Killing形式
概要
Killing形式（Killing form）とは、有限次元 Lie 環 $\mathfrak{g}$ 上の双線形形式 $\kappa(x,y)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y)$ のことである。対称で $\kappa([x,y],z)=\kappa(x,[y,z])$ を満たし、Lie 環の同型で保たれる。複素数体上では、$\mathfrak{g}$ が可解であることは $\kappa(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0$ と、半単純であることは $\kappa$ が非退化であることと同値である（Cartan の判定法）。$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ では $2n\operatorname{tr}(xy)$ である。
Lie 環 $\mathfrak{g}$ の元 $x$ は、括弧積 $y\mapsto[x,y]$ によって $\mathfrak{g}$ 自身の線形変換 $\operatorname{ad}x$ を定める。2 つの元の随伴変換を合成して跡をとった値 $\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y)$ が Killing 形式で、括弧積と両立し、Lie 環の同型で保たれる。複素数体上では、Killing 形式が $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ 上で消えることが可解性を、非退化であることが半単純性を特徴づける（Cartan の判定法）。実数体上では、その符号が $\mathfrak{so}(3)$ と $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ のような Lie 環を見分ける。
定義
この記事の Lie 環は体 $K$ 上の有限次元のものとする。$\mathfrak{g}$ の元 $x$ の随伴変換を $\operatorname{ad}x\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$、$y\mapsto[x,y]$ と定める。Jacobi 恒等式は $\operatorname{ad}[x,y]=\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y-\operatorname{ad}y\circ\operatorname{ad}x$ と同値であり、$\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ は Lie 環の準同型である（随伴表現）。
- Lie 環 $\mathfrak{g}$ の Killing 形式（Killing form）を
$$ \kappa_{\mathfrak{g}}(x,y):=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y)\qquad(x,y\in\mathfrak{g}) $$
で定める。誤解のおそれがなければ $\kappa$ と書く。 - より一般に、有限次元の表現 $\rho\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ について $B_\rho(x,y):=\operatorname{tr}(\rho(x)\rho(y))$ を $\rho$ の跡形式（trace form）という。Killing 形式は随伴表現の跡形式である。
- 部分空間 $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}$ について $\mathfrak{a}^{\perp}:=\{x\in\mathfrak{g}\mid\kappa(x,a)=0\ (a\in\mathfrak{a})\}$ とおく。$\mathfrak{g}^{\perp}$ を $\kappa$ の核（kernel）といい、$\mathfrak{g}^{\perp}=0$ のとき $\kappa$ は非退化であるという。
基底 $x_1,\dots,x_n$ について、行列 $(\kappa(x_i,x_j))_{i,j}$ が正則であることが非退化であることにあたる。
基本的な性質
$x,y,z\in\mathfrak{g}$ とする。
- $\kappa$ は対称な双線形形式である。
- $\kappa([x,y],z)=\kappa(x,[y,z])$ が成り立つ。同じ式は任意の表現の跡形式 $B_\rho$ でも成り立つ。
- $\sigma\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ が Lie 環の同型なら、$\kappa_{\mathfrak{h}}(\sigma x,\sigma y)=\kappa_{\mathfrak{g}}(x,y)$ である。とくに $\kappa$ は $\mathfrak{g}$ の自己同型で保たれる。
- $D$ が $\mathfrak{g}$ の導分なら、$\kappa(Dx,y)+\kappa(x,Dy)=0$ である。
1：双線形性は $\operatorname{ad}$ と跡の線形性から、対称性は $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ から従う。
2：$\rho$ は準同型なので $\rho([x,y])=AB-BA$（$A=\rho(x)$、$B=\rho(y)$、$C=\rho(z)$）であり、
$$
\operatorname{tr}((AB-BA)C)-\operatorname{tr}(A(BC-CB))=\operatorname{tr}(ACB)-\operatorname{tr}(BAC)=0
$$
（最後は跡の巡回性 $\operatorname{tr}(BAC)=\operatorname{tr}(ACB)$）。$\rho=\operatorname{ad}$ とすれば $\kappa$ の式になる。
3：$y\in\mathfrak{g}$ について $\sigma([x,y])=[\sigma x,\sigma y]$ なので、$\operatorname{ad}_{\mathfrak{h}}(\sigma x)=\sigma\circ\operatorname{ad}_{\mathfrak{g}}x\circ\sigma^{-1}$ である。よって
$$
\kappa_{\mathfrak{h}}(\sigma x,\sigma y)=\operatorname{tr}(\sigma\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y\,\sigma^{-1})=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y)=\kappa_{\mathfrak{g}}(x,y).
