斜体

1 ⇒ 2：左イデアル $I\neq0$ が $0$ でない元 $a$ を含めば、$1=a^{-1}a\in I$ なので、任意の $x$ について $x=x\cdot1\in I$ となり $I=R$ である。
2 ⇒ 3：$a\neq0$ なら左イデアル $Ra$ は $a$ を含むので $0$ でなく、仮定から $Ra=R$ である。とくに $1\in Ra$ なので $ba=1$ となる $b$ がある。
3 ⇒ 1：$a\neq0$ とし、$ba=1$ となる $b$ をとる。$b=0$ なら $1=0$ となるので $b\neq0$ であり、仮定から $cb=1$ となる $c$ がある。すると
$$ c=c(ba)=(cb)a=a $$
なので $ab=cb=1$ であり、$b$ は $a$ の両側の逆元である。よって $R$ は斜体である。

まず次のことに注意する。生成元 $u_1,\dots,u_l$ が一次従属で、$\sum_ia_iu_i=0$、$a_j\neq0$ とすると、左から $a_j^{-1}$ を掛けて
$$ u_j=-\sum_{i\neq j}a_j^{-1}a_iu_i $$
となるので、$u_j$ を除いた残りも $V$ を生成する。
1：$k=0,1,\dots,n$ について、「$k\le m$ であり、$v_i$ の番号を付け替えると、$w_1,\dots,w_k,v_{k+1},\dots,v_m$ が $V$ を生成する」ことを $k$ についての帰納法で示す。$k=0$ では仮定そのものである。$k< n$ で成り立つとして、生成系を使って
$$ w_{k+1}=\sum_{i\le k}a_iw_i+\sum_{i>k}b_iv_i $$
と書く。すべての $b_i$ が $0$ なら（$k=m$ で $v$ が残っていない場合を含む）、$w_{k+1}-\sum_{i\le k}a_iw_i=0$ となって $w$ の一次独立性に反する。よって $k< m$ であり、ある $b_i$ は $0$ でない。番号を付け替えて $b_{k+1}\neq0$ とすると、
$$ v_{k+1}=b_{k+1}^{-1}\Bigl(w_{k+1}-\sum_{i\le k}a_iw_i-\sum_{i>k+1}b_iv_i\Bigr) $$
なので、$v_{k+1}$ は $w_1,\dots,w_{k+1},v_{k+2},\dots,v_m$ の一次結合であり、これらが $V$ を生成する。$k+1\le m$ もいま示した。$k=n$ のときの主張から $n\le m$ である。
2：有限個の生成元から、一次従属である限り最初の注意で 1 つずつ元を除いていくと、有限回で一次独立な生成系、すなわち基底が残る。基底 $e_1,\dots,e_m$ と $f_1,\dots,f_n$ があれば、$e$ が生成系で $f$ が一次独立なので 1 により $n\le m$、役割を入れ替えて $m\le n$ である。
3：基底 $e_1,\dots,e_n$ について、写像 $D^n\to V$、$(a_1,\dots,a_n)\mapsto\sum_ia_ie_i$ は、生成系であることから全射、一次独立であることから単射である。よって $|V|=|D|^n=q^n$ である。

1：$x,y$ が $s$ と交換すれば $x\pm y$、$xy$ も $s$ と交換し、$0,1$ も交換するので、$C_D(S)$ は部分環である。$x\in C_D(S)$、$x\neq0$、$s\in S$ なら、$xs=sx$ の両辺に左右から $x^{-1}$ を掛けて $sx^{-1}=x^{-1}s$ を得る。よって $x^{-1}\in C_D(S)$ である。
2：$Z(D)$ の元どうしは交換するので、1 により $Z(D)$ は可換な斜体、すなわち体である。$Z(D)$ は中心なので、包含写像により $D$ は $Z(D)$ 上の多元環になる。
3：中心の元はすべての元と交換するので $Z(D)\subset C_D(S)$ である。$C_D(S)$ は $D$ の部分環なので、左からの積により $D$ は左 $C_D(S)$ 加群、すなわち左ベクトル空間である。

