交代形式の標準形

段 1（値のイデアルの極大元）． $\omega=0$ なら $k=0$ で任意の基底をとればよい（$n=0$ もこれに含まれる）。$\omega\ne0$ とし、イデアルの族 $\mathcal{I}:=\{\omega(x,y)R\mid x,y\in L\}$ を考える。$R$ は Noether 環である（単項イデアル整域 の命題「単項イデアル整域はNoether環」）ので、空でないイデアルの族は包含について極大な元をもつ。$\mathcal{I}$ の極大元 $dR$ をとり、$d=\omega(e,f)$ とする。$\omega\ne0$ なので $\mathcal{I}$ は $0$ でないイデアルを含み、$dR$ の極大性から $d\ne0$ である。
段 2（$d$ は $\omega(e,-)$ と $\omega(f,-)$ の値を割る）． $v\in L$ とする。$R$ は単項イデアル整域なので $dR+\omega(e,v)R=gR$ となる $g=\alpha d+\beta\,\omega(e,v)$（$\alpha,\beta\in R$）がある。$g=\omega(e,\alpha f+\beta v)$ なので $gR\in\mathcal{I}$ であり、$gR\supset dR$ と極大性から $gR=dR$、すなわち $d\mid\omega(e,v)$ である。同様に、$d=-\omega(f,e)$ なので $dR+\omega(f,v)R=gR$、$g=\alpha d+\beta\,\omega(f,v)=\omega(f,-\alpha e+\beta v)$ から $d\mid\omega(f,v)$ である。
段 3（分解）． $L':=\{v\in L\mid\omega(e,v)=\omega(f,v)=0\}$ とおく。$v\in L$ について、段 2 により $a_v:=-\omega(f,v)/d$、$b_v:=\omega(e,v)/d$ は $R$ の元であり、
$$ \omega(e,\,v-a_ve-b_vf)=\omega(e,v)-b_vd=0,\qquad\omega(f,\,v-a_ve-b_vf)=\omega(f,v)+a_vd=0 $$
なので $v-a_ve-b_vf\in L'$ である。また $ae+bf\in L'$ なら $\omega(e,ae+bf)=bd=0$、$\omega(f,ae+bf)=-ad=0$ で、$R$ は整域なので $a=b=0$ である。よって $e,f$ は一次独立で、$L=Re\oplus Rf\oplus L'$ である。$L'$ は自由加群の部分加群なので自由であり（自由加群 の定理「任意階数の自由加群の部分加群」）、階数の一意性（同記事の定理「可換環上の階数の一意性」）から階数は $n-2$ である。$\omega(e,L')=\omega(f,L')=0$ であり、歪対称性から $\omega(L',e)=\omega(L',f)=0$ でもある。
段 4（$d$ は $L'$ 上の値を割る）． $u,v\in L'$ とし、$x:=e+u$ とおく。$\omega(x,f)=d+\omega(u,f)=d$、$\omega(x,v)=\omega(e,v)+\omega(u,v)=\omega(u,v)$ である。$dR+\omega(u,v)R=gR$、$g=\alpha d+\beta\,\omega(u,v)=\omega(x,\alpha f+\beta v)$ なので、段 2 と同じ議論により $d\mid\omega(u,v)$ である。
段 5（帰納法）． $n$ についての帰納法により、$(L',\omega|_{L'})$ は求める形の基底 $e_2,f_2,\dots,e_k,f_k,z_1,\dots,z_s$ と $d_2\mid\cdots\mid d_k$ をもつ。$d_2$ は $\omega$ の $L'$ 上の値なので、段 4 により $d_1:=d$ は $d_2$ を割る。$e_1:=e$、$f_1:=f$ を加えたものが $L$ の求める基底である。
段 6（一意性）． 得られた基底での Gram 行列を $B=S^{\top}AS$ とする。ブロック $\begin{pmatrix}0&d_i\\-d_i&0\end{pmatrix}$ は、2 つの列を入れ替えて 2 列目を $-1$ 倍すると $\operatorname{diag}(d_i,d_i)$ になる。列の入れ替えと単元倍は可逆な行列を右から掛けることなので、$A$ は $D:=\operatorname{diag}(d_1,d_1,d_2,d_2,\dots,d_k,d_k,0,\dots,0)$ と同値であり（Smith標準形 の定義「行列の同値」）、$D$ は $d_1\mid d_1\mid d_2\mid d_2\mid\cdots$ をみたす Smith 標準形である。Smith 標準形の一意性（Smith標準形 の定理「Smith標準形の一意性と行列式因子」の 3）により、$D$ の対角成分の列は単元倍を除いて $A$ から決まる。よって $k$ と $d_1,\dots,d_k$ は単元倍を除いて一意であり、$2k$ は $A$ の階数である。$\square$

