Hahn–Mazurkiewiczの定理

1 ならば 2 は prop-hm-necessity である。2 ならば 1 は節「十分性の証明」の thm-hm-sufficiency である。$\square$

コンパクト性と連結性は、コンパクトで連結な $I$ の連続像であることから従う。
局所連結性。 $F\subset I$ が閉なら $F$ はコンパクトで、$f(F)$ はコンパクトなので Hausdorff 空間 $X$ の閉集合である。よって $f$ は閉写像である。$A\subset X$ について $f^{-1}(A)$ が開なら、$f$ は全射なので $X\setminus A=f(I\setminus f^{-1}(A))$ は閉であり、$A$ は開である。つまり $f$ は商写像であり、局所連結空間 の命題「開部分空間と商空間」の 2 により $X$ は局所連結である。
距離化可能性。 $I$ の部分集合で、端点が有理数の区間（$I$ の相対位相で開なもの）の有限個の和であるものの全体を $\mathcal{B}$ とする。$\mathcal{B}$ は可算である。$B\in\mathcal{B}$ について $W_B:=X\setminus f(I\setminus B)$ とおくと、$f$ は閉写像なので $W_B$ は開である。$\{W_B\}$ が $X$ の開基であることを示す。$x\in U$（$U$ は開集合）とする。$f^{-1}(x)$ は $I$ の閉集合なのでコンパクトで、開集合 $f^{-1}(U)$ に含まれる。$f^{-1}(x)$ の各点に、$f^{-1}(U)$ に含まれる端点が有理数の区間の近傍をとり、有限個で覆うと、$f^{-1}(x)\subset B\subset f^{-1}(U)$ となる $B\in\mathcal{B}$ を得る。このとき $f^{-1}(x)\subset B$ なので $x\notin f(I\setminus B)$、すなわち $x\in W_B$ である。$y\in W_B$ なら $f^{-1}(y)\subset B\subset f^{-1}(U)$ で、$f$ は全射なので $f^{-1}(y)\neq\emptyset$ であり、$y\in U$ である。よって $x\in W_B\subset U$ である。
$X$ はコンパクトな Hausdorff 空間なので $T_1$ で、正則性条件も満たす（点 $x$ と $x$ を含まない閉集合 $F$ について、$F$ はコンパクトなので、$x$ と $F$ の各点を分ける開集合の対を有限個とって合わせればよい）。第 2 可算でもあるので、Urysohnの距離化定理 の定理「Urysohnの距離化定理」により $X$ は距離化可能である。$\square$

そのような列で $x$ から到達できる $C$ の点の全体を $R$ とする。$x\in R$ である（$z_0=z_1=z_2=x$）。$z\in R$ なら、$d(z,w)< \delta$ となる $w\in C$ は列を 1 点のばして到達できるので、$R$ は $C$ の開集合である。$w\in C$ が $R$ の閉包に属せば、$d(z,w)< \delta$ となる $z\in R$ があって $w\in R$ なので、$R$ は $C$ の閉集合である。$C$ は連結なので $R=C$ である。点を繰り返してよいので、$r\ge2$ にできる。$\square$

各 $x\in X$ について、開球 $B(x,\varepsilon/3)$ の連結成分のうち $x$ を含むものを $V_x$ とする。局所連結空間 の定理「開集合の連結成分による特徴づけ」の 3 により $V_x$ は開集合で、直径は $2\varepsilon/3$ 以下である。$\{V_x\}_{x\in X}$ はコンパクトな距離空間 $X$ の開被覆なので、Lebesgue数の補題 により $\delta>0$ があって、直径が $\delta$ 未満の集合はどれかの $V_x$ に含まれる。$d(x,y)< \delta$ なら $\{x,y\}$ はある $V_z$ に含まれる。$\square$

要点：$[0,1]$ の分点を段ごとに増やし、隣り合う分点の像を lem-hm-chain の鎖で細かくつなぎ、lem-hm-ulc の小さい連結集合で包む。段 $j$ の連結集合の直径を $\varepsilon2^{-j}$ 未満にすると、分点の上の写像は一様連続になり、$I$ 全体に延びる。

