分割冪構造

1. $n$ に関する数学的帰納法。$n=1$ は公理 1。公理 4 で $m=1$、$n$ を $n-1$ とすると $x\,\gamma_{n-1}(x)=\binom{n}{1}\gamma_n(x)=n\gamma_n(x)$ である。両辺に $(n-1)!$ を掛け、帰納法の仮定 $(n-1)!\,\gamma_{n-1}(x)=x^{n-1}$ を使うと $x^n=n!\,\gamma_n(x)$ を得る。
2. 公理 3 で $a=0$ とすると $\gamma_n(0)=\gamma_n(0\cdot x)=0^n\gamma_n(x)=0$。
3. 公理 3 で $a=-1$ とすればよい。
4. 公理 3 で $a=x$ とすると $\gamma_n(xy)=x^n\gamma_n(y)$。1 により $x^n=n!\,\gamma_n(x)$ である。
5. $I^{[n]}$ の生成元 $z=\gamma_{n_1}(x_1)\cdots\gamma_{n_r}(x_r)$（$\sum n_i\ge n$）をとる。$\gamma_0=1$ なので、すべての $n_i\ge1$ としてよい。$r=1$ のときは公理 5 により $\gamma_m(\gamma_{n_1}(x_1))$ は $\gamma_{mn_1}(x_1)\in I^{[mn]}$ の整数倍である。$r\ge2$ のときは $z=z'\gamma_{n_r}(x_r)$（$z'\in A$）と書き、公理 3 により $\gamma_m(z)=z'^m\gamma_m(\gamma_{n_r}(x_r))$ で、これは $\gamma_{mn_r}(x_r)$ の $A$ 倍である。一方 $z'^m=\gamma_{n_1}(x_1)^m\cdots\gamma_{n_{r-1}}(x_{r-1})^m$ であり、公理 4 を繰り返せば $\gamma_{n_i}(x_i)^m$ は $\gamma_{mn_i}(x_i)$ の整数倍である。よって $\gamma_m(z)$ は $\gamma_{mn_1}(x_1)\cdots\gamma_{mn_r}(x_r)$ の $A$ 倍で、$\sum mn_i\ge mn$ だから $I^{[mn]}$ に入る。一般の元 $\sum_ja_jz_j$（$z_j$ は生成元）については、公理 2 と 3 を繰り返して $\gamma_m(\sum_ja_jz_j)=\sum\prod_ja_j^{m_j}\gamma_{m_j}(z_j)$（和は $\sum_jm_j=m$ を動く）となる。生成元の場合により $\gamma_{m_j}(z_j)\in I^{[m_jn]}$（$m_j\ge1$）であり、生成元の積を見れば $I^{[k]}I^{[l]}\subset I^{[k+l]}$ だから、各項は $I^{[\sum_jm_jn]}=I^{[mn]}$ に入る。$I^{[mn]}\subset I^{[n]}$ だから、部分 PD イデアルであることも従う。

1. 公理 1 と 3 は明らか（$x^n/n!\in I$ は $n\ge1$ で $x^n\in I$ による）。公理 2 は二項定理 $(x+y)^n=\sum_{i+j=n}\binom{n}{i}x^iy^j$ の両辺を $n!$ で割り、$\binom{n}{i}/n!=1/(i!\,j!)$ を使えばよい。公理 4 は $\dfrac{x^m}{m!}\dfrac{x^n}{n!}=\dfrac{(m+n)!}{m!\,n!}\dfrac{x^{m+n}}{(m+n)!}$ である。公理 5 は $\dfrac{1}{m!}\left(\dfrac{x^n}{n!}\right)^m=\dfrac{(mn)!}{m!\,(n!)^m}\dfrac{x^{mn}}{(mn)!}$ である。
2. $\gamma,\gamma'$ を $I$ 上の 2 つの分割冪構造とする。prop-divided-power-basic の 1 により $n!\,\gamma_n(x)=x^n=n!\,\gamma'_n(x)$、すなわち $n!\,(\gamma_n(x)-\gamma'_n(x))=0$ である。$A$ は捩れをもたないので $\gamma_n(x)=\gamma'_n(x)$ である。$\mathbb{Q}$ 代数は捩れをもたない（$na=0$ なら $a=n^{-1}na=0$）ので、後半も従う。

