遺伝的可分空間

1 ⇒ 2：$S=\{p_\xi:\xi<\omega_1\}$ が型 $\omega_1$ で左に分離されているとする（$\xi<\eta$ なら $p_\xi\prec p_\eta$）。$D\subset S$ を可算集合とすると、$\omega_1$ は可算な順序数の可算個の上限で尽くされない（共終数 $\operatorname{cf}(\omega_1)=\omega_1$）ので、ある $\eta<\omega_1$ で $D\subset\{p_\xi:\xi<\eta\}$ となる。右辺は始切片なので $S$ の閉集合であり、$D$ の $S$ での閉包もそこに含まれる。$p_\eta$ はそこに含まれないので、$D$ は $S$ で稠密でない。よって $S$ は可分でなく、$X$ は遺伝的可分でない。
2 ⇒ 1：部分空間 $Y$ が可分でないとする。$\xi<\omega_1$ に関する超限帰納法で点 $p_\xi\in Y$ を選ぶ。$\{p_\eta:\eta<\xi\}$ は可算なので $Y$ で稠密でなく、その $Y$ での閉包の外に点がある。その一つを $p_\xi$ とする（選択公理を使う）。
$$ p_\xi\notin\overline{\{p_\eta:\eta<\xi\}}^{\,Y}\qquad(\xi<\omega_1) $$
であり、とくに $p_\xi$ は互いに異なる。$S=\{p_\xi:\xi<\omega_1\}$ に $p_\xi\prec p_\eta\iff\xi<\eta$ で整列順序を入れる。始切片 $A_\xi=\{p_\eta:\eta<\xi\}$ が $S$ で閉であることを示す。$\zeta\ge\xi$ なら $p_\zeta\notin\overline{A_\zeta}^{\,Y}\supset\overline{A_\xi}^{\,Y}$ なので、$\overline{A_\xi}^{\,Y}\cap S=A_\xi$ である。よって $A_\xi$ は $S$ で閉であり、$S$ は型 $\omega_1$ で左に分離された部分空間である。$\square$

$D\subset X$ が離散部分空間なら、$D$ の各一点集合は $D$ で開なので、$D$ の稠密部分集合は $D$ 自身しかない。よって $|D|\le d(D)\le hd(X)$ であり、上限をとって $s(X)\le hd(X)$ である。
$\mathcal N$ を $X$ のネットワークとし、$Y\subset X$ とする。$\{N\cap Y:N\in\mathcal N\}$ は $Y$ のネットワークである。実際 $y\in V$（$V$ は $Y$ の開集合）なら $V=U\cap Y$ となる $X$ の開集合 $U$ があり、$y\in N\subset U$ となる $N\in\mathcal N$ について $y\in N\cap Y\subset V$ となる。空でない各 $N\cap Y$ から一点を選んだ集合 $E$ は $Y$ で稠密である。$Y$ の空でない開集合 $V$ は点 $y$ を含み、$y\in N\cap Y\subset V$ となる $N$ について、$N\cap Y$ から選んだ点が $V$ に入るからである。よって $d(Y)\le nw(X)$ であり、$hd(X)\le nw(X)$ を得る。$nw(X)\le w(X)$ は 基数関数 の命題「基数関数の基本不等式」にある。$\square$

遺伝的可分なら可分である。逆に $X$ が可分なら、距離空間では可分性と第2可算性が同値である（第2可算公理 の定理「距離空間における同値性」）ので $X$ は第2可算であり、prop-hs-bounds により遺伝的可分である。$\square$

部分空間 $F$ は可分なので、$F$ で稠密な可算集合 $D$ がある。$F$ は閉なので $\overline D\subset F$ であり、$D$ は $F$ で稠密なので $F\subset\overline D$ である。よって $F=\overline D$ である。写像 $D\mapsto\overline D$ は、$X$ の可算部分集合全体（$X$ が 2 点以上なら濃度 $|X|^{\aleph_0}$ 以下）から閉集合全体への全射なので、閉集合の個数、したがって補集合をとって開集合の個数は $|X|^{\aleph_0}$ 以下である。$\square$

$A\subset\mathbb R$ とし、$A$ に $\mathbb R_L$ からの相対位相を入れる。
まず
$$ E=\{a\in A:\ \text{ある } \varepsilon>0 \text{ で } (a,a+\varepsilon)\cap A=\emptyset\} $$
が可算であることを示す。各 $a\in E$ に、$(a,a+\varepsilon_a)\cap A=\emptyset$ となる $\varepsilon_a>0$ を選ぶ。$a,b\in E$、$a< b$ なら $b\in A$ は $(a,a+\varepsilon_a)$ に入らないので $a+\varepsilon_a\le b$ であり、開区間 $(a,a+\varepsilon_a)$ と $(b,b+\varepsilon_b)$ は交わらない。互いに交わらない空でない開区間は、それぞれから有理数を一つ選べば単射が得られるので、高々可算個である。よって $E$ は可算である。
次に、$A$ は通常の位相の相対位相について第2可算なので（$\mathbb R$ が第2可算だから）、prop-hs-bounds により通常の位相で稠密な可算集合 $D\subset A$ がある。$D\cup E$ が $\mathbb R_L$ の相対位相で $A$ に稠密であることを示す。$A$ の空でない相対開集合は、ある $a\in A$ と $\varepsilon>0$ について $[a,a+\varepsilon)\cap A$ を含む。$a\in E$ ならこれは $E$ の点 $a$ を含む。$a\notin E$ なら $(a,a+\varepsilon)\cap A$ は空でなく、通常の位相の相対開集合なので $D$ と交わる。よって $D\cup E$ は可算な稠密集合であり、$A$ は可分である。$\square$

$Y\subset X$ が空でないとし、その最小元を $y_0$ とする。$Y$ の空でない開集合 $\alpha\cap Y$ は点 $y$ を含み、$y_0\le y<\alpha$ なので $y_0$ も含む。よって $\{y_0\}$ は $Y$ で稠密であり、$Y$ は可分である。
開被覆 $\{\alpha:\alpha<\omega_1\}$（各 $\beta$ は $\beta+1$ に属する）の可算部分族 $\{\alpha_n\}$ は、$\gamma=\sup_n\alpha_n<\omega_1$ をとると $\gamma$ を覆わない。よって $X$ は Lindelöf でない。$\square$

終切片の和は最小の始点からの終切片、有限個の共通部分は最大の始点からの終切片なので、これは位相である。$Y\subset X'$ が空でなく、$\mathcal U$ を $Y$ の開被覆とする。$Y$ の最小元 $y_0$ を含む $\mathcal U$ の元は、$\alpha\le y_0$ となる終切片と $Y$ の共通部分で、$Y$ 全体に等しい。よって $Y$ はコンパクトである。可算集合 $D\subset\omega_1$ は上界 $\beta<\omega_1$ をもち、空でない開集合 $\{\gamma:\beta+1\le\gamma\}$ と交わらないので、$X'$ は可分でない。$\square$