写像空間の指数法則(位相空間)

(1) $X,Y$．$K$ は Tychonoff の定理によりコンパクト Hausdorff、$V,\mathbb R^2$ は距離空間なので $k$-空間であり、コンパクト生成空間 の定理「局所コンパクト空間との直積」により $K\times V$、$K\times\mathbb R^2$ は $k$-空間である。$i$ は直積の部分空間への包含なので埋め込みである。$\mathrm{Map}(I,i)$ と $\Omega i$ が $k$ 部分空間への埋め込みであることは prop-exp-embedding の 1 と、$\Omega$ が $\mathrm{Map}(I,-)$ の閉部分空間で $\Omega X=\mathrm{Map}(I,i)^{-1}(\Omega Y)$ であることから従う（prop-exp-embedding の証明の (b) の判定法で、像が $\Omega Y$ に入る写像の持ち上げは $\Omega X$ に入る）。また $\mathrm{Map}(I,i)$ が埋め込みなら、その部分空間 $\Omega X$ への制限 $\Omega i$ も埋め込みになるので、$\Omega i$ が埋め込みでないことを示せばよい。

(2) 扇の空間 $S$．$S:=\{\ast\}\cup(\mathbb Z_{>0}\times\mathbb Z_{>0})$ とし、点 $(n,m)$ は孤立点、$\ast$ の近傍は $\ast$ と各 $n$ についてある $m_n$ 以上のすべての $(n,m)$ を含む集合とする。$S$ は Hausdorff である。$C_n:=\{\ast\}\cup\{(n,m)\mid m\ge1\}$ は収束列なのでコンパクトである。$O\subset S$ がすべての $C_n$ と $C_n$ の開集合で交わるとき、$\ast\in O$ なら各 $n$ で $(n,m)$ の尾を含み、$\ast\notin O$ なら孤立点の集合なので、どちらでも $O$ は開集合である。よって（コンパクト生成空間 の命題「弱 Hausdorff 空間の性質」の 3 により）$S$ は $k$-空間である。$S$ のコンパクト集合は有限個の $C_n$ としか交わらない：無限個の $n$ について点 $p_n=(n,m'_n)$ を選ぶと、$\{p_n\}$ のどの部分集合も閉集合（$\ast$ の近傍は $m_n>m'_n$ と選べばそれらを避ける）なので、無限個の点からなる閉離散集合がコンパクト集合に入ってしまう。

(3) $S\times V$ は $k$-空間でない．相異なる有理数 $q_m\to\sqrt2$ をとり、$v_{n,m}:=\frac1n(1,q_m)/\sqrt{1+q_m^2}\in V$、$F:=\{((n,m),v_{n,m})\}\subset S\times V$ とおく。$|v_{n,m}|=1/n$ なので、$(\ast,0)$ の基本近傍 $O\times(V\cap B(0,\varepsilon))$ は $n>1/\varepsilon$ と大きな $m$ の点 $((n,m),v_{n,m})$ を含み、$(\ast,0)\notin F$ は $F$ の閉包に入る。よって $F$ は閉集合でない。一方、$n$ を固定すると $v_{n,m}$ は $m\to\infty$ で傾き $\sqrt2$ の点に収束し、その点は $V$ にないので、$D_n:=\{v_{n,m}\mid m\ge1\}$ は $V$ の閉離散集合である。これから $F_n:=\{((n,m),v_{n,m})\mid m\ge1\}$ は $S\times V$ の閉集合である（$F_n$ の外の点 $(s,v)$ について：$s$ が孤立点なら $\{s\}\times V$ か $\{s\}\times(V\setminus\{v_{n,m}\})$、$s=\ast$ で $v\notin D_n$ なら $S\times(V\setminus D_n)$、$v=v_{n,m_0}$ なら $(S\setminus\{(n,m_0)\})\times(V\setminus(D_n\setminus\{v\}))$ が $F_n$ と交わらない近傍）。$S\times V$ のコンパクト集合 $C$ の第 1 射影はコンパクトで、(2) により有限個の $n\le N$ の $C_n$ にしか交わらないので、$F\cap C=\bigcup_{n\le N}F_n\cap C$ は $C$ の閉集合である。よって $F$ は $k$-閉集合で、$S\times V$ は $k$-空間でない。