$$
4：$D[x,y]=[Dx,y]+[x,Dy]$ は $\operatorname{ad}(Dx)=D\circ\operatorname{ad}x-\operatorname{ad}x\circ D$ と書き直せる。$A=\operatorname{ad}x$、$B=\operatorname{ad}y$ とおくと
$$
\kappa(Dx,y)+\kappa(x,Dy)=\operatorname{tr}((DA-AD)B)+\operatorname{tr}(A(DB-BD))=\operatorname{tr}(DAB)-\operatorname{tr}(ABD)=0
$$
である。$\square$
4 で $D=\operatorname{ad}y$ とすると $\kappa([y,x],z)+\kappa(x,[y,z])=0$ となり、2 が得られる。3 から、Killing 形式の符号や階数は Lie 環の同型不変量である（ex-killing-form-real-forms）。
イデアルとの関係
$\mathfrak{g}$ の部分空間 $\mathfrak{a}$ で $[\mathfrak{g},\mathfrak{a}]\subset\mathfrak{a}$ を満たすものをイデアルという。イデアルは括弧積を制限して Lie 環になる。
$\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ を $\mathfrak{g}$ のイデアルとする。
- $\mathfrak{a}^{\perp}$ はイデアルである。とくに核 $\mathfrak{g}^{\perp}$ はイデアルである。
- $\mathfrak{a}$ 自身の Killing 形式 $\kappa_{\mathfrak{a}}$ は、$\kappa_{\mathfrak{g}}$ の $\mathfrak{a}\times\mathfrak{a}$ への制限に等しい。
- $\mathfrak{g}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{b}$（ベクトル空間の直和）なら、$\kappa_{\mathfrak{g}}(a+b,a'+b')=\kappa_{\mathfrak{a}}(a,a')+\kappa_{\mathfrak{b}}(b,b')$ であり、$\mathfrak{a}$ と $\mathfrak{b}$ は $\kappa_{\mathfrak{g}}$ について直交する。
- $\mathfrak{a}$ が可換（$[\mathfrak{a},\mathfrak{a}]=0$）なら、$\mathfrak{a}\subset\mathfrak{g}^{\perp}$ である。
要点：1 は prop-killing-form-invariant の 2 から、2・3 は $\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y$ をイデアルに合わせた区分行列で書くと従う。4 では $T:=\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y$ が $T^2=0$ を満たす。
詳しい証明を開く
1：$x\in\mathfrak{a}^{\perp}$、$y\in\mathfrak{g}$、$a\in\mathfrak{a}$ について $\kappa([y,x],a)=-\kappa([x,y],a)=-\kappa(x,[y,a])=0$ である（$[y,a]\in\mathfrak{a}$）。
2：$x,y\in\mathfrak{a}$ なら $\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y$ の像は $\mathfrak{a}$ に入る。$\mathfrak{a}$ の基底を延ばして $\mathfrak{g}$ の基底をとると、行列は $\begin{pmatrix}M&*\\0&0\end{pmatrix}$ の形で、$M$ は $\operatorname{ad}_{\mathfrak{a}}x\circ\operatorname{ad}_{\mathfrak{a}}y$ の行列だから、跡は $\kappa_{\mathfrak{a}}(x,y)$ である。
3：$[\mathfrak{a},\mathfrak{b}]\subset\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}=0$ なので、$\operatorname{ad}(a+b)$ は $\mathfrak{a}$ 上で $\operatorname{ad}_{\mathfrak{a}}a$、$\mathfrak{b}$ 上で $\operatorname{ad}_{\mathfrak{b}}b$ として働き、$\operatorname{ad}(a+b)\circ\operatorname{ad}(a'+b')$ は区分対角行列で、跡は 2 つの区画の跡の和である。$a'=0$、$b=0$ とおくと $\kappa(a,b')=0$ を得る。
4：$x\in\mathfrak{a}$、$y\in\mathfrak{g}$ について、$T$ の像は $\operatorname{ad}x$ の像に含まれるので $\mathfrak{a}$ に入る。$a\in\mathfrak{a}$ なら $[y,a]\in\mathfrak{a}$ で、$\mathfrak{a}$ は可換なので $T(a)=[x,[y,a]\!]=0$ である。よって $T^2=0$ で、冪零変換の跡は $0$ だから $\kappa(x,y)=0$ である。$\square$
