の増加列 $\Omega_1\subset\Omega_2\subset\cdots$ で $\bigcup_i\Omega_i=\Omega$ となるものを 1 つ固定する。関数は実数値とし、$L^1:=L^1(\Omega,\mu)$ と書く。

一様可積分性

$F\subset L^1$ が一様可積分（uniformly integrable、equi-integrable）であるとは、次の 3 条件が成り立つことをいう。

  • (a) $\sup_{f\in F}\|f\|_1<\infty$。
  • (b) 任意の $\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ があり、$\mu(E)<\delta$ となるすべての可測集合 $E$ とすべての $f\in F$ について $\int_E|f|\,d\mu<\varepsilon$。
  • (c) 任意の $\varepsilon>0$ に対し $\mu(\omega)<\infty$ となる可測集合 $\omega$ があり、すべての $f\in F$ について $\int_{\Omega\setminus\omega}|f|\,d\mu<\varepsilon$。
    関数の列 $(f_n)$ が一様可積分であるとは、集合 $\{f_n\mid n\ge1\}$ が一様可積分であることをいう。

(b) は「測度の小さい集合に質量が集中しない」こと、(c) は「無限遠へ質量が逃げない」ことを、族全体で一様に述べる。$\mu(\Omega)<\infty$ なら (c) は $\omega=\Omega$ で成り立つ。3 条件は $|f|$ だけで決まるので、$F$ が一様可積分であることと $\{|f|\mid f\in F\}$ が一様可積分であることは同じである。

文献による定義の違い

確率論では、確率空間上の族について、次の thm-ui-tail の条件 (d) を定義とすることが多い。確率空間では (c) が自動的に成り立つので、thm-ui-tail によりこの定義は上の定義と一致する。測度の有限な空間で (b) だけを一様可積分性と呼ぶ流儀もある。Lebesgue 測度では (a) は (b) と (c) から従うので違いは生じないが（prop-ui-nonatomic）、正の測度をもつ 1 点があると違いが生じる（ex-ui-counter の 1）。

裾による言い換え

一様可積分性は、「値の大きい部分」と「$\Omega_i$ の外」の 2 種類の裾の積分で言い換えられる。

裾による言い換え

$F\subset L^1$ について、次は同値である。

  1. $F$ は一様可積分である。
  2. 次の 2 条件が成り立つ。
    • (d) $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\sup_{f\in F}\int_{\{|f|>t\}}|f|\,d\mu=0$。
    • (e) $\displaystyle\lim_{i\to\infty}\sup_{f\in F}\int_{\Omega\setminus\Omega_i}|f|\,d\mu=0$。
  3. (c) と (d) が成り立つ。
    とくに $\mu(\Omega)<\infty$ なら、$F$ が一様可積分であることと (d) は同値である。

2 つの不等式を使う。可測集合 $E$、$t>0$、$f\in L^1$ について、$E$ を $\{|f|\le t\}$ と $\{|f|>t\}$ に分けると
$$ \int_E|f|\,d\mu\le t\,\mu(E)+\int_{\{|f|>t\}}|f|\,d\mu \qquad(1) $$
である。また $t\,1_{\{|f|>t\}}\le|f|$ を積分すると $\mu(\{|f|>t\})\le\|f\|_1/t$（Markov の不等式）である。
1 ⇒ 2。 (d)：$\varepsilon>0$ に対する (b) の $\delta$ をとり、$C:=\sup_{f\in F}\|f\|_1$ とおく。$t>C/\delta$ なら、すべての $f\in F$ について $\mu(\{|f|>t\})\le C/t<\delta$ なので、$\int_{\{|f|>t\}}|f|<\varepsilon$ である。(e)：$\varepsilon>0$ に対する (c) の $\omega$ と (b) の $\delta$ をとる。$\omega\setminus\Omega_i$ は測度有限な集合の減少列で共通部分は空なので、測度の上からの連続性により $\mu(\omega\setminus\Omega_i)\to0$ である。$\mu(\omega\setminus\Omega_{i_0})<\delta$ となる $i_0$ をとると、$i\ge i_0$ とすべての $f\in F$ について
$$ \int_{\Omega\setminus\Omega_i}|f|\,d\mu\le\int_{\Omega\setminus\omega}|f|\,d\mu+\int_{\omega\setminus\Omega_{i_0}}|f|\,d\mu<2\varepsilon $$
である。
2 ⇒ 3。 (e) により、$\varepsilon>0$ に対して $i$ を大きくとれば $\omega:=\Omega_i$ が (c) を満たす。
3 ⇒ 1。 (b)：$\varepsilon>0$ に対し (d) から $\sup_{f\in F}\int_{\{|f|>t\}}|f|<\varepsilon/2$ となる $t>0$ をとり、$\delta:=\varepsilon/(2t)$ とすれば、(1) から (b) が成り立つ。(a)：(c) を $\varepsilon=1$ で使って $\omega$ をとり、(d) から $\sup_{f\in F}\int_{\{|f|>t\}}|f|\le1$ となる $t$ をとる。(1) を $E=\omega$ に使うと、すべての $f\in F$ について
$$ \|f\|_1=\int_{\Omega\setminus\omega}|f|\,d\mu+\int_\omega|f|\,d\mu\le1+t\,\mu(\omega)+1 $$
である。
最後の主張は、$\mu(\Omega)<\infty$ なら (c) が $\omega=\Omega$ で成り立つことと、1 と 3 の同値性からわかる。$\square$