(4) 区間のループ空間に埋め込む．$A:=\{h\in C(I,I)\mid h(0)=h(1)=0\}$ にコンパクト開位相を入れる。これは一様距離の位相である（コンパクト開位相 の命題「コンパクトな定義域では一様収束の位相」）。$\tau(u):=(u$ と最も近い偶数との距離$)\in[0,1]$、$j_t(s):=4s(1-s)\tau(ts)$（$t\ge0$）とおくと $j_t\in A$、$\|j_t-j_u\|_\infty\le|t-u|$ なので $j\colon\mathbb R_{\ge0}\to A$ は連続である。小さい $s$ では $j_t(s)=4s^2(1-s)t$ なので $j$ は単射である。$g\in A$ について、$|s-s'|<\eta$ なら $|g(s)-g(s')|<1/9$ となる $\eta$ をとる。$t\ge9$、$1/t<\eta$ なら、偶数 $2k$ で $2k/t\in[\frac13,\frac13+\frac2t]$ となるものがあり、$s_1=2k/t$、$s_2=(2k+1)/t\in[\frac13,\frac23]$ で $j_t(s_1)=0$、$j_t(s_2)\ge8/9$ となる。$\|j_t-g\|_\infty<1/3$ なら $|g(s_1)-g(s_2)|>2/9$ となって矛盾するので、$g$ の $1/3$ 近傍は十分大きな $t$ の $j_t$ を含まない。したがって閉集合 $E\subset\mathbb R_{\ge0}$ について $j(E)$ の閉包の点は有界部分 $j(E\cap[0,T])$（コンパクトなので閉）の閉包に入り、$j$ は閉埋め込みである。次に $e\colon S\to\mathbb R_{\ge0}^J$ を $e(\ast):=0$、$e(n,m)_f:=f(n)/m$ で定める。各座標は $\ast$ で連続（$m>f(n)/\varepsilon$ の尾で $<\varepsilon$）で、座標 $f\equiv1$ と $f=\mathrm{id}$ が $m$ と $n$ を決めるので単射であり、$e(n,m)$ は像の中で孤立している。$\ast$ の近傍が閾値 $m_n$ で与えられたら $f(n)\ge m_n$ となる $f$ の座標で $\{y_f< 1\}$ をとれば、その逆像は近傍に入る。よって $e$ は埋め込みである。像は閉集合である：像の上で連続な恒等式 $y_f^2=y_{f^2}y_1$ が成り立つので閉包でも成り立ち、閉包の点 $y$ で $y_1=0$ なら $y=0=e(\ast)$、$y_1=1/m_0$ なら近くの像の点は $m=m_0$ のものに限られ、さらに $y_{\mathrm{id}}\in\{n/m_0\}$（閉離散）から $y=e(n_0,m_0)$ となる。したがって $j^J\circ e$ は $S$ から $A^J$ への閉埋め込みである。