$\mathfrak{g}^1:=\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^{i+1}:=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}^i]$ とおき、ある $m$ で $\mathfrak{g}^m=0$ となるとき $\mathfrak{g}$ は冪零Lie環であるという。冪零 Lie 環の Killing 形式は $0$ である。
$x,y\in\mathfrak{g}$ について $\operatorname{ad}y(\mathfrak{g}^i)\subset\mathfrak{g}^{i+1}$、$\operatorname{ad}x(\mathfrak{g}^{i+1})\subset\mathfrak{g}^{i+2}$ なので、$T:=\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y$ は $\mathfrak{g}^i$ を $\mathfrak{g}^{i+2}$ に写す。よって $T^m(\mathfrak{g})\subset\mathfrak{g}^{2m+1}\subset\mathfrak{g}^m=0$ で $T$ は冪零であり、$\kappa(x,y)=\operatorname{tr}T=0$ である。$\square$
逆は成り立たない：Killing 形式が $0$ でも冪零とは限らない（ex-killing-form-zero-not-nilpotent）。
Cartan の判定法
$\mathfrak{g}^{(0)}:=\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^{(k+1)}:=[\mathfrak{g}^{(k)},\mathfrak{g}^{(k)}]$ がある $k$ で $0$ になるとき $\mathfrak{g}$ は可解Lie環であるという。可解なイデアルのうち最大のもの（根基 $\operatorname{rad}\mathfrak{g}$）が $0$ のとき $\mathfrak{g}$ は半単純Lie環であるといい、これは $0$ でない可換イデアルがないことと同値である（半単純Lie環 の補題「半単純性の言い換え」）。
$\mathfrak{g}$ を $\mathbb{C}$ 上の有限次元 Lie 環とする。
- $\mathfrak{g}$ が可解であるための必要十分条件は、$\kappa(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0$ である。
- $\mathfrak{g}$ が半単純であるための必要十分条件は、$\kappa$ が非退化であることである。
半単純Lie環 の補題「Cartan の判定法」（$\mathbb{C}$ 上の有限次元空間 $V$ の部分 Lie 環 $L\subset\mathfrak{gl}(V)$ で、すべての $a,b\in L$ について $\operatorname{tr}(ab)=0$ なら $L$ は可解。FH91 Theorem C.5）と Lieの定理 を使う。2 の十分性は prop-killing-form-ideal の 4 から直ちに従う：$\kappa$ が非退化なら可換イデアルは $\mathfrak{g}^{\perp}=0$ に含まれるので、$\mathfrak{g}$ は半単純である（この向きは任意の体で成り立つ）。
残りの証明を開く
1、必要性：$\mathfrak{g}$ が可解なら、Lie の定理により基底をうまくとって、すべての $\operatorname{ad}x$ を上三角行列にできる。上三角行列どうしの交換子は対角成分が $0$ なので、$x\in[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ について $\operatorname{ad}x=\sum[\operatorname{ad}y_k,\operatorname{ad}z_k]$ は狭義上三角であり、$\operatorname{ad}y\circ\operatorname{ad}x$ も狭義上三角で $\kappa(y,x)=0$ である。
1、十分性：$L:=\operatorname{ad}([\mathfrak{g},\mathfrak{g}])\subset\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$ の元 $a=\operatorname{ad}x$、$b=\operatorname{ad}y$ について $\operatorname{tr}(ab)=\kappa(x,y)=0$ なので、Cartan の判定法により $L$ は可解である。$\operatorname{ad}\colon[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]\to L$ の核は中心との共通部分で可換なので $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ は可解であり、$\mathfrak{g}/[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ は可換なので $\mathfrak{g}$ も可解である（可解Lie環 の命題「部分 Lie 環・像・拡大での可解性」）。