(d) は「大きな値をとる部分の寄与が族全体で一様に小さい」ことを述べ、(1) が示すとおり (d) は (b) を導き、ノルムの有界性 (a) のもとでは (b) と (d) は同値である（測度が無限のときは (d) から (a) は一般には従わない。$\mathbb{R}$ 上の $\{1_{(0,n)}\}$ が例である）。thm-ui-tail の 1 と 2 の同値性は Bre11 Exercise 4.36 の 1（p. 129）に演習として置かれている。

基本性質

一様可積分な族の作り方
  1. 1 つの関数 $f\in L^1$ からなる集合 $\{f\}$ は一様可積分である。
  2. $g\in L^1$ について、$\{f\in L^1\mid|f|\le g\text{ a.e.}\}$ は一様可積分である。
  3. $F,G\subset L^1$ が一様可積分なら、$F\cup G$ と $F+G:=\{f+g\mid f\in F,\ g\in G\}$ は一様可積分である。とくに $L^1$ の有限部分集合は一様可積分である。
  4. $F$ が一様可積分なら、$F$ の凸包と、その $L^1$ での閉包は一様可積分である。
  5. $L^1$ のノルム位相でコンパクトな集合は一様可積分である。

要点：1 は優収束定理で (d)・(e) を確かめる。2〜4 は、(a)〜(c) に現れる積分が $|f|$ の積分なので、三角不等式で上から抑えられることによる。5 は有限個の中心で近似して 3 に帰着する。

詳しい証明を開く

1：$|f|$ はほとんど至る所有限なので、$t\to\infty$ のとき $|f|1_{\{|f|>t\}}\to0$ がほとんど至る所で成り立つ。$|f|$ で抑えられるので 優収束定理 により $\int_{\{|f|>t\}}|f|\to0$ であり、(d) が成り立つ。同様に $|f|1_{\Omega\setminus\Omega_i}\to0$ から (e) が成り立つ。thm-ui-tail により $\{f\}$ は一様可積分である。

2：$|f|\le g$ なら、可測集合 $E$ について $\int_E|f|\le\int_Eg$ である。(a)〜(c) の各量は $\{g\}$ の対応する量で抑えられるので、1 から従う。

3：$F\cup G$ については、(a) は上限の大きい方、(b) は $\delta$ の小さい方、(c) は $\omega$ の和集合をとればよい。$F+G$ については、$\int_E|f+g|\le\int_E|f|+\int_E|g|$ なので、(a) は上限の和、(b) と (c) は $\varepsilon/2$ に対する $\delta$ の小さい方と $\omega$ の和集合をとればよい。有限集合は 1 と和集合から一様可積分である。