シンプレクティック基底での Gram 行列は $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ を対角に並べたもので行列式は $1$ なので、$\omega$ は単模である。逆に $\omega$ が単模なら、thm-af-main の基底での Gram 行列 $B=S^{\top}AS$ の行列式 $\det(S)^2\det A$ は単元である。$s\ge1$ なら $\det B=0$ なので $s=0$ であり、$\det B=(d_1\cdots d_k)^2$ が単元なので各 $d_i$ は単元である。$f_i$ を $d_i^{-1}f_i$ に取り替えればシンプレクティック基底を得る。$n=2k$ は偶数である。最後の主張は、$\omega(f_i,f_i)=0$、$\omega(f_i,e_i)=-1$、$\omega(e_i,f_i)=1$、$\omega(e_i,e_i)=0$ を並べたものである。$\square$

$\omega(x,y):=x^{\top}Ay$ は $R^n$ 上の交代形式である。thm-af-main の基底を与える $S\in\mathrm{GL}_n(R)$ について $\det(S^{\top}AS)=\det(S)^2\det A$ であり、左辺は $s\ge1$ なら $0$、$s=0$ なら $(d_1\cdots d_k)^2$ である。よって $\det A=\bigl(\det(S)^{-1}d_1\cdots d_k\bigr)^2$ または $0$ である。$n$ が奇数なら $n=2k+s$ から $s\ge1$ である。$\square$

1：$W^{\perp}:=\{v\in V\mid\text{すべての }w\in W\text{ で }\omega(w,v)=0\}$ とおく。写像 $V\to W^{*}$、$v\mapsto\omega(-,v)|_W$ は、同型 $\omega^{\sharp}\colon V\to V^{*}$（非退化で有限次元なので同型）と制限 $V^{*}\to W^{*}$ の合成である。制限は全射である（$W$ の基底を $V$ の基底に延長し、線形形式を延長した基底の上で $0$ と定めればよい）ので、この写像は全射で、核は $W^{\perp}$ である。よって $\dim W^{\perp}=n-\dim W$ である。$W$ が等方的なら $W\subset W^{\perp}$ なので $\dim W\le n-\dim W$、すなわち $\dim W\le n/2$ である。
2：体は単項イデアル整域で、体の上では非退化と単模は同じなので、cor-af-unimodular により $n=2k$ は偶数で、シンプレクティック基底 $e_1,f_1,\dots,e_k,f_k$ がある。等方的な $W$ を含む等方的部分空間のうち次元が最大のもの $W_0$ をとる。$\dim W_0< k$ と仮定すると、1 の計算から $\dim W_0^{\perp}=n-\dim W_0>\dim W_0$ なので、$v\in W_0^{\perp}\setminus W_0$ がある。$w,w'\in W_0$、$a,a'\in K$ について
$$ \omega(w+av,\ w'+a'v)=\omega(w,w')+a'\omega(w,v)+a\,\omega(v,w')+aa'\omega(v,v)=0 $$
である（$\omega(v,w')=-\omega(w',v)=0$、$\omega(v,v)=0$）。よって $W_0+Kv$ は $W$ を含むより大きな等方的部分空間となり、$W_0$ の選び方に反する。したがって $\dim W_0\ge k$ であり、1 により $\dim W_0=k$ である。最後の主張は、極大な等方的部分空間 $W$ に前半を当てると $W=W_0$ となることから従う。$\square$

