容量(ポテンシャル論)

要点：許容関数の包含・和・拡大を使う。3 は許容関数が $K$ の上で $1$ 以上であることによる。

要点：許容関数を $[0,1]$ に値をとる滑らかな関数と合成し、$K$ の近傍で $1$ の切り落とし関数を掛ける。

$p< n$ のとき． prop-cap-basic の 1 と 4 から、$0< r<1$ について $\operatorname{cap}_p(\{0\})\le\operatorname{cap}_p(\overline B(0,r))\le r^{n-p}\operatorname{cap}_p(\overline B(0,1))$ であり、$r\to0$ で $0$ に収束する。
$p=n\ge2$ のとき． 拡大だけでは勾配のノルムが $r^{n-p}=1$ 倍で減らないので、対数の目盛りで切り落とす。$\chi\in C^\infty(\mathbb R)$ を、$0\le\chi\le1$、$t\le0$ で $\chi(t)=1$、$t\ge1$ で $\chi(t)=0$、$|\chi'|\le2$ となるようにとる。$0< \varepsilon<1$、$L:=\log(1/\varepsilon)$ として
$$ \psi_\varepsilon(x):=\chi\Bigl(\frac{\log(|x|/\varepsilon^2)}{L}\Bigr)\quad(x\ne0),\qquad\psi_\varepsilon(0):=1 $$
とおく。$\psi_\varepsilon$ は $|x|\le\varepsilon^2$ で $1$、$|x|\ge\varepsilon$ で $0$ なので、$C_c^\infty(\mathbb R^n)$ に属する $\{0\}$ の許容関数であり、$0\le\psi_\varepsilon\le1$ である。$\varepsilon^2< |x|< \varepsilon$ では $|\nabla\psi_\varepsilon(x)|\le\dfrac{2}{|x|L}$ なので、極座標で
$$ \|\nabla\psi_\varepsilon\|_{L^n}^n\le\frac{2^n\omega_{n-1}}{L^n}\int_{\varepsilon^2}^{\varepsilon}\frac{r^{n-1}}{r^n}\,dr=\frac{2^n\omega_{n-1}}{L^{n-1}} $$
である（$\omega_{n-1}$ は単位球面の面積）。$\|\psi_\varepsilon\|_{L^n}^n\le|B(0,\varepsilon)|$ と $\sum_i\|\partial_i\psi_\varepsilon\|_{L^n}^n\le n\|\nabla\psi_\varepsilon\|_{L^n}^n$ を合わせると、$n\ge2$ なので $\varepsilon\to0$ で $\|\psi_\varepsilon\|_{W^{1,n}}^n\to0$ である。
$p>n$ のとき． Sobolevの埋め込み定理 の定理「Sobolev の埋め込み定理（$\mathbb R^n$、1 階）」の 3 により、$n$ と $p$ だけによる定数 $C$ で、すべての $\psi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について $|\psi(0)|\le C\|\psi\|_{W^{1,p}}$ である（同定理のノルムとここでのノルムは $n$ と $p$ だけによる定数倍の違いしかない）。許容関数は $\psi(0)\ge1$ なので、$\operatorname{cap}_p(\{0\})\ge C^{-p}>0$ である。
$n=p=1$ のとき． 許容関数 $\psi$ は台がコンパクトで $\psi(0)\ge1$ なので、$1\le\psi(0)=\int_{-\infty}^0\psi'\,dt\le\int_{-\infty}^0|\psi'|\,dt$、同様に $1\le\int_0^\infty|\psi'|\,dt$ であり、$\|\psi'\|_{L^1}\ge2$ である。$\square$