2、必要性：$\mathfrak{s}:=\mathfrak{g}^{\perp}$ は prop-killing-form-ideal の 1 によりイデアルで、$x,y\in\mathfrak{s}$ について $\operatorname{tr}(\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y)=\kappa(x,y)=0$ だから、1 の十分性と同じ議論で $\operatorname{ad}\mathfrak{s}$ と $\mathfrak{s}$ は可解である。よって $\mathfrak{s}\subset\operatorname{rad}\mathfrak{g}=0$ である。$\square$
2 から、半単純 Lie 環は単純イデアルの直和に一意に分かれることが導かれる（半単純Lie環 の定理「Cartan–Killing の判定法と単純イデアルへの分解」。1 と 2 は FH91 Proposition C.4・C.10、分解は Corollary C.11、pp. 479–480）。
単純 Lie 環の不変形式
$0$ と自分自身以外にイデアルをもたない可換でない Lie 環を単純 Lie 環という。単純 Lie 環は半単純である（半単純Lie環 の補題「半単純性の言い換え」）。
$\mathfrak{g}$ を $\mathbb{C}$ 上の単純 Lie 環とし、$B$ を $\mathfrak{g}$ 上の双線形形式で $B([x,y],z)=B(x,[y,z])$（$x,y,z\in\mathfrak{g}$）を満たすものとする。このとき $B=c\,\kappa$ となる $c\in\mathbb{C}$ がある。とくに $B$ は対称である。
$\mathfrak{g}^*$ に $(x\cdot\xi)(y):=-\xi([x,y])$ で $\mathfrak{g}$ を作用させる（双対表現）。$\beta\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}^*$、$\beta(z):=B(z,\cdot)$ は表現の射である：
$$
\beta([x,z])(y)=B([x,z],y)=-B([z,x],y)=-B(z,[x,y])=(x\cdot\beta(z))(y).
$$
同様に $\hat\kappa(z):=\kappa(z,\cdot)$ も表現の射であり、thm-killing-form-cartan の 2 により $\kappa$ は非退化なので $\hat\kappa$ は同型である。$\varphi:=\hat\kappa^{-1}\circ\beta$ は随伴表現 $\mathfrak{g}$ から自分自身への表現の射である。随伴表現の不変部分空間はイデアルにほかならないので、$\mathfrak{g}$ が単純なら随伴表現は既約である。$\mathfrak{g}$ は $\mathbb{C}$ 上有限次元なので、Schurの補題(表現論) により $\varphi=c\,\mathrm{id}$ であり、$\beta=c\,\hat\kappa$、すなわち $B=c\,\kappa$ である。$\square$
たとえば $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ では、標準表現の跡形式 $\operatorname{tr}(xy)$ と Killing 形式は実際に定数倍の関係 $\kappa=2n\operatorname{tr}(xy)$ にある（prop-killing-form-gl）。
例
$K$ を標数 $2$ でない体とし、$\mathfrak{sl}_2(K)$ の基底 $e=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$、$f=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ をとる。$[h,e]=2e$、$[h,f]=-2f$、$[e,f]=h$ である。基底の順 $(e,h,f)$ で Killing 形式の行列は
$$
\bigl(\kappa(x_i,x_j)\bigr)=\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}
$$
である。行列式は $-128\neq0$ なので、$\kappa$ は非退化である。$x=\begin{pmatrix}b&a\\c&-b\end{pmatrix}=ae+bh+cf$ について $\kappa(x,x)=8b^2+8ac$ であり、$x^2=(b^2+ac)I$ だから $\kappa(x,x)=4\operatorname{tr}(x^2)$ である。
行列の積の計算を開く
基底の順 $(e,h,f)$ で $\operatorname{ad}e=\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$、$\operatorname{ad}h=\operatorname{diag}(2,0,-2)$、$\operatorname{ad}f=\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}$ である。$\operatorname{ad}e$：$e\mapsto0$、$h\mapsto[e,h]=-2e$、$f\mapsto[e,f]=h$。$\operatorname{ad}f$：$e\mapsto[f,e]=-h$、$h\mapsto[f,h]=2f$、$f\mapsto0$。$\operatorname{ad}h\operatorname{ad}h=\operatorname{diag}(4,0,4)$ で跡 $8$。$\operatorname{ad}e\operatorname{ad}f$ は $e\mapsto\operatorname{ad}e(-h)=2e$、$h\mapsto\operatorname{ad}e(2f)=2h$、$f\mapsto0$ で跡 $4$。$\operatorname{ad}e\operatorname{ad}e$ と $\operatorname{ad}f\operatorname{ad}f$ は添字をそれぞれ 2 つ上げ下げするので跡 $0$、$\operatorname{ad}h\operatorname{ad}e$ と $\operatorname{ad}h\operatorname{ad}f$ も対角成分が $0$ で跡 $0$ である。