2：lem-hm-ulc を $\varepsilon:=\eta/4$ に当てて $\delta$ をとる。$d(x,y)< \delta$ なら $x,y$ は直径 $\varepsilon$ 未満の連結集合 $C$ に含まれ、lem-hm-path により像の直径が $3\varepsilon< \eta$ 以下の道がある。1：$\eta=1$ として 2 の $\delta$ をとる。$X$ は連結なので、lem-hm-chain により任意の 2 点は、隣り合う 2 点の距離が $\delta$ 未満の点の列で結べる。隣り合う 2 点を 2 の道で結び、それらを順につなげばよい。$\square$

要点：$X$ を直径の小さい空でない閉集合の $2^m$ 個の和に書くことを繰り返し、$0,1$ の列で閉集合の減少列を選ぶ。列から 1 点への写像は連続な全射で、Cantor集合 の命題「直積空間との同相」で $K$ の上の写像になる。

$X$ に距離 $d$ を 1 つ固定する。lem-hm-cantor により連続な全射 $g\colon K\to X$ がある。$k\ge1$ について、cor-hm-paths の 2 を $\eta=2^{-k}$ に当てた $\delta$ を $\delta_k'$ とし、$\delta_k'$ を小さくとり直して $\delta_1'\ge\delta_2'\ge\cdots$、$\delta_k'\le2^{-k}$ としておく。
道を選ぶ。 除かれた区間 $J=(a,b)$ ごとに $r_J:=d(g(a),g(b))$ とし、$g(a)$ から $g(b)$ への道 $\gamma_J$ を次のように選ぶ。$r_J=0$ なら定値の道とする。$0< r_J< \delta_1'$ なら、$\delta_k'\le2^{-k}\to0$ なので $r_J< \delta_k'$ となる最大の $k$ があり、その $k$ について像の直径が $2^{-k}$ 未満の道をとる。$r_J\ge\delta_1'$ なら、cor-hm-paths の 1 による任意の道をとる。この選び方から、次が成り立つ。
(P) $k\ge1$ について $r_J< \delta_k'$ なら、$\operatorname{diam}\gamma_J(I)< 2^{-k}$ である。
写像を作る。 $F\colon I\to X$ を、$K$ の上では $F:=g$、除かれた区間 $J=(a,b)$ の上では $F(a+s(b-a)):=\gamma_J(s)$（$0< s< 1$）と定める。$\gamma_J(0)=g(a)$、$\gamma_J(1)=g(b)$ なので、$F$ は各閉区間 $[a,b]$ の上で連続である。$F(I)\supset g(K)=X$ なので $F$ は全射である。除かれた区間の点では、$F$ は明らかに連続である。
$K$ の点での連続性。 $t\in K$、$\eta>0$ とし、$2^{-k}< \eta/2$ となる $k$ をとる。$g$ はコンパクト集合 $K$ の上で一様連続なので、$\rho>0$ があって、$s,s'\in K$、$\lvert s-s'\rvert< \rho$ なら $d(g(s),g(s'))< \min\{\delta_k',\eta/2\}$ である。長さが $\rho$ 以上の除かれた区間は有限個である。そのうち $t$ を端点にもつもの（2 個以下）については、道の端での連続性から $\theta_1>0$ があって、その区間の点 $u$ で $\lvert u-t\rvert< \theta_1$ なら $d(F(u),g(t))< \eta$ である。残りの長い区間の閉包は $t$ を含まないので、$t$ との距離の最小値 $\theta_2$ は正である。$\theta:=\min\{\rho,\theta_1,\theta_2\}$ とし、$\lvert u-t\rvert< \theta$ とする。

• $u\in K$ なら $d(F(u),F(t))=d(g(u),g(t))< \eta/2$ である。
• $u$ が長さ $\rho$ 以上の除かれた区間に入るなら、$\theta\le\theta_2$ によりそれは $t$ を端点にもつ区間で、$\theta\le\theta_1$ により $d(F(u),F(t))< \eta$ である。
• $u$ が長さ $\rho$ 未満の除かれた区間 $J=(a,b)$ に入るとする。$u>t$ なら、$t\notin J$ なので $t\le a< u$ であり、$\lvert a-t\rvert< \theta\le\rho$ から $d(g(a),g(t))< \eta/2$ である。$b-a< \rho$ なので $r_J< \delta_k'$ であり、(P) により $d(F(u),g(a))\le\operatorname{diam}\gamma_J(I)< 2^{-k}< \eta/2$ である。よって $d(F(u),F(t))< \eta$ である。$u< t$ のときは $b$ を使って同様である。
  以上より $F$ は $t$ で連続であり、$F$ は $I$ から $X$ への連続な全射である。$\square$