領域不変性

同義語：領域不変性と位相多様体の次元の一意性領域不変性定理領域不変性の定理領域の不変性Brouwerの領域不変性定理位相多様体の次元の一意性Euclid空間の次元不変性次元の位相不変性invariance of domaintopological invariance of dimension

概要

前提知識: Jordan曲線定理, 特異ホモロジー, 位相多様体, 同相写像, 開写像

$\mathbb{R}^n$ の開集合 $U$ から $\mathbb{R}^n$ への連続な単射 $h$ があると、像 $h(U)$ も開集合になる。これが Brouwer の領域不変性（invariance of domain）である。「領域」は開集合の古い呼び名で、「$\mathbb{R}^n$ の部分集合が開集合であるかどうかは、同相で移しても変わらない」という意味である。微分可能な写像なら、導関数が正則な点では逆関数定理から同じことが分かるが、領域不変性は連続性と単射性だけから結論する。
この定理から、位相多様体の次元の一意性が従う。$m\ne n$ なら $\mathbb{R}^m$ の空でない開集合と $\mathbb{R}^n$ の空でない開集合は同相でなく、空でない位相空間が $m$ 次元多様体でも $n$ 次元多様体でもあることはない。Cantor が線分と正方形の点の個数が等しいことを示し（1878 年）、Peano が線分から正方形への連続な全射を作って（1890 年）以来、「次元は位相で決まるか」は大きな問題だった。Brouwer が 1910 年頃にこれを解決した（Eng78 pp. 6–7、Hat02 p. 173）。この記事では、Jordan曲線定理の記事の 2 つの定理（球面から円板や球面の像を除いた空間のホモロジー）を使って領域不変性を証明し、その帰結として次元の一意性と、多様体の間の単射についての結果を導く。

主張

領域不変性

$n\ge0$ とし、$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$h\colon U\to\mathbb{R}^n$ を連続な単射とする。このとき $h(U)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合であり、$h$ は $U$ から $h(U)$ への同相写像である。

次元の一意性

$m>n\ge0$ とする。$\mathbb{R}^m$ の空でない開集合から $\mathbb{R}^n$ への連続な単射は存在しない。とくに、$m\ne n$ なら $\mathbb{R}^m$ の空でない開集合と $\mathbb{R}^n$ の空でない開集合は同相でない。

位相多様体の次元の一意性

空でない位相空間 $M$ が $m$ 次元の位相多様体でも $n$ 次元の位相多様体でもあれば、$m=n$ である。

「$m$ 次元の位相多様体」とは、Hausdorff で第 2 可算で、各点が $\mathbb{R}^m$ の開集合と同相な開近傍をもつ空間である（位相多様体）。系により、空でない位相多様体の次元は位相空間としての構造だけから決まる。位相多様体の記事の定理「次元の不変性」はこの系と同じ主張である。

直感

$n=1$ なら領域不変性は中間値の定理から分かる。開区間の上の連続な単射は狭義単調なので、開区間を開区間に写す。$n\ge2$ では単調性の代わりに「内側と外側」を使う。閉球体 $D$ の境界の球面 $S$ の像 $h(S)$ は、Jordan–Brouwer の分離定理により空間をちょうど 2 つに分ける。一方は $h(D)$ の外側で、もう一方は $h(D)$ の内部 $h(D\setminus S)$ にほかならない。分けられた部分は開集合なので、$h$ は $D$ の内部を開集合に写す。

領域不変性の証明

$n\ge1$ のとき、$S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ の北極 $N$ からの立体射影 $\varphi_N\colon S^n\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^n$ は同相写像で、$S^n\setminus\{N\}$ は $S^n$ の開集合である（Jordan曲線定理の記事の「立体射影と球冠」の節）。その逆写像を $\iota:=\varphi_N^{-1}\colon\mathbb{R}^n\to S^n$ と書く。$\iota$ は $\mathbb{R}^n$ から開集合 $S^n\setminus\{N\}$ への同相写像である。閉球体 $D^n$ と $(n-1)$ 次元球面 $S^{n-1}$ の像のホモロジーについて、次の 2 つを使う。

Jordan曲線定理の記事の定理「円板の補集合」：埋め込み $k\colon D^n\to S^n$ について、$S^n\setminus k(D^n)$ は空でなく弧状連結である（被約ホモロジーがすべて $0$）。
同じ記事の定理「球面の補集合」を、埋め込む球面の次元が $n-1$ の場合に使ったもの：埋め込み $k\colon S^{n-1}\to S^n$ について $\tilde H_0(S^n\setminus k(S^{n-1}))\cong\mathbb{Z}$ であり、同じ記事の補題「被約 0 次ホモロジーと弧状連結成分」により $S^n\setminus k(S^{n-1})$ の弧状連結成分はちょうど 2 つである。
ここで埋め込みは像への同相写像である連続写像のことで、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射は自動的に埋め込みである。

