Hardy–Ramanujanの定理(素因数の個数)

段 1（展開）． $n\le x$ なら $n$ の素因数は $x$ 以下なので $\omega(n)-S=\sum_{p\le x}\bigl(\delta_p(n)-\frac1p\bigr)$ である。2 乗を展開して $n$ について和をとると
$$ \sum_{n\le x}(\omega(n)-S)^2=\sum_{p\le x}D_p+\sum_{\substack{p,q\le x\\p\ne q}}E_{p,q},\qquad D_p:=\sum_{n\le x}\Bigl(\delta_p(n)-\frac1p\Bigr)^2,\quad E_{p,q}:=\sum_{n\le x}\Bigl(\delta_p(n)-\frac1p\Bigr)\Bigl(\delta_q(n)-\frac1q\Bigr) $$
である（後の和は順序付きの組にわたる）。以下、正の整数 $d$ について $d\mid n$ となる $n\le x$ が $\lfloor x/d\rfloor$ 個あることと、$x/d-1< \lfloor x/d\rfloor\le x/d$ を使う。
段 2（対角の項）． $\delta_p^2=\delta_p$ なので $(\delta_p-\frac1p)^2=\delta_p(1-\frac2p)+\frac1{p^2}$ である。$1-\frac2p\ge0$ だから
$$ D_p=\Bigl\lfloor\frac xp\Bigr\rfloor\Bigl(1-\frac2p\Bigr)+\frac{\lfloor x\rfloor}{p^2}\le\frac xp\Bigl(1-\frac2p\Bigr)+\frac x{p^2}\le\frac xp $$
であり、$\sum_{p\le x}D_p\le xS$ である。
段 3（異なる素数の組）． $p\ne q$ なら $\delta_p(n)\delta_q(n)=1$ は $pq\mid n$ と同値である。よって
$$ E_{p,q}=\Bigl\lfloor\frac x{pq}\Bigr\rfloor-\frac1q\Bigl\lfloor\frac xp\Bigr\rfloor-\frac1p\Bigl\lfloor\frac xq\Bigr\rfloor+\frac{\lfloor x\rfloor}{pq}\le\frac x{pq}-\frac1q\Bigl(\frac xp-1\Bigr)-\frac1p\Bigl(\frac xq-1\Bigr)+\frac x{pq}=\frac1p+\frac1q $$
である（$pq>x$ のときも $\lfloor x/pq\rfloor=0\le x/pq$ なので同じ評価が成り立つ）。$x$ 以下の素数は $x$ 個未満なので
$$ \sum_{\substack{p,q\le x\\p\ne q}}E_{p,q}\le\sum_{\substack{p,q\le x\\p\ne q}}\Bigl(\frac1p+\frac1q\Bigr)\le2\sum_{q\le x}\sum_{p\le x}\frac1p\le2xS $$
である。段 2 と合わせて 1 つめの不等式を得る。
段 4（$\log\log x$ への取り替え）． $L:=\log\log x$ とおく。$(a+b)^2\le2a^2+2b^2$ により
$$ \sum_{n\le x}(\omega(n)-L)^2\le2\sum_{n\le x}(\omega(n)-S)^2+2\lfloor x\rfloor(S-L)^2\le6xS+2C^2x $$
である（rem-hr-mertens を使った）。同じ評価から $S\le L+C$ なので、右辺は $6xL+(6C+2C^2)x$ 以下である。$x\ge3$ では $L\ge\log\log3>0.09$ なので $(6C+2C^2)x\le\frac{6C+2C^2}{0.09}xL$ であり、$C_1:=6+(6C+2C^2)/0.09$ とおけばよい。$\square$

1． $L=\log\log x$ とし、条件を満たす $n\le x$ の個数を $E$ とする。そのような $n$ はそれぞれ thm-hr-turan の左辺に $\lambda^2L$ より大きい寄与をするので、$E\lambda^2L\le C_1xL$、すなわち $E\le C_1x/\lambda^2$ である（Chebyshevの不等式 と同じ数え方である）。$\lambda=\psi(x)\to\infty$ なら $E=o(x)$ である。
2． $M>0$ を任意にとる。$\psi(n)\to\infty$ なので、$n_0$ があって $n\ge n_0$ なら $\psi(n)\ge M$ である。$x$ を大きくとり、$n\le x$ で $\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert>\psi(n)\sqrt{\log\log n}$ となるものを数える。$n< n_0$ または $n\le\sqrt x$ のものは $n_0+\sqrt x=o(x)$ 個以下である。残りの $n$ では $\psi(n)\ge M$ で、$\sqrt x< n\le x$ から $L-\log2< \log\log n\le L$ である。よって
$$ \lvert\omega(n)-L\rvert\ge\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert-\log2>M\sqrt{L-\log2}-\log2 $$
であり、$x$ が十分大きければ右辺は $\frac M2\sqrt L$ 以上である。1 を $\lambda=M/2$ として使うと、そのような $n$ は $4C_1x/M^2$ 個以下である。したがって
$$ \limsup_{x\to\infty}\frac1x\#\bigl\{n\le x:\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert>\psi(n)\sqrt{\log\log n}\bigr\}\le\frac{4C_1}{M^2} $$
であり、$M$ は任意なので左辺は $0$ である。$\square$

$\Omega(n)-\omega(n)=\sum_p\max\{e_p-1,0\}$（$e_p$ は $n$ の素因数分解での $p$ の指数）は、$p^k\mid n$ となる組 $(p,k)$（$k\ge2$）の個数である。$p^k\mid n$ となる $n\le x$ は $\lfloor x/p^k\rfloor\le x/p^k$ 個なので
$$ \sum_{n\le x}(\Omega(n)-\omega(n))\le x\sum_p\sum_{k\ge2}\frac1{p^k}=x\sum_p\frac1{p(p-1)}\le x\sum_{m\ge2}\frac1{m(m-1)}=x $$
である。$\square$

1． $\psi_1:=\psi/2$ に thm-hr-main の 2 を使うと、ほとんどすべての $n$ で $\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert\le\frac12\psi(n)\sqrt{\log\log n}$ である。残りは、$\Omega(n)-\omega(n)>\frac12\psi(n)\sqrt{\log\log n}$ となる $n$ の集合 $B$ が密度 $0$ であることを示せばよい。$M>0$ を任意にとり、$n\ge n_0$ で $\psi(n)\ge M$ とする。$n_0\le n\le x$、$n>\sqrt x$ の $n\in B$ は $\Omega(n)-\omega(n)>\frac M2\sqrt{\log\log\sqrt x}$ を満たすので、prop-hr-omega-diff によりそのような $n$ は $2x/(M\sqrt{\log\log\sqrt x})$ 個以下である。$n< n_0$ または $n\le\sqrt x$ のものと合わせても $o(x)$ である（$M$ を固定しても $\log\log\sqrt x\to\infty$ なので）。
2． $\varepsilon>0$ とし、$\psi(n):=\varepsilon\sqrt{\log\log n}$（$n\ge3$）とおくと $\psi(n)\to\infty$ で、$\psi(n)\sqrt{\log\log n}=\varepsilon\log\log n$ である。thm-hr-main の 2 とこの系の 1 から、ほとんどすべての $n$ で $\lvert\omega(n)-\log\log n\rvert\le\varepsilon\log\log n$ かつ $\lvert\Omega(n)-\log\log n\rvert\le\varepsilon\log\log n$ である。$\square$