正則局所環

括弧内の同値から確かめる。$x_1,\dots,x_r$ が正則パラメータ系 $x_1,\dots,x_d$ の一部なら、$x_1,\dots,x_d$ の像は $d$ 次元の $k$ ベクトル空間 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ を張るので基底をなし、とくに $x_1,\dots,x_r$ の像は一次独立である。逆に $x_1,\dots,x_r$ の像が一次独立なら、それを $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の基底 $\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_d$ に延長し、$\bar{x}_{r+1},\dots,\bar{x}_d$ の代表元 $x_{r+1},\dots,x_d\in\mathfrak{m}$ をとると、Nakayama の補題により $x_1,\dots,x_d$ は $\mathfrak{m}$ を生成するので正則パラメータ系である。
主張は $r$ に関する数学的帰納法で示す。$r=0$ のときは示すことがない。$r=1$ の場合を示せば、$A':=A/(x_1)$ は $d-1$ 次元の正則局所環で、$x_2,\dots,x_r$ の像は $\mathfrak{m}'/\mathfrak{m}'^2=\mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2+(x_1))$ において一次独立（$\bar{x}_1$ を含む一次独立系の像だから）なので、帰納法の仮定を $A'$ に適用して $A/(x_1,\dots,x_r)=A'/(x_2,\dots,x_r)$ が $d-r$ 次元の正則局所環であることが従う。
そこで $r=1$、$x:=x_1\notin\mathfrak{m}^2$ とし、$B:=A/(x)$、$\mathfrak{n}:=\mathfrak{m}/(x)$ とおく。$B$ は Noether 局所環で、
$$ \mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2=\mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2+(x)) $$
である。$x\notin\mathfrak{m}^2$ なので $\bar{x}\ne0$ であり、$(\mathfrak{m}^2+(x))/\mathfrak{m}^2=k\bar{x}$ は $1$ 次元だから $\dim_k\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2=d-1$ である。一方、Krullの単項イデアル定理の帰結として、Noether 局所環 $A$ とその極大イデアルの元 $x$ に対し $\dim A/(x)\ge\dim A-1$ が成り立つ（AM69 Chapter 11、Mat89 Theorem 13.6）。よって $\dim B\ge d-1$ である。他方、常に $\dim B\le\dim_k\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2=d-1$ である。したがって $\dim B=d-1=\dim_k\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ であり、$B$ は $d-1$ 次元の正則局所環である。$\square$

$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ の基底 $\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_d$ の代表元 $x_1,\dots,x_d\in\mathfrak{m}$ をとる。$X_i\mapsto\bar{x}_i$ により次数付き $k$ 代数の準同型 $\varphi\colon k[X_1,\dots,X_d]\to\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A$ が定まり、$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A$ が次数 $1$ の部分で生成されることから $\varphi$ は全射である。
同型が存在するとき。$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A\cong k[X_1,\dots,X_d]$ なら、$\dim_k\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ は $n$ 次斉次多項式の空間の次元 $\binom{n+d-1}{d-1}$ に等しく、
$$ \ell_A(A/\mathfrak{m}^{n+1})=\sum_{i=0}^{n}\dim_k\mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}=\binom{n+d}{d} $$
は $n$ の $d$ 次多項式である。次元論の基本定理により $\dim A=d=\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ であり、$A$ は正則局所環である。
$A$ が正則局所環のとき。$d=\dim A$ であり、$\varphi$ が単射であることを示せばよい。$\varphi$ の核 $I$ は斉次イデアルなので、$I\ne0$ なら $0$ でない斉次多項式 $f\in I$ をもつ。$\deg f=s$ とおく。次数 $0$ の部分で $\varphi$ は $k\to k$ の恒等写像なので $s\ge1$ である。$\varphi$ は $k[X_1,\dots,X_d]/(f)\to\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A$ を誘導するので、各 $n\ge s$ について
$$ \dim_k\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}\le\dim_k\bigl(k[X_1,\dots,X_d]/(f)\bigr)_n=\binom{n+d-1}{d-1}-\binom{n-s+d-1}{d-1} $$
である（$f$ 倍写像 $k[X]_{n-s}\to k[X]_n$ は単射なので、右辺の $n$ 次部分の次元は差で与えられる）。右辺は $n$ に関して次数 $d-2$ 以下の多項式である（$d=1$ のときは $n\ge s$ で $0$）。よって $\ell_A(A/\mathfrak{m}^{n+1})=\sum_{i\le n}\dim_k\mathfrak{m}^i/\mathfrak{m}^{i+1}$ は $n$ が大きいとき次数 $d-1$ 以下の多項式で抑えられ、Hilbert–Samuel 多項式の次数は $d-1$ 以下になる。これは次元論の基本定理 $\deg=\dim A=d$ に矛盾する。ゆえに $I=0$ で、$\varphi$ は同型である。$\square$

