基点付き空間

1：基点付き写像 $*\to X$ は $*$ を $x_0$ に写すものしかない。写像 $X\to*$ は定値写像しかなく、それは連続で基点を保つ。合成 $X\to*\to Y$ はすべての点を $y_0$ に写す。
2：射影 $p\colon X\times Y\to X$、$q\colon X\times Y\to Y$ は基点付き写像である。基点付き写像 $f\colon(Z,z_0)\to(X,x_0)$、$g\colon(Z,z_0)\to(Y,y_0)$ が与えられたとき、$p\circ h=f$、$q\circ h=g$ を満たす写像 $h\colon Z\to X\times Y$ は $h(z)=(f(z),g(z))$ に限り、これは直積位相の性質により連続で、$h(z_0)=(x_0,y_0)$ を満たす。
3：$X$ と $\{+\}$ はどちらも $X_+$ の開かつ閉な部分集合である。写像 $f\colon X_+\to Y$ が基点付き写像なら $f(+)=y_0$ と決まっているので、$f$ は $f|_X$ で決まり、対応は単射である。逆に連続写像 $g\colon X\to Y$ が与えられたとき、$X$ の上で $g$、$+$ で $y_0$ をとる写像 $\tilde g\colon X_+\to Y$ は、二つの開集合の上で連続なので貼り合わせの補題により連続であり、基点付き写像で $\tilde g|_X=g$ である。よって対応は全単射である。自然性は、基点付き写像 $k\colon Y\to Y'$ と連続写像 $l\colon X'\to X$ について $(k\circ f\circ(l\sqcup\operatorname{id}_{\{+\}}))|_{X'}=k\circ(f|_X)\circ l$ となることによる。
ホモトピー類について：$X_+\times I$ は開かつ閉な二つの部分集合 $X\times I$ と $\{+\}\times I$ の和である。基点付きホモトピー $H\colon X_+\times I\to Y$ は $\{+\}\times I$ の上で $y_0$ をとり、$X\times I$ への制限はフリーホモトピーである。逆に、フリーホモトピー $K\colon X\times I\to Y$ は、$\{+\}\times I$ の上で $y_0$ をとる写像と貼り合わせて（貼り合わせの補題、開被覆の場合）、基点付きホモトピーに延びる。よって $f\simeq f'$（基点付き）と $f|_X\simeq f'|_X$（フリー）は同値であり、$[X_+,Y]_*\to[X,Y]$ は矛盾なく定義された全単射である。$\square$

$\omega\times\operatorname{id}_I\colon I\times I\to S^1\times I$ は連続な全射で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像であり、商写像である。この写像が同一視するのは、各 $t$ について $(0,t)$ と $(1,t)$ の二点だけである。よって連続写像 $K\colon I\times I\to X$ が $G\circ(\omega\times\operatorname{id}_I)$ の形に書けることと $K(0,t)=K(1,t)$（$t\in I$）は同値で、そのとき $G\colon S^1\times I\to X$ はただ一つに決まり、商写像の性質により連続である。これが 2 である。1 は、同じ議論を $0$ と $1$ だけを同一視する商写像 $\omega$ に使えば得られる。$\square$