(5) コンパクト開位相の段階．基点付き空間 $Z$ について $\Omega_{\mathrm{co}}Z:=\{\gamma\in C_{\mathrm{co}}(I,Z)\mid\gamma(0)=\gamma(1)=0\}$ とおく。$Z$ が $T_1$ なら点での評価が連続なのでこれは閉集合であり、prop-exp-embedding の証明の (d) により、$\Omega Z$（$\mathrm{Map}(I,Z)$ の部分空間）は $k(\Omega_{\mathrm{co}}Z)$ に等しい。直積への写像について $C_{\mathrm{co}}(I,\prod_jZ_j)\to\prod_jC_{\mathrm{co}}(I,Z_j)$ は同相である：各成分への連続性は射影との合成による。逆向きは、$g\in W(L,O)$（$L\subset I$ はコンパクト、$O$ は開）について、各 $s\in L$ で $g(s)\in R_s\subset O$ となる有限個の座標で決まる直方体 $R_s$ をとり、開被覆 $\{g^{-1}(R_s)\}$ の Lebesgue 数より小さい直径の有限個のコンパクト集合 $L_1,\dots,L_r$ で $L$ を覆うと、各 $L_h$ はある $g^{-1}(R_{s_h})$ に入り、「すべての $h$ で $h'(L_h)\subset R_{s_h}$」は有限個の座標の $W(L_h,\cdot)$ の条件なので $g$ の近傍を与え、それは $W(L,O)$ に含まれる。基点の条件は座標ごとなので $\Omega_{\mathrm{co}}(\prod_jZ_j)\cong\prod_j\Omega_{\mathrm{co}}Z_j$ である。よって $W:=A^J$ とおくと $\Omega_{\mathrm{co}}X\cong W\times\Omega_{\mathrm{co}}V$、$\Omega_{\mathrm{co}}Y\cong W\times\Omega_{\mathrm{co}}\mathbb R^2$ で、$\Omega_{\mathrm{co}}i$ は恒等写像と包含の積である（$\Omega_{\mathrm{co}}V$ は $\Omega_{\mathrm{co}}\mathbb R^2$ の部分空間）。三角形のループ $\ell_v(s):=\min(2s,2-2s)\,v$ について、$v\mapsto\ell_v$ は一様距離について等長なので、$\mathbb R^2$ から閉集合 $R:=\{h\mid h(s)=\min(2s,2-2s)h(\tfrac12)\ (\forall s)\}$ への同相であり、$V$ はスカラー倍で閉じているので $R\cap\Omega_{\mathrm{co}}V=\{\ell_v\mid v\in V\}$ は $V$ と同相な $\Omega_{\mathrm{co}}V$ の閉集合である。よって $\Omega_{\mathrm{co}}X$ の閉集合 $P_X\cong W\times V$ と $\Omega_{\mathrm{co}}Y$ の閉集合 $P_Y\cong W\times\mathbb R^2$ があり、$\Omega_{\mathrm{co}}i$ は $P_X$ を $P_Y$ へ包含 $W\times V\subset W\times\mathbb R^2$ として写す。

(6) $k$ 化したあと．(d) により、$\Omega X$ の部分空間 $P_X$ の位相は $k(W\times V)$、$\Omega Y$ の部分空間 $P_Y$ の位相は $k(W\times\mathbb R^2)$ である。$W$ と $kW$ への試験写像は一致するので、直積への試験写像も一致し、$k(W\times V)=k(kW\times V)$、$k(W\times\mathbb R^2)=k(kW\times\mathbb R^2)=kW\times\mathbb R^2$（最後は コンパクト生成空間 の定理「局所コンパクト空間との直積」）である。したがって $\Omega i$ を $P_X$ に制限すると、恒等写像 $k(kW\times V)\to kW\times V$ に、像 $kW\times V\subset kW\times\mathbb R^2$ の部分空間の位相（直積位相）を入れたものになる。(4) により $S$ は $W$、したがって $kW$ の閉集合で、(d) により $kW$ の部分空間 $S$ は $kS=S$ である。$S\times V$ は $kW\times V$ の閉部分空間なので、$kW\times V$ が $k$-空間なら $S\times V$ も $k$-空間になり、(3) に反する。よって $kW\times V$ は $k$-空間でなく、$k(kW\times V)\to kW\times V$ は同相でない。$\Omega i$ が埋め込みなら部分空間 $P_X$ への制限も像への同相になるはずなので、$\Omega i$ は埋め込みでない。