必要性は定義から明らかである。十分性を示す。まず公理 2 を $r$ に関する帰納法で繰り返すと、$x_1,\dots,x_r\in I$ について
$$ \gamma_n(x_1+\cdots+x_r)=\sum_{n_1+\cdots+n_r=n}\gamma_{n_1}(x_1)\cdots\gamma_{n_r}(x_r) $$
である。$K$ の元は $z=\sum_{i=1}^ra_is_i$（$a_i\in A$、$s_i\in S$）と書けるので、この式と公理 3 により
$$ \gamma_n(z)=\sum_{n_1+\cdots+n_r=n}a_1^{n_1}\cdots a_r^{n_r}\,\gamma_{n_1}(s_1)\cdots\gamma_{n_r}(s_r) $$
である。$n\ge1$ なので各項にはある $n_i\ge1$ があり、仮定により $\gamma_{n_i}(s_i)\in K$ である。よって各項は $K$ に入り、$\gamma_n(z)\in K$ である。

$\bar\gamma_n(\bar x):=\overline{\gamma_n(x)}$（$x\in I$、$\bar x$ は $x$ の類）と定めたい。well-defined であること：$x,x'\in I$ が同じ類を定めるなら $k:=x'-x\in I\cap K$ である。公理 2 により
$$ \gamma_n(x')=\gamma_n(x+k)=\gamma_n(x)+\sum_{j=1}^{n}\gamma_{n-j}(x)\gamma_j(k) $$
であり、$j\ge1$ について $\gamma_j(k)\in I\cap K\subset K$（部分 PD イデアルの仮定）なので $\gamma_n(x')\equiv\gamma_n(x)\pmod K$ である。よって $\bar\gamma_n$ は $\bar I$ 上の写像として定まる。$n\ge1$ なら $\gamma_n(x)\in I$ だから $\bar\gamma_n(\bar x)\in\bar I$ である。公理 1〜5 は、$A$ で成り立つ等式を $\bar A$ に写したものなので成り立つ（$\bar I$ の元はすべて $I$ の元の類であり、$\bar A$ の元はすべて $A$ の元の類である）。全射 $A\to\bar A$ が PD 準同型であることは定義そのものであり、PD 準同型の条件 $\bar\gamma_n(\bar x)=\overline{\gamma_n(x)}$ が $\bar\gamma$ を決めるので一意性も従う。

1. $x^{[0]}=1\in\mathbb{Z}\langle x\rangle$ であり、加法で閉じていることは定義から明らか。$x^{[m]}x^{[n]}=\dfrac{x^{m+n}}{m!\,n!}=\dfrac{(m+n)!}{m!\,n!}\dfrac{x^{m+n}}{(m+n)!}=\binom{m+n}{m}x^{[m+n]}$ で、$\binom{m+n}{m}$ は整数だから、基底の積は $\mathbb{Z}\langle x\rangle$ に入る。分配法則により一般の元の積も入る。
2. $n\ge1$ なら $m+n\ge1$ なので、1 の式により $x^{[m]}x^{[n]}\in I$ である。よって $\mathbb{Z}\langle x\rangle\cdot I\subset I$ である。
3. $\mathbb{Q}[x]$ のイデアル $x\mathbb{Q}[x]$ には prop-divided-power-rational の分割冪構造 $g\mapsto g^n/n!$ があり、$I\subset x\mathbb{Q}[x]$ である。$f=\sum_{k=1}^ra_kx^{[k]}$（$a_k\in\mathbb{Z}$）とすると、lem-divided-power-generated の証明の式（$\mathbb{Q}[x]$ の中で適用する）により
   $$ \gamma_n(f)=\sum_{n_1+\cdots+n_r=n}a_1^{n_1}\cdots a_r^{n_r}\,\gamma_{n_1}(x^{[1]})\cdots\gamma_{n_r}(x^{[r]}) $$
   である。ここで $\gamma_m(x^{[k]})=\dfrac{1}{m!}\left(\dfrac{x^k}{k!}\right)^m=\dfrac{(mk)!}{m!\,(k!)^m}x^{[mk]}$ であり、係数は整数（$mk$ 個のものを大きさ $k$ の $m$ 組に分ける分け方の個数）だから $\gamma_m(x^{[k]})\in\mathbb{Z}\langle x\rangle$、$m\ge1$ なら $I$ の元である。$n\ge1$ なら各項にある $n_i\ge1$ があるので、1 により各項は $I$ に入り、$\gamma_n(f)\in I$ である。$n=0$ なら $\gamma_0(f)=1$ である。公理 1〜5 は $\mathbb{Q}[x]$ の中で成り立つ等式であり、両辺が $\mathbb{Z}\langle x\rangle$ の元なので、そのまま $\mathbb{Z}\langle x\rangle$ で成り立つ。