$u\in I$ について、$C(u)$ から $y$ への道 $D_u(t):=C\bigl(u+(1-u)t\bigr)$ をとり、$K\colon I\times I\to X$ を
$$ K(s,u):=\begin{cases}D_u(4s) & (0\le s\le\tfrac14),\\ \gamma(4s-1) & (\tfrac14\le s\le\tfrac12),\\ D_u(2-2s) & (\tfrac12\le s\le1)\end{cases} $$
で定める。各式は $(s,u)$ について連続であり、$s=\tfrac14$ では $D_u(1)=y=\gamma(0)$、$s=\tfrac12$ では $\gamma(1)=y=D_u(1)$ と値が一致するので、$K$ は三つの閉集合 $[0,\tfrac14]\times I$、$[\tfrac14,\tfrac12]\times I$、$[\tfrac12,1]\times I$ の上の連続写像の貼り合わせとして連続である（貼り合わせの補題）。$K(0,u)=K(1,u)=D_u(0)=C(u)$ なので、lem-ps-loops の 2 により、$K(\cdot,0)$ と $K(\cdot,1)$ はフリーホモトピックである。
$D_0=C$ なので $K(\cdot,0)=(C\cdot\gamma)\cdot\bar C$ である。$D_1$ は $y$ にとどまる定値の道 $c_y$ なので $K(\cdot,1)=(c_y\cdot\gamma)\cdot c_y$ であり、これは $\gamma$ と端点を止めてホモトピックである（基本群の記事の定理「基本亜群の公理と基本群の群構造」）。端点を止めたホモトピーは $K(0,t)=K(1,t)=y$ を満たすので、これもフリーホモトピーを与える。フリーホモトピックは同値関係なので、$(C\cdot\gamma)\cdot\bar C$ と $\gamma$ はフリーホモトピックである。$\square$

1：連続写像 $g\colon S^1\to X$ をとり、$y:=g(s_0)$、$\gamma:=g\circ\omega$（$y$ を基点とするループ）とおく。$X$ は弧状連結なので、$x_0$ から $y$ への道 $C$ がある。lem-ps-conj-free により $x_0$ のループ $(C\cdot\gamma)\cdot\bar C$ は $\gamma$、すなわち $g$ とフリーホモトピックなので、$\Theta[(C\cdot\gamma)\cdot\bar C]$ は $g$ の類である。
2（共役なら同じ類）：$\alpha=[\gamma]$、$\beta=[\delta]^{-1}\alpha[\delta]$（$\delta$ は $x_0$ のループ）とする。$\beta=[(\bar\delta\cdot\gamma)\cdot\delta]$ であり、$\bar\delta$ は $x_0$ から $x_0$ への道で $\bar{\bar\delta}=\delta$ なので、lem-ps-conj-free を $C=\bar\delta$ に使うと $(\bar\delta\cdot\gamma)\cdot\delta$ は $\gamma$ とフリーホモトピックである。よって $\Theta(\beta)=\Theta(\alpha)$ である。
2（同じ類なら共役）：$\alpha=[\gamma]$、$\beta=[\gamma']$ とし、$\gamma,\gamma'$ に対応する基点付き写像を $f,f'\colon(S^1,s_0)\to(X,x_0)$ とする。$\Theta(\alpha)=\Theta(\beta)$ なので、フリーホモトピー $F\colon S^1\times I\to X$ で $F(\cdot,0)=f$、$F(\cdot,1)=f'$ となるものがある。基点の軌跡 $C(t):=F(s_0,t)$ は $x_0$ を基点とするループである。基本群の記事の命題「ホモトピー不変性」の 1 を、空間 $S^1$、基点 $s_0$、ホモトピー $F$ に使うと、誘導準同型について
$$ f'_*[\eta]=[\bar C\cdot(f\circ\eta)\cdot C]\qquad([\eta]\in\pi_1(S^1,s_0)) $$
が成り立つ。$\eta=\omega$（$s_0$ を基点として $S^1$ を一周するループ）とすると $f\circ\omega=\gamma$、$f'\circ\omega=\gamma'$ なので、$\beta=[C]^{-1}\alpha[C]$ となり、$\alpha$ と $\beta$ は共役である。
最後の主張：2 により、$\Theta$ の値は共役類だけで決まり、異なる共役類は異なる値をとる。1 と合わせて、共役類の集合から $[S^1,X]$ への全単射が得られる。$\square$

1：可換群では各元の共役類はその元一つだけなので、thm-ps-conjugacy により $\Theta$ は単射であり、全射でもある。
2：$X$ は弧状連結なので、単連結であることは $\pi_1(X,x_0)$ が自明であることと同値である。thm-ps-conjugacy により $[S^1,X]$ は共役類の集合と一対一に対応するので、$\pi_1(X,x_0)$ が自明であることと $[S^1,X]$ が一点（定値写像の類）であることは同値である。$\square$