$K$ を体、$n\ge1$ とする。
- $\mathfrak{gl}_n(K)$ の Killing 形式は $\kappa(x,y)=2n\operatorname{tr}(xy)-2\operatorname{tr}x\operatorname{tr}y$ である。
- $\mathfrak{sl}_n(K)$ の Killing 形式は $2n\operatorname{tr}(xy)$ である。
- $K=\mathbb{C}$、$n\ge2$ なら、$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の Killing 形式は非退化であり、$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ の Killing 形式は退化している。
1：$a,b\in\mathfrak{gl}_n$ について、線形写像 $z\mapsto azb$ の $\mathfrak{gl}_n$ 上の跡は $\operatorname{tr}a\operatorname{tr}b$ である。実際、行列単位 $E_{ij}$ の像 $aE_{ij}b$ の $E_{ij}$ 成分は $a_{ii}b_{jj}$ で、$i,j$ について和をとると $\operatorname{tr}a\operatorname{tr}b$ になる。$\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y(z)=xyz-xzy-yzx+zyx$ なので、跡は $\operatorname{tr}(xy)\cdot n-\operatorname{tr}x\operatorname{tr}y-\operatorname{tr}y\operatorname{tr}x+n\cdot\operatorname{tr}(yx)$ である（$z\mapsto xyz$ は $a=xy$、$b=1$ の場合で跡 $n\operatorname{tr}(xy)$）。
2：$[\mathfrak{gl}_n,\mathfrak{gl}_n]\subset\mathfrak{sl}_n$ なので $\mathfrak{sl}_n$ は $\mathfrak{gl}_n$ のイデアルであり、prop-killing-form-ideal の 2 により、$x,y\in\mathfrak{sl}_n$ での値は 1 の式で $\operatorname{tr}x=\operatorname{tr}y=0$ とおいたものである。
3：$0\neq x\in\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ について $x^*:={}^t\bar x$ も跡 $0$ で、$\kappa(x,x^*)=2n\sum_{i,j}\lvert x_{ij}\rvert^2>0$ なので $\kappa$ は非退化である。$\mathfrak{gl}_n$ では $\kappa(1,y)=2n\operatorname{tr}y-2n\operatorname{tr}y=0$ なので $1\in\mathfrak{g}^{\perp}$ である。$\square$
3 と thm-killing-form-cartan の 2 から、$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ は半単純で、$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ は半単純でない（中心 $\mathbb{C}1$ が $0$ でない可換イデアル）。$n=2$ では 2 は ex-killing-form-sl2 の $\kappa(x,x)=4\operatorname{tr}(x^2)$ と一致する。
- 基底 $x,y$ と $[x,y]=y$ で定まる Lie 環では、$\operatorname{ad}x=\operatorname{diag}(0,1)$、$\operatorname{ad}y$ は $x\mapsto-y$、$y\mapsto0$ である。$\kappa(x,x)=1$、$\kappa(x,y)=\kappa(y,y)=0$ で、核は $Ky=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ である。$\kappa(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0$ は thm-killing-form-cartan の 1 のとおり（この Lie 環は可解）だが、$\kappa$ 自体は $0$ でない。
- 基底 $x,y,z$ と $[x,y]=z$、$[x,z]=[y,z]=0$ で定まる Heisenberg Lie 環は冪零なので、prop-killing-form-nilpotent により $\kappa=0$ である。