閉球体の内部の像は開集合

$n\ge1$ とし、$D\subset\mathbb{R}^n$ を閉球体 $\{y\mid\| y-a\|\le r\}$（$r>0$）、$S:=\{y\mid\| y-a\|=r\}$ をその境界の球面、$h\colon D\to\mathbb{R}^n$ を連続な単射とする。このとき $h(D\setminus S)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。

$k:=\iota\circ h\colon D\to S^n$ とおく。$k$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射なので埋め込みであり、$D$ は平行移動と拡大で $D^n$ と同相、$S$ は $S^{n-1}$ と同相である。
段 1（2 つの部分に分かれる）． $W:=S^n\setminus k(S)$ とおく。$k$ は単射なので
$$ W=k(D\setminus S)\ \sqcup\ \bigl(S^n\setminus k(D)\bigr) $$
と交わらない 2 つの集合の和に分かれる。$k(D\setminus S)$ は開球体 $D\setminus S$ の連続像なので空でなく弧状連結であり、$S^n\setminus k(D)$ は定理「円板の補集合」により空でなく弧状連結である。
段 2（それが成分である）． 定理「球面の補集合」により $W$ の弧状連結成分はちょうど 2 つである。段 1 の 2 つの集合はそれぞれ弧状連結なので 1 つの成分に含まれる。両方が同じ成分に含まれると、もう 1 つの成分が空になって矛盾する。よって $k(D\setminus S)$ と $S^n\setminus k(D)$ が $W$ の 2 つの弧状連結成分である。
段 3（開集合であること）． $k(S)$ はコンパクトなので閉集合で、$W$ は $S^n$ の開集合である。Jordan曲線定理の記事の補題「球面の開集合の成分」により、$W$ の弧状連結成分は $S^n$ の開集合である。よって $k(D\setminus S)$ は $S^n$ の開集合で、$N$ を含まない（$k$ の像は $S^n\setminus\{N\}$ に入る）。$\iota$ は $\mathbb{R}^n$ から $S^n\setminus\{N\}$ への同相写像なので、$h(D\setminus S)=\iota^{-1}\bigl(k(D\setminus S)\bigr)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。$\square$

領域不変性の証明

$n=0$ なら $\mathbb{R}^0$ は 1 点で、開集合 $U$ は空集合か全体なので、$h(U)$ も空集合か全体であり開集合である。$n\ge1$ とする。
$h(U)$ が開集合であること：$y=h(x)\in h(U)$ をとる。$U$ は開集合なので、$x$ を中心とする閉球体 $D\subset U$ がある。$h|_D$ は連続な単射なので、lem-iod-ball により $h(D\setminus S)$ は開集合で、$y$ を含み $h(U)$ に含まれる。よって $h(U)$ は開集合である。
$h$ が同相写像であること：$h$ は $U$ から $h(U)$ への連続な全単射である。$U$ の任意の開集合 $U'$ に前半を $h|_{U'}$ で使うと、$h(U')$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合で、したがって $h(U)$ の開集合である。よって $h$ は開写像であり、逆写像は連続である。$\square$

これは Hat02 Theorem 2B.3（p. 172）の証明である。証明のすべての重みは、Jordan曲線定理の記事が Mayer–Vietoris 完全列と特異鎖の台のコンパクト性から示した 2 つの定理にかかっている。

次元の一意性の証明

$m>n$ とし、$U\subset\mathbb{R}^m$ を空でない開集合、$h\colon U\to\mathbb{R}^n$ を連続な単射とする。$j\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$、$j(y):=(y,0,\dots,0)$ は連続な単射なので、$j\circ h\colon U\to\mathbb{R}^m$ も連続な単射である。thm-iod-main により $j(h(U))$ は $\mathbb{R}^m$ の空でない開集合で、ある開球を含む。ところが $j(h(U))$ は最後の座標が $0$ の点の集合 $\mathbb{R}^n\times\{0\}$ に含まれ、この集合はどの開球も含まない（開球は最後の座標が $0$ でない点を含む）。これは矛盾である。
後半：$m\ne n$ とし、たとえば $m>n$ とする。$\mathbb{R}^m$ の空でない開集合 $U$ と $\mathbb{R}^n$ の開集合 $V$ の間に同相写像 $h\colon U\to V$ があれば、$h$ は $U$ から $\mathbb{R}^n$ への連続な単射であり、前半に反する。$\square$

