Baireの性質

$B:=\overline U\setminus U=\overline U\cap(X\setminus U)$ は閉集合の共通部分なので閉集合であり、$\overline B=B$ である。開集合 $W\subseteq B$ をとる。$W\subseteq\overline U$ なので、$W\neq\emptyset$ なら $W$ は $U$ と交わる（閉包の点のどの開近傍も $U$ と交わる）。しかし $W\subseteq X\setminus U$ だから $W\cap U=\emptyset$ であり、$W=\emptyset$ となる。よって $\operatorname{int}B=\emptyset$。
後半は、$U:=X\setminus F$ が開集合で、$F\setminus\operatorname{int}F=\overline U\setminus U$ となることから従う（$X\setminus\operatorname{int}F=\overline{X\setminus F}$ を使う）。$\square$

対称差は結合的で $(A\mathbin\triangle B)\mathbin\triangle(B\mathbin\triangle C)=A\mathbin\triangle C$ を満たし、2 つの痩せた集合の対称差は和集合に含まれるので痩せている。開集合 $U$ について $U\mathbin\triangle\overline U=\overline U\setminus U$ はlem-bp-boundaryにより疎なので、$A\mathbin\triangle U$ が痩せていれば $A\mathbin\triangle\overline U$ も痩せている。逆に閉集合 $F$ について $F\mathbin\triangle\operatorname{int}F=F\setminus\operatorname{int}F$ は疎なので、$A\mathbin\triangle F$ が痩せていれば $A\mathbin\triangle\operatorname{int}F$ も痩せている。$\square$

補集合。 $A\in\mathcal{BP}(X)$ とし、prop-bp-closedにより閉集合 $F$ で $A\mathbin\triangle F$ が痩せたものをとる。$X\setminus F$ は開集合で、
$$ (X\setminus A)\mathbin\triangle(X\setminus F)=A\mathbin\triangle F $$
が痩せているので $X\setminus A\in\mathcal{BP}(X)$ である（補集合をとっても、2 つの集合の違う点は変わらない）。
可算和。 $A_n\in\mathcal{BP}(X)$（$n<\omega$）とし、開集合 $U_n$ で $A_n\mathbin\triangle U_n$ が痩せたものをとる。$U:=\bigcup_nU_n$ は開集合で、
$$ \Bigl(\bigcup_nA_n\Bigr)\mathbin\triangle U\subseteq\bigcup_n(A_n\mathbin\triangle U_n) $$
である。実際、左辺の点 $x$ が $\bigcup_nA_n\setminus U$ にあれば、ある $n$ で $x\in A_n$、$x\notin U_n$ であり、$\bigl(U\setminus\bigcup_nA_n\bigr)$ にあれば、ある $n$ で $x\in U_n$、$x\notin A_n$ である。右辺は痩せた集合の可算和なので痩せており、その部分集合である左辺も痩せている。$\emptyset\in\mathcal{BP}(X)$ とあわせて 1 が示された。
生成。 開集合と痩せた集合が $\mathcal{BP}(X)$ に属することは定義の直後に見た。$\Sigma$ を開集合と痩せた集合から生成される $\sigma$-代数とすると、1 により $\Sigma\subseteq\mathcal{BP}(X)$ である。逆に $A\in\mathcal{BP}(X)$ は開集合 $U$ と痩せた集合 $M$ によって
$$ A=U\mathbin\triangle M=(U\setminus M)\cup(M\setminus U) $$
と書け、右辺は $U$、$M$ から補集合と有限個の和・共通部分で作れるので $A\in\Sigma$ である。
Borel 集合。 Borel 集合全体は開集合から生成される最小の $\sigma$-代数であり、$\mathcal{BP}(X)$ は開集合を含む $\sigma$-代数だから、Borel 集合全体を含む。$\square$

$q\in\mathbb Q$ に対し $V+q:=\{v+q\mid v\in V\}$ とおく。
段 1（平行移動の性質）。 $q\ne q'$ なら $V+q$ と $V+q'$ は交わらない。実際 $v+q=v'+q'$（$v,v'\in V$）なら $v-v'=q'-q\in\mathbb Q\setminus\{0\}$ なので $v\sim v'$、$v\ne v'$ となり、各同値類から 1 点しか選んでいないことに反する。また任意の $x\in\mathbb R$ はその同値類の代表 $v\in V$ と有理数だけ違うので、$\bigcup_{q\in\mathbb Q}(V+q)=\mathbb R$ である。平行移動 $x\mapsto x+q$ は同相写像なので、疎な集合・痩せた集合を疎な集合・痩せた集合に移す。
段 2（$V$ は痩せていない）。 $V$ が痩せていれば、段 1 により各 $V+q$ も痩せており、$\mathbb R=\bigcup_{q\in\mathbb Q}(V+q)$ は痩せた集合の可算和として痩せる。これは Baireのカテゴリー定理に反する。実際、完備距離空間 $\mathbb R$ は Baire 空間であり、同記事の「Baire 性の言い換え」により、$\mathbb R$ の空でない開集合（$\mathbb R$ 自身や開区間）は痩せていない。
段 3（矛盾）。 $V$ が Baire の性質をもつと仮定し、開集合 $U$ で $V\mathbin\triangle U$ が痩せたものをとる。$U=\emptyset$ なら $V=V\mathbin\triangle\emptyset$ が痩せて段 2 に反するので、$U$ は空でなく、開区間 $I=(a,b)\subseteq U$ を含む。このとき $I\setminus V\subseteq U\setminus V$ は痩せている。有理数 $q$ を $0< q< b-a$ となるようにとり、$J:=I\cap(I+q)=(a+q,b)$ とおく。$J$ は空でない開区間である。
$$ J\setminus V\subseteq I\setminus V,\qquad J\setminus(V+q)\subseteq(I+q)\setminus(V+q)=(I\setminus V)+q $$
はどちらも痩せている。段 1 により $V\cap(V+q)=\emptyset$ なので、$J$ の各点は $V$ か $V+q$ の少なくとも一方の外にあり、
$$ J\subseteq\bigl(J\setminus V\bigr)\cup\bigl(J\setminus(V+q)\bigr) $$
となる。右辺は痩せているので $J$ も痩せる。しかし段 2 で述べたとおり、$\mathbb R$ の空でない開集合 $J$ は痩せていない。矛盾である。$\square$

開集合 $U$ で $A\mathbin\triangle U$ が痩せたものをとる。$U=\emptyset$ なら $A$ 自身が痩せている。$U\neq\emptyset$ なら $U\setminus A\subseteq A\mathbin\triangle U$ は痩せている。$\square$