Weylの完全可約性定理

1 次元の空間 $L$ の上の表現 $\rho\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(L)\cong\mathbb{C}$ の値域は可換な Lie 環なので、$\rho([x,y])=[\rho(x),\rho(y)]=0$ である。半単純 Lie 環では $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$ なので（半単純Lie環 の定理「Cartan–Killing の判定法と単純イデアルへの分解」の 2）、$\rho=0$ である。後半は 1 次元の表現 $V/W$ に当てればよい。$\square$

半単純Lie環 の定理「Cartan–Killing の判定法と単純イデアルへの分解」の 2 により、$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\cdots\oplus\mathfrak{g}_r$（単純イデアル、$i\neq j$ で $[\mathfrak{g}_i,\mathfrak{g}_j]=0$）であり、イデアル $\ker\rho$ はこのうちいくつかの和である。残りの $\mathfrak{g}_i$ の和を $\mathfrak{g}'$ とすれば、$\mathfrak{g}=\ker\rho\oplus\mathfrak{g}'$、$[\ker\rho,\mathfrak{g}']=0$ である。$\ker\rho\cap\mathfrak{g}'=0$ なので制限は単射で、$\rho(\mathfrak{g})=\rho(\mathfrak{g}')$ である。$\mathfrak{g}'$ の可解なイデアル $\mathfrak{s}$ は、$[\ker\rho,\mathfrak{s}]=0$ より $\mathfrak{g}$ のイデアルでもあるので $\mathfrak{s}\subset\operatorname{rad}\mathfrak{g}=0$ であり、$\mathfrak{g}'$ は半単純である。$\square$

対称性は $\operatorname{tr}(ab)=\operatorname{tr}(ba)$ による。$a=\rho(x)$ などと書くと $\rho([x,y])=ab-ba$ なので、$\operatorname{tr}((ab-ba)c)=\operatorname{tr}(abc)-\operatorname{tr}(bac)=\operatorname{tr}(abc)-\operatorname{tr}(acb)=\operatorname{tr}(a(bc-cb))$ である。
$\mathfrak{s}:=\{x\in\mathfrak{g}\mid\beta(x,\mathfrak{g})=0\}$ とおく。$x\in\mathfrak{s}$、$y,z\in\mathfrak{g}$ について $\beta([y,x],z)=-\beta(x,[y,z])=0$ なので、$\mathfrak{s}$ はイデアルである。$L:=\rho(\mathfrak{s})\subset\mathfrak{gl}(V)$ は部分 Lie 環で、$a,b\in L$ について $\operatorname{tr}(ab)=0$ だから、半単純Lie環 の補題「Cartan の判定法」により $L$ は可解である。$\rho$ は単射なので $\mathfrak{s}\cong L$ も可解であり、$\mathfrak{s}\subset\operatorname{rad}\mathfrak{g}=0$ である。$\square$

$\beta$ は非退化なので双対基底がある。$z\in\mathfrak{g}$ について $[z,x_i]=\sum_ja_{ij}x_j$、$[z,y_i]=\sum_jb_{ij}y_j$ と書くと、
$$ a_{ij}=\beta([z,x_i],y_j)=-\beta([x_i,z],y_j)=-\beta(x_i,[z,y_j])=-b_{ji} $$
である。$[\rho(z),\rho(x_i)]=\rho([z,x_i])$ などを使うと
$$ [\rho(z),c]=\sum_i\Bigl(\rho([z,x_i])\rho(y_i)+\rho(x_i)\rho([z,y_i])\Bigr)=\sum_{i,j}a_{ij}\rho(x_j)\rho(y_i)+\sum_{i,j}b_{ij}\rho(x_i)\rho(y_j) $$
で、第 2 の和の添字 $i,j$ を入れ替えると $\sum_{i,j}b_{ji}\rho(x_j)\rho(y_i)$ になり、$a_{ij}+b_{ji}=0$ から $[\rho(z),c]=0$ である。跡は $\operatorname{tr}c=\sum_i\beta(x_i,y_i)=n$ である。$c$ は $\rho(x_i)\rho(y_i)$ の和なので、不変部分空間を保つ。$\square$