位相多様体の次元の一意性の証明

点 $p\in M$ をとり、$m$ 次元の座標近傍 $\varphi\colon U\to\varphi(U)\subset\mathbb{R}^m$ と $n$ 次元の座標近傍 $\psi\colon V\to\psi(V)\subset\mathbb{R}^n$ で $p\in U\cap V$ となるものをとる。$\varphi(U\cap V)$ は $\mathbb{R}^m$ の空でない開集合、$\psi(U\cap V)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合で、$\psi\circ\varphi^{-1}$ はその間の同相写像である。thm-iod-dimension により $m=n$ である。$\square$

ほかの証明

次元の一意性には、この記事の方法のほかに少なくとも 2 つの証明がある。

局所ホモロジー：$\mathbb{R}^m$ の開集合 $U$ の点 $x$ について、$H_k(U,U\setminus\{x\})$ は $k=m$ のときだけ $\mathbb{Z}$ で、ほかは $0$ である。同相写像はこの群の同型を与えるので $m=n$ が従う。切除定理(特異ホモロジー) の記事の定理「Euclid 空間の局所ホモロジーと次元の不変性」が、切除定理からこの方法で完全に証明している（Hat02 Theorem 2.26、p. 126）。
次元論：空でない $n$ 次元位相多様体の小さな帰納次元・大きな帰納次元・被覆次元はすべて $n$ である（次元論の一致定理の記事の系「位相多様体の次元」）。これらは位相不変量なので $m=n$ が従う。下からの評価は、立方体の被覆次元についての Lebesgue の被覆定理（被覆次元）による。
de Rham コホモロジー：Euclid 空間の開集合は滑らかな多様体なので、de Rham コホモロジーの位相不変性を使って位相多様体の次元の一意性を示す証明もある（Lee13 Theorem 1.2（p. 3）の主張と Theorem 17.26（p. 452）の証明）。
局所ホモロジーの方法は「次元」を直接取り出すのに向き、この記事の方法は「開集合であること」まで分かるのが強みである。境界付き多様体の内部の点と境界の点の区別のように、次元が同じ空間の間の写像を調べるときは、領域不変性がそのまま使える。

帰結

多様体の間の単射

$M,N$ を $n$ 次元の位相多様体、$f\colon M\to N$ を連続な単射とする。$f$ は開写像であり、$M$ から開集合 $f(M)$ への同相写像である。

$M$ の開集合 $O$ と点 $p\in O$ をとる。$f(p)$ のまわりの座標近傍 $\psi\colon V\to\psi(V)\subset\mathbb{R}^n$ と、$p$ のまわりの座標近傍 $\varphi\colon U\to\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n$ で $U\subset O\cap f^{-1}(V)$ となるものをとる（座標近傍を開集合に制限しても座標近傍である）。$\psi\circ f\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(U)\to\mathbb{R}^n$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合の上の連続な単射なので、thm-iod-main によりその像 $\psi(f(U))$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。$\psi$ は $V$ から開集合 $\psi(V)$ への同相写像なので、$f(U)$ は $V$ の開集合、したがって $N$ の開集合で、$f(p)\in f(U)\subset f(O)$ である。よって $f(O)$ は開集合で、$f$ は開写像である。連続な単射で開写像なので、$M$ から $f(M)$ への同相写像である。$\square$

コンパクトな多様体の埋め込み

$M$ を空でないコンパクトな $n$ 次元位相多様体、$N$ を連結な $n$ 次元位相多様体とする。連続な単射 $f\colon M\to N$ があれば、$f$ は全射で、$M$ と $N$ は同相である。とくに、$n\ge1$ なら $S^n$ から $\mathbb{R}^n$ への連続な単射は存在しない。

cor-iod-manifold-map により $f(M)$ は $N$ の開集合である。$f(M)$ はコンパクトで $N$ は Hausdorff なので $f(M)$ は閉集合でもある。$M\ne\emptyset$ なので $f(M)$ は空でない開かつ閉な集合で、$N$ は連結なので $f(M)=N$ である。よって $f$ は全単射の開写像で同相写像である。後半：$S^n$ はコンパクトな $n$ 次元多様体、$\mathbb{R}^n$ は連結な $n$ 次元多様体で、$\mathbb{R}^n$ はコンパクトでないので $S^n$ と同相でない。$\square$

Hat02 Corollary 2B.4（p. 172）である。たとえば閉曲面は平面 $\mathbb{R}^2$ の部分空間と同相になりえず、$n$ 次元の閉多様体を埋め込むには $n+1$ 次元以上の空間が要る。