1：$x^n-1$ の根は $e^{2\pi\sqrt{-1}\,l/n}$（$0\le l< n$）の $n$ 個で、互いに異なる。それぞれの位数は $n$ の約数 $d$ であり、逆に $d\mid n$ なら位数 $d$ の元の $n$ 乗は $1$ である。よって $x^n-1$ の根の全体は、$d\mid n$ にわたる $\mu_d^{*}$ の互いに交わらない和集合であり、1 が成り立つ。
2：$n$ についての帰納法で示す。$\Phi_1=x-1$ である。$n\ge2$ で $d< n$ のときに正しいとすると、$g(x):=\prod_{d\mid n,\,d< n}\Phi_d(x)$ は整数係数のモニック多項式である。モニック多項式による割り算は整数係数のまま実行できるので、$x^n-1=g(x)h(x)+r(x)$、$\deg r< \deg g$ となる整数係数の $h,r$ がある。一方 1 より $x^n-1=g(x)\Phi_n(x)$ であり、複素数係数の多項式の割り算の商と余りは一意なので、$r=0$、$\Phi_n=h$ である。$\Phi_n$ がモニックであることは定義から明らかである。
3：$d\mid n$ なら $d$ の約数はすべて $n$ の約数なので、1 より
$$ \frac{x^n-1}{x^d-1}=\prod_{e\mid n,\ e\nmid d}\Phi_e(x) $$
である。$d< n$ なら $n\nmid d$ なので右辺には $e=n$ の因子 $\Phi_n(x)$ が現れ、残りの因子の積も 2 により整数係数である。
4：$\zeta\in\mu_n^{*}$ は $|\zeta|=1$ で、$n\ge2$ なので $\zeta\neq1$、したがって実部は $1$ より小さい。よって
$$ |q-\zeta|^2=q^2-2q\operatorname{Re}\zeta+1>q^2-2q+1=(q-1)^2 $$
であり、$|q-\zeta|>q-1\ge1$ である。$\mu_n^{*}$ は少なくとも 1 つの元 $e^{2\pi\sqrt{-1}/n}$ を含むので、これらの積の絶対値 $|\Phi_n(q)|$ は $q-1$ より大きい。

$D$ を有限な斜体とし、$Z:=Z(D)$ とおく。prop-dr-centralizer の 2 により $Z$ は有限体なので、その元の個数を $q$（$q\ge2$）とする。$D$ は $Z$ の上のベクトル空間なので、thm-dr-dimension の 3 により $|D|=q^n$（$n=\dim_ZD$）である。$n=1$ なら $D=Z$ は可換なので、$n\ge2$ と仮定して矛盾を導く。
各 $x\in D$ について $C(x):=C_D(\{x\})$ とおく。prop-dr-centralizer により $C(x)$ は $Z$ を含む斜体であり、$Z$ の上のベクトル空間として $|C(x)|=q^{d(x)}$ と書ける。さらに $D$ は $C(x)$ の上の左ベクトル空間なので、ある $e$ について $q^n=|D|=|C(x)|^e=q^{d(x)e}$ となり、$d(x)\mid n$ である。$x\notin Z$ なら $C(x)\neq D$ なので $d(x)< n$ である。
有限群 $G:=D^\times$ に類等式（共役(群論)の系「類等式」）を当てる。$G$ の元で $G$ のすべての元と交換するものは、$0$ とも交換するので $D$ のすべての元と交換し、$G$ の中心は $Z^\times=Z\setminus\{0\}$ である。また $x\in G$ の $G$ での中心化群は $C(x)^\times$ である。中心に含まれない共役類の代表元を $x_1,\dots,x_r$ とし、$d_i:=d(x_i)$ とおくと、
$$ q^n-1=(q-1)+\sum_{i=1}^r\frac{q^n-1}{q^{d_i}-1},\qquad d_i\mid n,\quad d_i< n $$
が成り立つ。lem-dr-cyclotomic の 1 と 3 に $x=q$ を代入すると、整数 $\Phi_n(q)$ は $q^n-1$ を割り切り、各 $(q^n-1)/(q^{d_i}-1)$ も割り切る。したがって $\Phi_n(q)$ は $q-1$ を割り切る。$q-1\ge1$ なので $|\Phi_n(q)|\le q-1$ でなければならないが、これは lem-dr-cyclotomic の 4 に反する。よって $n=1$ であり、$D$ は可換である。