4：$h=\sum_{j=1}^m\lambda_jf_j$（$\lambda_j\ge0$、$\sum_j\lambda_j=1$、$f_j\in F$）なら、可測集合 $E$ について $\int_E|h|\le\sum_j\lambda_j\int_E|f_j|\le\sup_{f\in F}\int_E|f|$ である。よって (a)〜(c) は凸包の上でも、$F$ と同じ $\delta$・$\omega$ で成り立つ。$L^1$ で $h_k\to h$ なら $\int_E|h|\le\int_E|h_k|+\|h-h_k\|_1$ なので、$\int_E|h|\le\sup_k\int_E|h_k|$ である。凸包について $\varepsilon/2$ に対する $\delta$・$\omega$ をとれば、閉包の元でも積分は $\varepsilon/2$ 以下、したがって $\varepsilon$ 未満になる。(a) も同様である。

5：$K$ をコンパクト集合とする。$K$ は有界なので (a) が成り立つ。$\varepsilon>0$ に対し、$K$ の有限個の元 $f_1,\dots,f_m$ で、すべての $f\in K$ がある $f_j$ と $\|f-f_j\|_1<\varepsilon/2$ を満たすものがある。3 により $\{f_1,\dots,f_m\}$ について $\varepsilon/2$ に対する $\delta$ と $\omega$ をとると、$\mu(E)<\delta$ なら $\int_E|f|\le\int_E|f_j|+\|f-f_j\|_1<\varepsilon$ であり、(c) も同様である。$\square$

5 の逆は成り立たない。一様可積分でもノルム位相で相対コンパクトとは限らない（ex-ui-rademacher）。一様可積分性が特徴づけるのは、ノルム位相ではなく弱位相でのコンパクト性である（Dunford–Pettisの定理）。

例

Lp で有界な族

$\mu(\Omega)<\infty$、$1< p\le\infty$ とし、$F\subset L^p$ が $\sup_{f\in F}\|f\|_p\le C$ を満たすとする。$\mu(\Omega)<\infty$ なので $L^p\subset L^1$ であり、Hölderの不等式 から、可測集合 $E$ について
$$ \int_E|f|\,d\mu\le\|f\|_p\,\mu(E)^{1-1/p}\le C\mu(E)^{1-1/p} $$
である。よって (b) が成り立ち、$E=\Omega$ として (a) も成り立つ。(c) は $\omega=\Omega$ で成り立つので、$F$ は一様可積分である。$p=1$ では結論は成り立たない（冒頭の $n1_{(0,1/n)}$）。測度が無限のときは $p>1$ でも一般には成り立たない（ex-ui-counter の 3 の列は、すべての $L^p$ で有界である）。

条件付き期待値の族

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ を確率空間、$X$ を可積分な確率変数とする。$\mathcal{F}$ の部分 σ-代数 $\mathcal{G}$ をすべて動かしたときの 条件付き期待値 の族 $\{E[X\mid\mathcal{G}]\}$（各 $\mathcal{G}$ について版を 1 つ選ぶ）は一様可積分である。
確かめる。$Y:=E[X\mid\mathcal{G}]$、$t>0$、$A:=\{|Y|>t\}$ とおくと、$A\in\mathcal{G}$ である。条件付き期待値 の定理「条件付き期待値の基本性質」の 2 により、ほとんど確実に $|Y|\le E[|X|\mid\mathcal{G}]$ であり、$E|Y|\le E|X|$ である。よって、条件付き期待値の定義の条件 2 を $|X|$ と $A\in\mathcal{G}$ に使うと
$$ E[|Y|;A]\le E\bigl[E[|X|\mid\mathcal{G}];A\bigr]=E[|X|;A],\qquad P(A)\le\frac{E|Y|}{t}\le\frac{E|X|}{t} $$
である。$\varepsilon>0$ に対し、prop-ui-basic の 1 により、$P(A)<\delta$ なら $E[|X|;A]<\varepsilon$ となる $\delta>0$ がある。$t>E|X|/\delta$ なら、すべての $\mathcal{G}$ について $E[|Y|;\{|Y|>t\}]<\varepsilon$ となり、(d) が成り立つ。確率空間なので thm-ui-tail から族は一様可積分である。$\delta$ と $t$ が $X$ だけで決まり、$\mathcal{G}$ によらないことが要点である。

Lebesgue測度ではノルムの有界性が従う

Lebesgue 測度のように 1 点が正の測度をもたない測度では、測度有限な集合を測度の小さい有限個の集合に切り分けられる。このため (b) と (c) から (a) が従う。