要点：$\mathbb R^m$ の 1 点の切り落とし $\varphi_k(x'')$ に、横方向の切り落とし $\theta(x')$ を掛ける。

1．$F=\bigcup_{R\in\mathbb N}\bigl(F\cap\overline B(0,R)\bigr)$ は容量 $0$ のコンパクト集合の可算和なので、prop-cap-basic の 3 により $|F|=0$ である。以下、$\Omega$ 上の積分と $\mathbb R^n$ 上の積分を区別しない。
2．段 1（有界な $u$）．$u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ とする。$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ を固定し、$K:=F\cap\operatorname{supp}\varphi$、$U$ を $\operatorname{supp}\varphi$ の有界な開近傍とする。$K$ はコンパクトで容量 $0$ なので、lem-cap-cutoff の $\psi_k\in C_c^\infty(U)$ がとれる。$\psi_k$ は $K$ の開近傍 $V_k$ の上で $1$ なので、$(1-\psi_k)\varphi$ の台はコンパクト集合 $\operatorname{supp}\varphi\setminus V_k$ に含まれ、これは $F$ と交わらない。よって $(1-\psi_k)\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ であり、弱微分の定義から
$$ \int u(1-\psi_k)\partial_i\varphi\,dx-\int u\,\varphi\,\partial_i\psi_k\,dx=-\int\partial_iu\,(1-\psi_k)\varphi\,dx $$
である。$k\to\infty$ とする。$u\,\partial_i\varphi$ と $\partial_iu\,\varphi$ は可積分で（$L^p$ の関数と有界な台をもつ有界関数の積）、ほとんど至る所 $\psi_k\to0$、$0\le\psi_k\le1$ なので、優収束定理により第 1 項と右辺は $\int u\,\partial_i\varphi$、$-\int\partial_iu\,\varphi$ に収束する。第 2 項は、Hölder の不等式により
$$ \Bigl|\int u\,\varphi\,\partial_i\psi_k\,dx\Bigr|\le\|u\|_{L^\infty}\|\varphi\|_{L^\infty}|U|^{1-1/p}\|\partial_i\psi_k\|_{L^p}\longrightarrow0 $$
である。よって $\int_{\mathbb R^n}\tilde u\,\partial_i\varphi=-\int_{\mathbb R^n}\widetilde{\partial_iu}\,\varphi$ がすべての $\varphi$ で成り立ち、$\tilde u\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$、$\partial_i\tilde u=\widetilde{\partial_iu}$ である。
段 2（一般の $u$）．$g\in C^\infty(\mathbb R)$ を $0\le g\le1$、$[-1,1]$ で $g=1$、$|t|\ge2$ で $g=0$ とし、$G(t):=\int_0^tg$、$G_M(t):=MG(t/M)$（$M>0$）とおく。$G$ は有界で、$G(0)=0$、$|G'|\le1$、$|t|\le1$ で $G(t)=t$ である。Sobolev空間の連鎖律 の定理「Sobolev空間の連鎖律」により $u_M:=G_M\circ u\in W^{1,p}(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$、$\partial_iu_M=g(u/M)\,\partial_iu$ である。$M\to\infty$ のとき、各点で $u_M\to u$、$\partial_iu_M\to\partial_iu$（$M>|u(x)|$ なら等号）であり、$|u_M|\le|u|$、$|\partial_iu_M|\le|\partial_iu|$ なので、優収束定理により $u_M\to u$ が $W^{1,p}(\Omega)$ で成り立つ。段 1 により $\tilde u_M\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ で、$|F|=0$ から $\|\tilde u_M-\tilde u_{M'}\|_{W^{1,p}(\mathbb R^n)}=\|u_M-u_{M'}\|_{W^{1,p}(\Omega)}$ である。よって $(\tilde u_M)$ は $W^{1,p}(\mathbb R^n)$ の Cauchy 列であり、その極限は $L^p$ での極限 $\tilde u$ と一致し、弱微分は $\widetilde{\partial_iu}$ である。ノルムの等式は $|F|=0$ による。
3．$u\in W^{1,p}(\Omega)$ とする。2 により $\tilde u\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ なので、$f_j\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ で $\|f_j-\tilde u\|_{W^{1,p}(\mathbb R^n)}< 1/j$ となるものがある（零境界Sobolev空間 の例「全空間」）。$j$ を固定し、$K_j:=F\cap\operatorname{supp}f_j$ に lem-cap-cutoff の $\psi_k$ をとる。段 1 と同じ理由で $(1-\psi_k)f_j\in C_c^\infty(\Omega)$ であり、
$$ \|\psi_kf_j\|_{L^p}\le\|f_j\|_{L^\infty}\|\psi_k\|_{L^p},\qquad\|\partial_i(\psi_kf_j)\|_{L^p}\le\|f_j\|_{L^\infty}\|\partial_i\psi_k\|_{L^p}+\|\partial_if_j\|_{L^\infty}\|\psi_k\|_{L^p} $$
なので、$k$ を大きくとれば $\|(1-\psi_k)f_j-f_j\|_{W^{1,p}}< 1/j$ である。こうして得た $g_j:=(1-\psi_k)f_j\in C_c^\infty(\Omega)$ は $\|g_j-u\|_{W^{1,p}(\Omega)}< 2/j$ を満たす。よって $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ である。逆の包含は定義から明らかである。$\square$

要点：前半は主定理から従う。後半は、近似列が原点での値まで一様に近づくことから矛盾を導く。

要点：Sobolev の不等式で $L^{p^*}$ ノルムを勾配で押さえ、有界集合の上で $L^p$ ノルムに戻す。

要点：$x_n=0$ での跳びが、弱微分に超平面上の項を生むことを確かめる。