lem-weyl-faithful により $\mathfrak{g}$ を $\mathfrak{g}'$ に替えて、表現 $\rho$ は単射としてよい。$\mathfrak{g}=0$ なら任意の補空間が不変なので、$\mathfrak{g}\neq0$ とする。$\dim V$ についての帰納法で示す。
段 1（$W$ が既約のとき）：lem-weyl-casimir の $c$ をとる。lem-weyl-one-dim により $\rho(x)V\subset W$ なので、$c$ の像は $W$ に入る。$c$ は $W$ を保ち $\rho(\mathfrak{g})$ と可換なので、$\ker(c|_W)$ は $W$ の不変部分空間であり、$W$ が既約だから $0$ か $W$ である。$\ker(c|_W)=W$ なら $c(V)\subset W$、$c(W)=0$ から $c^2=0$ で $\operatorname{tr}c=0$ となり、$\operatorname{tr}c=\dim\mathfrak{g}\neq0$ に反する。よって $c|_W$ は単射で、$W$ の線形変換として全単射である。したがって $c(V)=W$、$\ker c\cap W=0$、$\dim\ker c=\dim V-\dim W=1$ である。$c$ は $\rho(\mathfrak{g})$ と可換なので $\ker c$ は不変部分空間であり、$L:=\ker c$ が求めるものである。
段 2（$W$ が既約でないとき）：$W=0$ なら $L=V$ でよい。$W\neq0$ が既約でなければ、不変部分空間 $0\neq Z\subsetneq W$ がある。$W/Z$ は $V/Z$ の余次元 $1$ の不変部分空間で $\dim V/Z< \dim V$ なので、帰納法の仮定から $V/Z=W/Z\oplus Y/Z$ となる 1 次元の不変部分空間 $Y/Z$（$Z\subset Y$）がある。$Y$ は不変で、$Z$ は $Y$ の余次元 $1$ の不変部分空間であり、$\dim Y=\dim Z+1\le\dim W< \dim V$ なので、帰納法の仮定から $Y=Z\oplus L$ となる 1 次元の不変部分空間 $L$ がある。$W\cap Y=Z$（$W/Z\cap Y/Z=0$ から）なので $W\cap L\subset Z\cap L=0$ であり、$\dim W+\dim L=\dim V$ から $V=W\oplus L$ である。$\square$

$W\subset V$ を不変部分空間とする。$W=0$ なら $W'=V$ でよいので、$W\neq0$ とする。表現 $\operatorname{Hom}(V,W)$（$=\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}}(V,W)$）の部分空間
$$ \mathcal{V}:=\{f\mid f|_W\text{ はスカラー倍}\},\qquad \mathcal{W}:=\{f\mid f|_W=0\} $$
を考える。$f\in\mathcal{V}$ で $f|_W=\lambda\,\mathrm{id}_W$ なら、$w\in W$ について
$$ (x\cdot f)(w)=x\cdot(\lambda w)-\lambda(x\cdot w)=0 $$
なので $x\cdot\mathcal{V}\subset\mathcal{W}\subset\mathcal{V}$ であり、$\mathcal{V}$ と $\mathcal{W}$ は不変部分空間である。$f\mapsto\lambda$ は $\mathcal{V}$ から $\mathbb{C}$ への全射な線形写像で（$W$ の補空間を 1 つとり、その上で $0$ とする $f$ をとればよい）、核は $\mathcal{W}$ なので、$\mathcal{W}$ は $\mathcal{V}$ の余次元 $1$ の不変部分空間である。
prop-weyl-codim-one により $\mathcal{V}=\mathcal{W}\oplus\mathbb{C}f_0$ となる不変な直線 $\mathbb{C}f_0$ がある。$x\cdot f_0\in\mathbb{C}f_0\cap\mathcal{W}=0$ なので $f_0$ は表現の準同型 $V\to W$ であり、$f_0\notin\mathcal{W}$ だから $f_0|_W=\lambda\,\mathrm{id}_W$（$\lambda\neq0$）で、$\lambda=1$ に取り直せる。$W':=\ker f_0$ は不変部分空間である。$v\in V$ は $v=f_0(v)+(v-f_0(v))$ と分かれ、$f_0(v)\in W$、$f_0(v-f_0(v))=f_0(v)-f_0(v)=0$ である。$W\cap W'=0$ は $f_0|_W=\mathrm{id}_W$ から従う。よって $V=W\oplus W'$ である。$\square$

$\dim V$ についての帰納法で示す。$0$ でない不変部分空間のうち次元が最小のもの $V_1$ は既約である。thm-weyl-main により $V=V_1\oplus V'$ となる不変部分空間 $V'$ があり、$V'=0$ なら終わり、そうでなければ $V'$ は次元の小さい表現なので帰納法の仮定から既約な不変部分空間の直和である。$\square$

$\tilde V:=V\oplus\mathbb{C}$ に $x\cdot(v,t):=(x\cdot v+t\,\delta(x),\,0)$ と定める。$x\cdot(y\cdot(v,t))=(x\cdot(y\cdot v)+t\,x\cdot\delta(y),\,0)$ なので、
$$ x\cdot(y\cdot(v,t))-y\cdot(x\cdot(v,t))=\bigl([x,y]\cdot v+t\,(x\cdot\delta(y)-y\cdot\delta(x)),\,0\bigr)=[x,y]\cdot(v,t) $$
であり、$\tilde V$ は表現である。$V\oplus0$ は余次元 $1$ の不変部分空間なので、prop-weyl-codim-one により不変な直線 $L$ で $\tilde V=(V\oplus0)\oplus L$ となるものがあり、$L$ は $(u,1)$ の形の元で張られる。lem-weyl-one-dim により $\mathfrak{g}$ は 1 次元の表現 $L$ に自明に働くので、$0=x\cdot(u,1)=(x\cdot u+\delta(x),0)$ である。$v_0:=-u$ とおけばよい。$\square$