de la Vallée-Poussinの判定法

(G') ⇒ (G) は明らかである（単調関数は Borel 可測である）。
(G) ⇒ (d)。 $C:=\sup_{f\in F}\int G(|f|)\,d\mu$ とする。$k>0$ を与えると、超線形性から、$s\ge T$ ならば $G(s)\ge ks$ となる $T>0$ がある。$t\ge T$ と $f\in F$ について、集合 $\{|f|>t\}$ の上では $|f|\le G(|f|)/k$ なので
$$ \int_{\{|f|>t\}}|f|\,d\mu\le\frac1k\int_{\{|f|>t\}}G(|f|)\,d\mu\le\frac Ck $$
である。$k$ は任意なので (d) が成り立つ。
(d) ⇒ (G')。 関数 $t\mapsto\sup_{f\in F}\int_{\{|f|>t\}}|f|$ は $t$ について単調非増加なので、(d) から、狭義増加列 $0< T_1< T_2<\cdots$ で $T_k\ge k$ かつ
$$ \sup_{f\in F}\int_{\{|f|>T_k\}}|f|\,d\mu\le2^{-k}\qquad(k\ge1) $$
となるものがとれる。
$$ G(t):=\sum_{k\ge1}(t-T_k)^+\qquad(t\ge0) $$
とおく。$t$ を固定すると $T_k< t$ となる $k$ は有限個なので、$G(t)$ は有限である。各有界区間 $[0,R]$ の上で $G$ は凸で単調非減少な関数 $(t-T_k)^+$ の有限和なので、$G$ は凸で単調非減少であり、$T_k>0$ から $G(0)=0$ である。
$G(t)/t$ の単調性：$0< s< t$ について $s=\frac st\,t+\bigl(1-\frac st\bigr)\cdot0$ なので、凸性と $G(0)=0$ から $G(s)\le\frac stG(t)$、すなわち $G(s)/s\le G(t)/t$ である。発散：正の整数 $m$ と $t\ge2T_m$ について、$k\le m$ なら $t-T_k\ge t-T_m\ge t/2$ なので $G(t)\ge mt/2$ である。よって $G(t)/t\to\infty$ である。
積分：$T_k\ge0$ なので $(|f|-T_k)^+\le|f|\,1_{\{|f|>T_k\}}$ である。単調収束定理 により項別に積分できて、すべての $f\in F$ について
$$ \int G(|f|)\,d\mu=\sum_{k\ge1}\int(|f|-T_k)^+\,d\mu\le\sum_{k\ge1}\int_{\{|f|>T_k\}}|f|\,d\mu\le\sum_{k\ge1}2^{-k}=1 $$
である。$\square$

lem-dvp-tail により、2 と 3 はどちらも (d) と同値である。そこで、$\mu(\Omega)<\infty$ のもとで 1 と (d) が同値であることを示せばよい。これは 一様可積分性 の定理「裾による言い換え」の最後の主張であり、次のように直接確かめられる。
可測集合 $E$、$t>0$、$f\in L^1$ について、$E$ を $\{|f|\le t\}$ と $\{|f|>t\}$ に分けると
$$ \int_E|f|\,d\mu\le t\,\mu(E)+\int_{\{|f|>t\}}|f|\,d\mu \qquad(1) $$
である。
1 ⇒ (d)：$C:=\sup_{f\in F}\|f\|_1$ とし、$\varepsilon>0$ に対する $\delta$ をとる。$t\,1_{\{|f|>t\}}\le|f|$ を積分すると $\mu(\{|f|>t\})\le C/t$ なので、$t>C/\delta$ ならすべての $f\in F$ について $\int_{\{|f|>t\}}|f|<\varepsilon$ である。
(d) ⇒ 1：$\varepsilon>0$ に対し $\sup_{f\in F}\int_{\{|f|>t\}}|f|<\varepsilon/2$ となる $t>0$ をとり、$\delta:=\varepsilon/(2t)$ とすれば、(1) から $\mu(E)<\delta$ のとき $\int_E|f|<\varepsilon$ である。(1) を $E=\Omega$ に使うと $\|f\|_1\le t\,\mu(\Omega)+\varepsilon/2$ なので、ノルムも一様に有界である。$\square$

一様可積分性 の定理「裾による言い換え」により、$F$ が一様可積分であることは、(c) と lem-dvp-tail の (d) がともに成り立つことと同値である。lem-dvp-tail は任意の測度空間で (d) と (G)、(G') が同値であることを述べている。$\square$

$|f|$ はほとんど至る所有限なので、$t\to\infty$ のとき $|f|1_{\{|f|>t\}}\to0$ がほとんど至る所で成り立つ。$|f|$ で抑えられるので 優収束定理 により $\int_{\{|f|>t\}}|f|\to0$ であり、$\{f\}$ は lem-dvp-tail の (d) を満たす。$\square$

要点：凸性は $G$ の単調性と凸性から、ノルム位相での閉性は Fatou の補題から従う。閉凸集合は弱閉で、$K_G$ は主定理により一様可積分なので、Dunford–Pettis の定理から弱コンパクトになる。