公理 1 は明らか。以下 $x,y\in J$、$a\in A$ とする。
公理 2。$n\le p-1$ なら、$i+j=n$ なる $i,j$ も $p-1$ 以下で、$\dfrac{(x+y)^n}{n!}=\sum_{i+j=n}\dfrac{x^iy^j}{i!\,j!}$ は二項定理である。$n\ge p$ なら左辺は $0$ であり、右辺の項 $\gamma_i(x)\gamma_j(y)$ は、$i\ge p$ または $j\ge p$ なら $0$、そうでなければ $x^iy^j/(i!\,j!)$ で $i+j=n\ge p$ だから $x^iy^j\in J^{p}=0$ である。
公理 3。$n\le p-1$ なら $(ay)^n/n!=a^ny^n/n!$、$n\ge p$ なら両辺 $0$ である。
公理 4。$m+n\le p-1$ なら $\dfrac{y^m}{m!}\dfrac{y^n}{n!}=\binom{m+n}{m}\dfrac{y^{m+n}}{(m+n)!}$ である。$m+n\ge p$ なら右辺は $0$ であり、左辺は $m\ge p$ または $n\ge p$ なら $0$、そうでなければ $y^{m+n}/(m!\,n!)$ で $y^{m+n}\in J^p=0$ である。
公理 5（$n\ge1$）。$m=0$ なら両辺 $1$ である。$n\ge p$ なら $\gamma_n(y)=0$、$\gamma_m(0)=0$（$m\ge1$）で、$mn\ge p$ だから右辺も $0$ である。$n\le p-1$ かつ $mn\le p-1$ なら $m\le p-1$ で、$\gamma_m(y^n/n!)=\dfrac{y^{mn}}{m!\,(n!)^m}=\dfrac{(mn)!}{m!\,(n!)^m}\dfrac{y^{mn}}{(mn)!}$ である。$n\le p-1$ かつ $mn\ge p$ なら右辺は $0$ であり、左辺は $m\ge p$ なら $0$、$m\le p-1$ なら $y^{mn}/(m!\,(n!)^m)$ で $y^{mn}\in J^p=0$ である。
PD 冪零性。$\gamma_{n_1}(x_1)\cdots\gamma_{n_r}(x_r)$ で $\sum n_i\ge p$ とする。ある $n_i\ge p$ なら因子 $\gamma_{n_i}(x_i)=0$ である。すべて $n_i\le p-1$ なら、積は $x_1^{n_1}\cdots x_r^{n_r}$ の定数倍で、$J^{\sum n_i}\subset J^p=0$ に入る。よって $J^{[p]}=0$ である。

prop-divided-power-basic の 1 により $x^p=p!\,\gamma_p(x)$ であり、$p!=p\cdot(p-1)!$ は $A$ で $0$ である。後半：$I^{N}$（$N=r(p-1)+1$）は $x_1^{n_1}\cdots x_r^{n_r}$（$\sum n_i=N$）の $A$ 倍の和で張られ、$\sum n_i=N>r(p-1)$ ならある $n_i\ge p$ なので $x_i^{n_i}=0$ である。