開集合と同相な部分集合

$A\subset\mathbb{R}^n$ が $\mathbb{R}^n$ のある開集合と同相なら、$A$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。

同相写像 $g\colon U\to A$（$U$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合）は $U$ から $\mathbb{R}^n$ への連続な単射なので、thm-iod-main により $A=g(U)$ は開集合である。$\square$

「開集合であること」は $\mathbb{R}^n$ の中での位置の性質であって、一般には位相空間としての性質ではない。たとえば $\mathbb{R}^2$ の中で開区間 $(0,1)\times\{0\}$ は開集合でないが、開集合 $(0,1)\subset\mathbb{R}$ と同相である。この系は、同じ $\mathbb{R}^n$ の中で比べる限り、開集合であることが位相だけで決まることを述べている。
境界付き多様体の点が内部の点と境界の点の両方になりえないこと（境界付き多様体の記事の定理「内部の点と境界の点は交わらない」）の位相的な場合は、thm-iod-main を使って示されている。

例

導関数が消える単射

$h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$h(x)=x^3$ は連続な単射で、$h'(0)=0$ なので原点では逆関数定理が使えない。それでも領域不変性により $h$ は開集合を開集合に写し、逆写像 $y\mapsto y^{1/3}$ は連続である（微分可能ではない）。$\mathbb{R}^n$ でも $h(x_1,\dots,x_n)=(x_1^3,\dots,x_n^3)$ は同じ性質をもつ。領域不変性は、微分できない点や導関数が退化する点でも使える。

空間を埋める曲線と次元

Peano 曲線 $[0,1]\to[0,1]^2$ は連続な全射で、$[0,1]$ から $[0,1]^2$ への全単射もある（Cantor）。どちらも同相写像ではない：Peano 曲線は単射でなく、Cantor の全単射は連続でない（Eng78 p. 6）。thm-iod-dimension は、単射性と連続性を両方課すと次元が下がれないことを述べる。実際、連続な単射 $(0,1)^2\to\mathbb{R}$ は存在しない。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
定義域が開集合	$U=[0,1)\subset\mathbb{R}$、$h=\mathrm{id}$	像が開集合
次元が等しい	$h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$、$h(t)=(t,0)$	像が開集合
単射	$h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$h(x)=x^2$	像が開集合
連続	$h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$x<0$ で $h(x)=x$、$x\ge0$ で $h(x)=x+1$	像が開集合
有限次元	数列空間 $\ell^2$ の右シフト $S(x_1,x_2,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots)$	像が開集合

反例の確かめ

$h([0,1))=[0,1)$ は $0$ のまわりに開区間を含まない。$[0,1)$ は開集合でないので定理の仮定を破る。
$h(\mathbb{R})=\mathbb{R}\times\{0\}$ は $\mathbb{R}^2$ で内点をもたない。一般に $m>n$ のとき、$\mathbb{R}^n$ の空でない開集合 $U$ から $\mathbb{R}^m$ への連続な単射 $h$ の像は開集合にならない。像 $W$ が開なら、$W$ は $\mathbb{R}^m$ の空でない開集合で Baire 空間であり、$U$ を可算個の閉球体 $B_i$ の和に書くと $W=\bigcup_ih(B_i)$ は閉集合の可算和なので、Baire のカテゴリー定理（Baireのカテゴリー定理）によりある $h(B_i)$ が $\mathbb{R}^m$ の空でない開集合 $O$ を含む。$h|_{B_i}$ はコンパクト空間からの連続な単射なので像への同相写像で、その逆写像を $O$ に制限すると $\mathbb{R}^m$ の空でない開集合から $\mathbb{R}^n$ への連続な単射になり、thm-iod-dimension に反する。
$h(\mathbb{R})=[0,\infty)$ は $0$ のまわりに開区間を含まない。$h(-1)=h(1)$ で単射でない。
$h$ は単射だが $0$ で連続でなく、$h(\mathbb{R})=(-\infty,0)\cup[1,\infty)$ は $1$ のまわりに開区間を含まない。
$\ell^2$ は 2 乗和が有限な実数列の Hilbert 空間で、$S$ は $\| Sx\|=\| x\|$ を満たす線型写像なので連続な単射である。像は第 1 成分が $0$ の数列の全体で、どの点 $y$ のまわりの球 $\{\| z-y\|<\varepsilon\}$ にも第 1 成分が $\varepsilon/2$ だけずれた点があるので、像は内点をもたない。領域不変性は無限次元の Hilbert 空間では成り立たない。$\ell^2$ を $\mathbb{R}^n$ に替えると、線型な単射は全単射になり像は全体である。