- $\mathfrak{so}(3)$（実の交代行列の全体）は、$v\in\mathbb{R}^3$ に $\hat v\colon w\mapsto v\times w$ の行列を対応させることで、外積を括弧積とする $(\mathbb{R}^3,\times)$ と同型である（$[\hat v,\hat w]=\widehat{v\times w}$）。この同一視で $\operatorname{ad}v=\hat v$ であり、$\hat v^2=v\,{}^tv-\lvert v\rvert^2I$ から $\kappa(v,v)=\operatorname{tr}(\hat v^2)=\lvert v\rvert^2-3\lvert v\rvert^2=-2\lvert v\rvert^2$、すなわち $\kappa(v,w)=-2\,v\cdot w$ である。$\kappa$ は負定値である。
- $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ では ex-killing-form-sl2 の計算がそのまま使え、$h$、$e+f$、$e-f$ は互いに直交して $\kappa(h,h)=8$、$\kappa(e+f,e+f)=8$、$\kappa(e-f,e-f)=-8$ である。符号は $(2,1)$ で、$\kappa$ は不定値である。
2 つの Killing 形式は符号が違うので、prop-killing-form-invariant の 3 と Sylvester の慣性法則により $\mathfrak{so}(3)\not\cong\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ である。一方、係数を $\mathbb{C}$ に広げると（複素化）、$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ は $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ に、$\mathfrak{so}(3)$ は複素交代行列の Lie 環 $\mathfrak{so}_3(\mathbb{C})$ になり、$\mathfrak{so}_3(\mathbb{C})\cong\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ である（FH91 §18.2、p. 273。この記事では証明しない）。実数体上の Killing 形式の符号は、複素化では見えない違いを捉える。外積の恒等式の確かめを開く
$[\hat v,\hat w]u=v\times(w\times u)-w\times(v\times u)=(v\times w)\times u$ は Jacobi 恒等式である。$\hat v^2u=v\times(v\times u)=(v\cdot u)v-\lvert v\rvert^2u$ なので $\hat v^2=v\,{}^tv-\lvert v\rvert^2I$ で、跡は $\lvert v\rvert^2-3\lvert v\rvert^2$ である。偏極により $\kappa(v,w)=-2\,v\cdot w$ を得る。$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ の直交性は $\kappa(h,e)=\kappa(h,f)=\kappa(e,e)=\kappa(f,f)=0$ から、値は $\kappa(e\pm f,e\pm f)=\pm2\kappa(e,f)=\pm8$ から従う。
反例
thm-killing-form-cartan と prop-killing-form-nilpotent について、仮定を外したときと逆向きの主張に次の反例がある。
| 外す条件・逆向きの主張 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 標数 $0$ | $\overline{\mathbb{F}}_5$（または $\mathbb{F}_5$）上の Witt 代数 $W$ | 半単純（単純）なら $\kappa$ は非退化 |
| 形式が随伴表現の跡であること | $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$ と $\operatorname{tr}(xy)$ | 非退化な不変形式があれば半単純 |
| 逆：$\kappa=0$ なら冪零 | $[x,y_1]=y_1$、$[x,y_2]=iy_2$ の 3 次元 Lie 環 | 冪零性 |
| 逆：$\kappa$ が退化なら可解 | $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$ | 可解性 |
$\mathbb{F}_5$ 上の 5 次元の Lie 環 $W$ を、基底 $e_{-1},e_0,e_1,e_2,e_3$ と $[e_i,e_j]=(j-i)e_{i+j}$（$i+j\notin\{-1,\dots,3\}$ なら $0$）で定める。これは $\mathbb{F}_5[x]/(x^5)$ の導分 $e_i=x^{i+1}\frac{d}{dx}$ の全体であり（$\frac{d}{dx}(x^5)=5x^4=0$ なので $\frac{d}{dx}$ はイデアル $(x^5)$ を保つ）、導分の交換子として Lie 環になる。$W$ は単純で、Killing 形式は $0$ である。以下の計算は係数を標数 $5$ の任意の体（たとえば代数閉体 $\overline{\mathbb{F}}_5$）に替えてもそのまま成り立つので、代数閉であることを保ったまま標数だけを変えた反例になる。この例は「半単純（単純）」を満たすが「係数体の標数が $0$」を満たさず、「半単純なら $\kappa$ は非退化」を破る。
単純性と $\kappa=0$ の確かめを開く