Lebesgue測度での (a) の自動性

$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を Lebesgue 可測集合とし、$\mu$ を Lebesgue 測度とする。$F\subset L^1(\Omega)$ が (b) と (c) を満たすなら、$F$ は (a) も満たし、一様可積分である。

(c) を $\varepsilon=1$ で使って $\mu(\omega)<\infty$ となる $\omega\subset\Omega$ をとり、(b) を $\varepsilon=1$ で使って $\delta>0$ をとる。$x=(x_1,\dots,x_N)$ と書き、$s\in\mathbb{R}$ について
$$ H(s):=\mu\bigl(\omega\cap\{x_1< s\}\bigr) $$
とおく。$H$ は単調非減少である。$s_k\uparrow s$ なら測度の下からの連続性により $H(s_k)\to H(s)$ である。$s_k\downarrow s$ なら、$\mu(\omega)<\infty$ と上からの連続性により $H(s_k)\to\mu(\omega\cap\{x_1\le s\})$ であり、超平面 $\{x_1=s\}$ の Lebesgue 測度は $0$ なので、これは $H(s)$ に等しい。よって $H$ は連続で、同様に $s\to-\infty$ で $H(s)\to0$、$s\to\infty$ で $H(s)\to\mu(\omega)$ である。
$k\delta/2<\mu(\omega)$ を満たす正の整数 $k$ の個数を $m$ とする。中間値の定理 により、$k=1,\dots,m$ について $H(s_k)=k\delta/2$ となる $s_k$ があり、$s_1<\dots< s_m$ である。$s_0:=-\infty$、$s_{m+1}:=+\infty$ とし、$S_k:=\omega\cap\{s_{k-1}\le x_1< s_k\}$（$k=1,\dots,m+1$）とおく。$S_k$ は互いに交わらず、和集合は $\omega$ であり、$k\le m$ では $\mu(S_k)=\delta/2$、$\mu(S_{m+1})=\mu(\omega)-m\delta/2\le\delta/2$ である（$m=0$ なら $S_1=\omega$）。よってすべての $f\in F$ について
$$ \|f\|_1=\int_{\Omega\setminus\omega}|f|\,d\mu+\sum_{k=1}^{m+1}\int_{S_k}|f|\,d\mu<1+(m+1) $$
であり、(a) が成り立つ。$\square$

一般に、原子をもたない σ-有限な測度（非原子的測度）でも、同じ結論が成り立つ。Bre11 Exercise 4.36 の脚注 6（p. 129）がこの主張を述べており、証明は 非原子的測度 の命題「非原子的測度での一様可積分性」にある。上の証明の座標 $x_1$ による切り分けの代わりに、測度有限な集合を測度の等しい有限個の集合に分けること（同記事の系「等しい測度への分割」。Sierpiński の定理から従う）を使う。1 点が正の測度をもつと結論は成り立たない（ex-ui-counter の 1）。

一様可積分性を使う主な定理

一様可積分性が仮定や結論に現れる代表的な定理を、主張だけ挙げる。証明はそれぞれの記事にある。

  • Vitali の収束定理：$1\le p<\infty$ とし、$f_n\in L^p$ がほとんど至る所 $f$ に収束するとする。$f\in L^p$ かつ $\|f_n-f\|_p\to0$ となるための必要十分条件は、$\{|f_n|^p\}$ が一様可積分であることである（Vitaliの収束定理）。
  • Dunford–Pettis の定理：$F\subset L^1$ が弱位相 $\sigma(L^1,L^\infty)$ でコンパクトな集合に含まれるための必要十分条件は、$F$ が一様可積分であることである（Dunford–Pettisの定理 の定理「Dunford–Pettisの定理」）。
  • de la Vallée-Poussin の判定法：$\mu(\Omega)<\infty$ のとき、$F$ が一様可積分であるための必要十分条件は、$G(t)/t\to\infty$（$t\to\infty$）となる単調非減少な凸関数 $G\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$ で $\sup_{f\in F}\int G(|f|)\,d\mu<\infty$ となるものがあることである（de la Vallée-Poussinの判定法）。