$(A,\mathfrak{m},k)$ を正則局所環とする。thm-regular-local-ring-graded により $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A$ は体上の多項式環なので整域である。また Krull の交叉定理（Krullの交叉定理。AM69 Chapter 10、Mat89 Theorem 8.10）により、Noether 局所環では $\bigcap_{n\ge0}\mathfrak{m}^n=0$ である。
$a,b\in A$ を $0$ でない元とする。$\bigcap_n\mathfrak{m}^n=0$ なので、$a\in\mathfrak{m}^r\setminus\mathfrak{m}^{r+1}$、$b\in\mathfrak{m}^s\setminus\mathfrak{m}^{s+1}$ となる $r,s\ge0$ が定まる。$a$ の $\mathfrak{m}^r/\mathfrak{m}^{r+1}$ における像 $\bar{a}$ と $b$ の $\mathfrak{m}^s/\mathfrak{m}^{s+1}$ における像 $\bar{b}$ はともに $0$ でなく、$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A$ における積 $\bar{a}\bar{b}$ は $ab$ の $\mathfrak{m}^{r+s}/\mathfrak{m}^{r+s+1}$ における像である。$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A$ が整域なので $\bar{a}\bar{b}\ne0$、すなわち $ab\notin\mathfrak{m}^{r+s+1}$ であり、とくに $ab\ne0$ である。$\square$

$A$ を $1$ 次元の正則局所環とする。$\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=1$ なので $\mathfrak{m}=(t)$ と書け、$t\ne0$ である。prop-regular-local-ring-domain により $A$ は整域である。$0$ でない $a\in A$ をとる。Krull の交叉定理により $\bigcap_n\mathfrak{m}^n=0$ なので、$a\in\mathfrak{m}^n\setminus\mathfrak{m}^{n+1}$ となる $n\ge0$ がただ $1$ つ定まる。$\mathfrak{m}^n=(t^n)$ なので $a=ut^n$ と書け、$u\notin\mathfrak{m}$（さもなければ $a\in\mathfrak{m}^{n+1}$）、すなわち $u$ は $A$ の単元である。この表示の $n$ を $v(a)$ とおく。$A$ が整域で $t\ne0$ なので、$u t^n=u't^{n'}$（$u,u'$ 単元）なら $n=n'$、$u=u'$ であり、表示は一意である。したがって $A$ の $0$ でないイデアル $I$ は、$I$ の元の $v$ の最小値を $n$ とすると $I=(t^n)=\mathfrak{m}^n$ である。ゆえに $A$ は単項イデアル整域で、$0$ でない素イデアルは $\mathfrak{m}$ のみ、$v$ は $A$ の商体 $K$ 上の離散付値 $v(ut^n/u't^{n'})=n-n'$ に延び、$A=\{x\in K\mid v(x)\ge0\}$ となる。すなわち $A$ は離散付値環である。
逆に $A$ を離散付値環とする。$A$ は $\mathfrak{m}=(t)$ を極大イデアルとする Noether 局所整域で、$0$ でない各イデアルが $(t^n)$ の形なので、素イデアルは $0$ と $\mathfrak{m}$ だけであり $\dim A=1$ である。また $t\notin\mathfrak{m}^2=(t^2)$ である（$t=t^2c$ なら整域性から $1=tc$ となり $t$ が単元になって $\mathfrak{m}=A$ に反する）。よって $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $\bar{t}\ne0$ で生成される $1$ 次元の $k$ ベクトル空間であり、$\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=1=\dim A$ で $A$ は正則局所環である。$\square$

各 $i$（$1\le i\le d$）について、lem-regular-local-ring-quotient により $A_{i-1}:=A/(x_1,\dots,x_{i-1})$ は $d-i+1$ 次元の正則局所環であり、prop-regular-local-ring-domain によりそれは整域である。$x_i$ の $A_{i-1}$ における像は $0$ でない（$\dim A_{i-1}=d-i+1\ge1$ なので $A_{i-1}$ は体でなく、$x_i$ の像は $A_{i-1}$ の極大イデアルの最小生成系の一員だから $0$ ではない）。整域の $0$ でない元は零因子でないので、$x_i$ は $A_{i-1}$ の零因子でない。ゆえに $x_1,\dots,x_d$ は $A$ 正則列で、$\operatorname{depth}A\ge d$ である。一般に $\operatorname{depth}A\le\dim A=d$ なので等号が成り立ち、$A$ は Cohen–Macaulay 環である。$\square$

thm-regular-local-ring-ufd により正則局所環 $A$ は一意分解整域なので、一意分解整域が整閉であることを示せばよい。$K$ を $A$ の商体、$\alpha\in K$ を $A$ 上整な元（整元）とする。$\alpha=a/b$（$a,b\in A$、$b\ne0$）と書き、一意分解性を用いて $a$ と $b$ が共通の素元因子をもたないようにとる。整関係
$$ \alpha^n+c_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+c_0=0\qquad(c_i\in A) $$
に $b^n$ を掛けると $a^n=-b\,(c_{n-1}a^{n-1}+c_{n-2}a^{n-2}b+\cdots+c_0b^{n-1})$ となり、$b$ は $a^n$ を割る。$b$ が単元でなければ $b$ を割る素元 $\pi$ があり、$\pi\mid a^n$ から素元の性質により $\pi\mid a$ となって、$a$ と $b$ が共通因子をもたないことに反する。よって $b$ は単元で、$\alpha=ab^{-1}\in A$ である。$\square$