単純性：$0\neq v=\sum_kc_ke_k$ を含むイデアル $\mathfrak{i}$ をとり、$c_m\neq0$ となる最大の $m$ をとる。$\operatorname{ad}e_{-1}(e_k)=(k+1)e_{k-1}$ なので、$\operatorname{ad}e_{-1}$ を $m+1$ 回当てると $e_k$（$k< m$）の項は消えて $(m+1)!\,c_me_{-1}$ が残る。$m\le3$ より $(m+1)!$ は $5$ で割れないので $e_{-1}\in\mathfrak{i}$ である。$[e_j,e_{-1}]=-(j+1)e_{j-1}$ の係数は $j=0,1,2,3$ で $0$ でないので $e_0,e_1,e_2\in\mathfrak{i}$、さらに $e_3=[e_1,e_2]\in\mathfrak{i}$ で $\mathfrak{i}=W$ である。$[e_0,e_1]=e_1$ なので $W$ は可換でない。
$\kappa=0$：$\operatorname{ad}e_i\operatorname{ad}e_j$ は添字を $i+j$ ずらすので、$i+j\neq0$ なら対角成分は $0$ である。$\operatorname{ad}e_0(e_k)=ke_k$ から $\kappa(e_0,e_0)=\sum_{k=-1}^3k^2=15=0$。$\operatorname{ad}e_1\operatorname{ad}e_{-1}(e_k)=(k+1)(k-2)e_k$（$k=-1,\dots,3$）から $\kappa(e_1,e_{-1})=0+(-2)+(-2)+0+4=0$。$i+j=0$ となる組はほかにない（$\pm2,\pm3$ のうち $-2,-3$ は添字の範囲外）。
$\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$ 上の $B(x,y):=\operatorname{tr}(xy)$ は標準表現の跡形式なので、prop-killing-form-invariant の 2 により $B([x,y],z)=B(x,[y,z])$ を満たす。また $B(x,{}^t\bar x)=\sum\lvert x_{ij}\rvert^2$ により非退化である。しかし $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$ は中心 $\mathbb{C}1$ をもち半単純でない。この例は「非退化な不変形式をもつ」を満たすが「半単純」を満たさず、thm-killing-form-cartan の 2 の形式を Killing 形式から一般の不変形式に替えた主張を破る。
基底 $x,y_1,y_2$ と $[x,y_1]=y_1$、$[x,y_2]=iy_2$、$[y_1,y_2]=0$ で定まる $\mathbb{C}$ 上の Lie 環 $\mathfrak{g}$（$\mathbb{C}^2$ に $\operatorname{diag}(1,i)$ で $x$ を作用させた半直積）を考える。$\kappa=0$ であるが、$\mathfrak{g}$ は冪零でない。
確かめを開く
$\operatorname{ad}x$ の固有値は $0,1,i$ なので $\kappa(x,x)=0^2+1^2+i^2=0$ である。$\operatorname{ad}x\operatorname{ad}y_j$ と $\operatorname{ad}y_j\operatorname{ad}y_k$ は $x$ を $y$ たちの張る空間へ、$y$ たちを $0$ へ写すので跡は $0$ である。$[x,y_1]=y_1$ からすべての $i$ で $y_1\in\mathfrak{g}^i$ である。
$\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$ の Killing 形式は prop-killing-form-gl により $1$ を核に含み退化している。しかし $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})$ は $[\mathfrak{sl}_2,\mathfrak{sl}_2]=\mathfrak{sl}_2$ を満たす部分 Lie 環 $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ を含むので、導来列が $\mathfrak{sl}_2$ より小さくならず、可解でない。この例は「$\kappa$ が退化」を満たすが「可解」を満たさない。thm-killing-form-cartan の 2 が述べるとおり、退化していることが示すのは半単純でないことだけである。
補足
- 実 Lie 環 $\mathfrak{g}$ に、すべての $\operatorname{ad}x$ が交代変換になる内積があれば、$\kappa(x,x)=-\operatorname{tr}({}^t(\operatorname{ad}x)\operatorname{ad}x)\le0$ で、等号は $x$ が中心に入るときに限る。$\mathfrak{so}(3)$（ex-killing-form-real-forms）はこの場合である。
- 複素半単純 Lie 環では、Killing 形式の Cartan 部分環への制限が非退化で、それが誘導する双対空間の内積によってルートの長さと角度が測られる（半単純Lie環 の節「ルート分解と分類」、ルート系、FH91 §14.2、pp. 206–207）。
関連項目
参考文献
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