反例

次の表の各行は、(a)・(b)・(c) のうち 1 つだけを満たさない族である。

外す条件反例成り立たなくなること
(a) ノルムの有界性測度 $1$ の 1 点からなる空間上の $f_n=n$一様可積分である（(b)・(c) は成り立つ）
(b) 小さな集合での一様性$(0,1)$ 上の $u_n:=n\,1_{U_n}$、$U_n:=\bigcup_{j=0}^{n-1}\bigl(\tfrac jn,\tfrac jn+\tfrac1{n^2}\bigr)$一様可積分である（(a)・(c) は成り立つ）
(c) 無限遠での一様性$\mathbb{R}$ 上の $f_n=1_{(n,n+1)}$一様可積分である（(a)・(b) は成り立つ）
反例の確認
  1. $\Omega=\{q\}$、$\mu(\{q\})=1$ とする。$\mu(E)<1/2$ となる $E$ は空集合だけなので (b) は $\delta=1/2$ で成り立ち、(c) は $\omega=\Omega$ で成り立つ。$\|f_n\|_1=n$ なので (a) は成り立たない。prop-ui-nonatomic の仮定のうち、1 点の測度が $0$ であることが効いている。
  2. $U_n$ は長さ $1/n^2$ の互いに交わらない $n$ 個の区間の和なので $\mu(U_n)=1/n$、$\|u_n\|_1=1$ であり、(a) が成り立つ。測度は有限なので (c) も成り立つ。$\mu(U_n)\to0$ だが $\int_{U_n}u_n=1$ なので、(b) は $\varepsilon=1/2$ について、どの部分列でも成り立たない。
  3. $\int_E f_n\le\mu(E)$ なので (b) は $\delta=\varepsilon$ で成り立ち、$\|f_n\|_1=1$ である。$\mu(\omega)<\infty$ なら $\sum_n\mu(\omega\cap(n,n+1))\le\mu(\omega)$ から $\mu(\omega\cap(n,n+1))\to0$ なので、$\int_{\mathbb{R}\setminus\omega}f_n\to1$ となり (c) は成り立たない。

2 行目の列は、連続関数で試すと一様可積分な列と見分けがつかない。$\varphi\in C([0,1])$ の連続度を $m_\varphi(r):=\sup\{|\varphi(x)-\varphi(y)|\mid|x-y|\le r\}$ とすると、各区間 $(j/n,j/n+1/n^2)$ の上で $|\varphi-\varphi(j/n)|\le m_\varphi(1/n^2)$ なので
$$ \Bigl|\int_0^1u_n\varphi\,dx-\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}\varphi\Bigl(\frac jn\Bigr)\Bigr|\le m_\varphi(1/n^2) $$
であり、Riemann 和が収束するので $\int_0^1u_n\varphi\,dx\to\int_0^1\varphi\,dx$ である。$u_n$ は連続関数に対しては定数関数 $1$ に近づくが、どの部分列も一様可積分でないので、Dunford–Pettisの定理 の系「弱収束列と弱収束部分列」の 1 により、どの部分列も $L^1$ で弱収束しない。この列は Bre11 Exercise 4.38（p. 130）にある。

一様可積分だがノルム位相で相対コンパクトでない族

$(0,1)$ 上で $r_n(x):=(-1)^{\lfloor2^nx\rfloor}$（$n\ge1$、Rademacher関数）とおく。$|r_n|=1$ なので、prop-ui-basic の 2 により $\{r_n\}$ は一様可積分である。$n< m$ とし、長さ $2^{-n}$ の区間 $J=[k2^{-n},(k+1)2^{-n})$ をとる。$J$ の上で $r_n$ は定数であり、$J$ は長さ $2^{-m}$ の区間 $2^{m-n}$ 個（偶数個）に分かれ、$r_m$ はそこで $1$ と $-1$ を交互にとる。よって $J$ のちょうど半分で $|r_n-r_m|=2$、残りで $0$ であり、$J$ について足し合わせて $\|r_n-r_m\|_1=1$ である。どの部分列も $L^1$ の Cauchy 列でないので、$\{r_n\}$ の閉包はノルム位相でコンパクトでない。prop-ui-basic の 5 の逆は成り立たない。

関連項目

参考文献

[1]
Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011, Exercise 4.36（p. 129、一様可積分性の定義と裾による言い換え、脚注 6）、Exercise 4.38（p. 130、一様可積分な部分列をもたない列）

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