$L$ の基底で $L=\mathbb{Z}^{2g}\subset\mathbb{Q}^{2g}$ とみなし、$\omega$ を同じ Gram 行列で $\mathbb{Q}^{2g}$ 上の交代形式 $\omega_{\mathbb{Q}}$ に延長する。Gram 行列の行列式は $\pm1\ne0$ なので $\omega_{\mathbb{Q}}$ は非退化である。$W$ の一次独立な元 $w_1,\dots,w_m$ は $\mathbb{Q}^{2g}$ でも一次独立であり（$\mathbb{Q}$ 係数の一次関係は分母を払うと $\mathbb{Z}$ 係数の一次関係になる）、それらの張る部分空間は双線形性により $\omega_{\mathbb{Q}}$ について等方的である。thm-af-isotropic の 1 により $m\le g$ である。$\square$

$H^1(M_g;\mathbb{Z})$ は捩れをもたない（$H^1\cong\mathbb{Z}^{2g}$）ので、Poincaré双対 の命題「整係数のカップ積の対」を $n=2$、$k=1$ に当てると、$\omega$ は単模である。交代的であることは次のとおり。カップ積 の定理「次数付き可換性」により $\alpha\smile\alpha=(-1)^{1\cdot1}\alpha\smile\alpha$、すなわち $2(\alpha\smile\alpha)=0$ であり、$H^2(M_g;\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H_2(M_g),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_1(M_g),\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ は捩れをもたないので $\alpha\smile\alpha=0$ である。後半は cor-af-unimodular による。$\square$

1：$X$ は連結な有限グラフなので、$H_1(X)=\ker d_1$ は有限生成自由アーベル群の部分群として階数 $m$ の自由アーベル群であり、2 胞体がないので $H_2(X)=0$ である（胞体ホモロジー の系「胞体の個数から従うこと」）。普遍係数定理により $H^1(X;\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H_1(X),\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^m$、$H^2(X;\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}(H_2(X),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_1(X),\mathbb{Z})=0$ である。包含を $i\colon X\to M_g$ とすると $r\circ i=\mathrm{id}_X$ なので $i^{*}\circ r^{*}=\mathrm{id}$ であり、$r^{*}\colon H^1(X;\mathbb{Z})\to H^1(M_g;\mathbb{Z})$ は単射である。$a,b\in H^1(X;\mathbb{Z})$ について、引き戻しは環準同型なので（カップ積 の定理「コホモロジー環」の 3）
$$ r^{*}a\smile r^{*}b=r^{*}(a\smile b)=0\qquad(a\smile b\in H^2(X;\mathbb{Z})=0) $$
である。よって $r^{*}H^1(X;\mathbb{Z})$ は階数 $m$ の等方的な部分群であり、prop-af-surface と cor-af-isotropic-z により $m\le g$ である。
2：$M_g$ を、0 胞体 $x_0$、1 胞体 $a_1,b_1,\dots,a_g,b_g$、語 $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$ に沿って貼った 2 胞体からなる CW 複体とみる（CW複体 の例「トーラスと閉曲面」）。1 次元骨格 $M_g^1$ は $2g$ 個の円周のウェッジ和であり、$A_k:=\{x_0\}\cup a_1\cup\cdots\cup a_k$ は $k$ 個の円周のウェッジ和である。$\rho\colon M_g^1\to A_k$ を、$a_1,\dots,a_k$ の上では恒等写像、ほかの円周を $x_0$ につぶす写像とする。2 胞体の接着写像 $\varphi\colon S^1\to M_g^1$ との合成 $\rho\circ\varphi$ は、$x_0$ を基点とするループとして、$a_1$ を回り、止まり、$a_1$ を逆に回り、止まり、…を $a_k$ まで繰り返したあと止まっているループであり、道のホモトピー類は $a_1a_1^{-1}\cdots a_ka_k^{-1}=1$ である。よって $\rho\circ\varphi$ は基点を止めたまま定値写像にホモトピックで、そのホモトピー $H\colon S^1\times[0,1]\to A_k$（$H_0=\rho\circ\varphi$、$H_1\equiv x_0$）を使って、円板 $D^2$ の点 $(1-t)\theta$ を $H(\theta,t)$ に送る写像は $\rho\circ\varphi$ の $D^2$ への延長になる。$\rho$ とこの延長は接着と両立するので、$M_g=M_g^1\cup_{\varphi}D^2$ から $A_k$ への連続写像を定め、$A_k$ の上では恒等写像である。$\square$