大域切断空間のFréchet位相

要点：生成元どうしは正則な係数の行列で書き直せるので、係数の最大値は行列のノルムの最大値倍しか変わらない。

$\varepsilon>0$ ごとに、$K$ のある近傍の上で $f=\sum_jc^\varepsilon_jf_j$、$\sup_K|c^\varepsilon|< \varepsilon$ となる $c^\varepsilon$ をとる。$z\in\operatorname{int}K$ とし、
$$ R:=\Bigl\{a\in\mathcal{O}_z^q\Bigm|\sum_ja_jf_{j,z}=0\Bigr\} $$
とおく。これは $\mathcal{O}_z^q$ の部分加群で、$c^1$ と $c^\varepsilon$ はどちらも $z$ の近くで $f$ を表すから $c^1_z-c^\varepsilon_z\in R$ である。$z$ のまわりの局所座標で、$z$ を中心とする閉多重円板 $\overline{\Delta(z,r)}$ を $K$ の内部にとる。多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」により、$c^\varepsilon_j$ の $z$ での各 Taylor 係数は絶対値が $\varepsilon\,r^{-|\alpha|}$ 以下なので、$\varepsilon\to0$ で $0$ に収束する。したがって $c^1_z-c^\varepsilon_z$ の各係数は $c^1_z$ の係数に収束し、lem-fts-closed-module により $c^1_z\in R$ である。すなわち $f_z=\sum_jc^1_{j,z}f_{j,z}=0$ である。$\square$

$K'$ の近傍で $\mathcal{F}$ を生成する $f_1,\dots,f_q$ をとり、prop-fts-seminorm の 2 により両方の半ノルムをこれで測ってよい。各 $k$ について、$K'$ のある近傍の上で $g_k=\sum_jc_{kj}f_j$、$\sup_{K'}|c_k|\le\|g_k\|_{K'}+2^{-k}$ となる $c_k$ をとる。級数 $C_j:=\sum_kc_{kj}$ は $K'$ の上で一様に絶対収束するので、$K'$ の内部で正則である（多変数の正則関数 の定理「局所一様極限」）。$g:=\sum_jC_jf_j$ を $K'$ の内部の上の切断とすると、$K'$ の内部で $g-\sum_{k\le\nu}g_k=\sum_j\bigl(\sum_{k>\nu}c_{kj}\bigr)f_j$ であり、
$$ \Bigl\|g-\sum_{k\le\nu}g_k\Bigr\|_K\le\sup_K\Bigl|\sum_{k>\nu}c_k\Bigr|\le\sum_{k>\nu}\bigl(\|g_k\|_{K'}+2^{-k}\bigr)\to0 $$
となる。$\square$

1．半ノルムの列が点を分けること：すべての $m$ で $p_m(f)=0$ なら、lem-fts-zero により $\operatorname{int}K_m$ の各点で $f_z=0$ であり、$\bigcup_m\operatorname{int}K_m=X$ なので $f=0$ である。Fréchet空間 の定理「可算個の半ノルムと距離」により、残りは次を示せばよい：$(g_i)$ が $\Gamma(X,\mathcal{F})$ の列で、すべての $m$ について $p_m(g_i-g_j)\to0$（$i,j\to\infty$）なら、$g\in\Gamma(X,\mathcal{F})$ があってすべての $m$ で $p_m(g-g_i)\to0$ となる。
番号 $N_1< N_2< \cdots$ を、$i,j\ge N_\nu$、$\mu\le\nu$ なら $p_\mu(g_i-g_j)<2^{-\nu}$ となるようにとる。$m$ を固定し、$K=K_m$、$K'=K_{m+1}$ として lem-fts-series を級数
$$ g_{N_{m+1}}+\sum_{\nu\ge m+1}\bigl(g_{N_{\nu+1}}-g_{N_\nu}\bigr) $$
に使う（第 2 項以降の $p_{m+1}$ は $2^{-\nu}$ 未満）。部分和は $g_{N_\nu}$ なので、$\operatorname{int}K_{m+1}$ の上の切断 $h^m$ で $\nu\to\infty$ のとき $\|h^m-g_{N_\nu}\|_{K_m}\to0$ となるものを得る。prop-fts-seminorm の 3 の定数を $C$ として
$$ \|h^m-h^{m+1}\|_{K_m}\le\|h^m-g_{N_\nu}\|_{K_m}+C\|g_{N_\nu}-h^{m+1}\|_{K_{m+1}}\to0 $$
なので、lem-fts-zero により $\operatorname{int}K_m$ の上で $h^m=h^{m+1}$ である。よって $\operatorname{int}K_m$ の上で $g=h^m$ となる $g\in\Gamma(X,\mathcal{F})$ が層の貼り合わせで定まる。$g$ は $K_m$ の近傍 $\operatorname{int}K_{m+1}$ の上で $h^{m+1}$ に等しいので、
$$ p_m(g-g_{N_\nu})=\|h^{m+1}-g_{N_\nu}\|_{K_m}\le C\|h^{m+1}-g_{N_\nu}\|_{K_{m+1}}\to0 $$
である。$(g_i)$ の条件と三角不等式から $p_m(g-g_i)\to0$ となる。
2．生成元を替えても prop-fts-seminorm の 2 により半ノルムは同値である。別の正則凸な取り尽くし $(K'_m)$ をとると、$K'_m$ はある $K_{m'}$ に含まれ、prop-fts-seminorm の 3 により $\|f\|_{K'_m}\le C\|f\|_{K_{m'}}$ である。逆向きも同様なので、2 つの半ノルムの列は同じ位相を定める。
3．2 により生成元を標準基底にとってよく、prop-fts-seminorm の 4 により $p_m(f)=\sup_{K_m}|f|$ である。コンパクト集合はある $K_m$ に含まれるので、これはコンパクト一様収束の位相である。
4．prop-fts-seminorm の 5 により、各 $m$ で $p^{\mathcal{G}}_m(\alpha(f))\le Cp^{\mathcal{F}}_m(f)$ である。$\square$

要点：$K=K_1$ となる正則凸な取り尽くしをとり、各段で生成元の係数を、岡潔（Kiyoshi Oka）と A. Weil による近似定理で大域正則関数に取り替えて、次の $K_{m+1}$ の近傍の上の切断へ延ばしていく。

1．$s_i\in\Gamma(X,\mathcal{G})$ が $s\in\mathcal{O}(X)^p$ にコンパクト一様収束するとする。各点 $z$ のまわりの閉多重円板の上で $s_i-s$ が一様に $0$ に収束するので、Cauchy の評価式（多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」）により $s_{i,z}$ の各 Taylor 係数は $s_z$ の係数に収束する。$\mathcal{G}_z$ は $\mathcal{O}_z^p$ の部分加群なので、lem-fts-closed-module により $s_z\in\mathcal{G}_z$ である。よって $s\in\Gamma(X,\mathcal{G})$ であり、$\Gamma(X,\mathcal{G})$ は閉である。閉部分空間なので相対位相で Fréchet 空間になる。
$f_1,\dots,f_q$ を $\mathcal{G}$ の生成元として thm-fts-main の半ノルムを測る。$K$ の近傍で $s=\sum_jc_jf_j$ なら、Cauchy–Schwarz の不等式により $K$ の上で $|s|\le|c|\bigl(\sum_j|f_j|^2\bigr)^{1/2}$ なので、$\sup_K|s|\le M_K\|s\|_K$（$M_K:=\sup_K(\sum_j|f_j|^2)^{1/2}$）である。よって thm-fts-main の位相から相対位相への恒等写像は連続である。Fréchet 空間の間の連続な線形全単射は開写像定理により同相写像なので（Fréchet空間 の注意「開写像定理と閉グラフ定理」）、2 つの位相は一致する。
2．$s=\Phi(h)$ は $c=h$ という表示をもつので $\|\Phi(h)\|_K\le\sup_K|h|$ であり、$\Phi$ は連続である。全射であることは Cartanの定理A・B の定理「大域係数による一次結合」（Hor90 Theorem 7.2.9、pp. 190–191）による。開写像であることは開写像定理による。$\square$

thm-fts-subsheaf の 2 によりこのイデアルは $\Gamma(X,\mathcal{G})$ に等しく、同 1 により閉である。$\square$

要点：$X$ を $\mathbb{C}^N$ に単射に埋め込む関数 $F_1,\dots,F_N$ をとると、$F_j-F_j(p)$ が $\mathfrak{m}_p$ を生成する。

1．要点：$\mathfrak{m}_p$ の有限生成から、各点での値 $\mathrm{ev}_p(f):=f(p)$ がどの位相でも連続になり、閉グラフ定理で 2 つの位相が比べられる。