Richbergの近似定理

1. 変数を $\sigma=t+s$ と替えると $M_\eta(t)=\int\max_j\sigma_j\,\theta_\eta(\sigma-t)\,d\sigma$ で、被積分関数の $t$ についての導関数は $\theta_\eta$ の導関数で、$t$ が有界な範囲を動くとき $\sigma$ はコンパクト集合に限られる。よって積分記号下の微分により $M_\eta$ は $C^\infty$ 級である。$t\mapsto\max_j(t_j+s_j)$ は凸で各変数について非減少であり、非負の重みでの平均はこの性質を保つ。
2. 各 $k$ について $\max_j(t_j+s_j)\ge t_k+s_k$ で、$\int(t_k+s_k)\theta_\eta(s)ds=t_k$（$\int s_k\eta_k^{-1}\theta(s_k/\eta_k)ds_k=0$）なので $M_\eta(t)\ge t_k$ である。台の上では $s_j\le\eta_j$ なので上からの評価も従う。$p=1$ なら $\max$ は 1 項だけで、積分は $t_1$ である。
3. 定義から明らかである。$a$ で微分すると $\sum_j\partial_jM_\eta=1$ で、1 により $\partial_jM_\eta\ge0$ である。
4. $\theta_\eta$ の台の上では $t_k+s_k\le t_k+\eta_k\le\max_{j\ne k}(t_j-\eta_j)\le\max_{j\ne k}(t_j+s_j)$ なので、$\max$ から第 $k$ 項を除いてよい。残りの被積分関数は $s_k$ によらないので、$s_k$ について積分すると因子 $\int\eta_k^{-1}\theta(s_k/\eta_k)ds_k=1$ が消える。
5. 連鎖律により $\frac{\partial^2g}{\partial z_l\partial\bar z_m}=\sum_j\partial_jM_\eta\frac{\partial^2f_j}{\partial z_l\partial\bar z_m}+\sum_{j,k}\partial_j\partial_kM_\eta\frac{\partial f_j}{\partial\bar z_m}\frac{\partial f_k}{\partial z_l}$ である。$f_j$ は実数値なので $\partial f_j/\partial\bar z_m=\overline{\partial f_j/\partial z_m}$ で、これから等式が出る。$M_\eta$ は凸なので実対称行列 $(\partial_j\partial_kM_\eta)$ は半正定値であり、複素ベクトル $(\partial f_k(t))_k$ についての 2 次形式も $0$ 以上である。$\square$

段階 1：座標球の被覆。 各点 $x$ について、def-rich-strict の座標近傍 $(V,z)$ と $c>0$ をとり、$z(x)=0$ としてよい。$X$ は第 2 可算な局所コンパクト Hausdorff 空間なので、コンパクト集合の列 $K_1\subset\operatorname{int}K_2\subset K_2\subset\cdots$ で $\bigcup_mK_m=X$ となるものがある（$K_0=K_{-1}=\emptyset$ とおく）。コンパクト集合 $K_m\setminus\operatorname{int}K_{m-1}$ を、開集合 $\operatorname{int}K_{m+1}\setminus K_{m-2}$ に含まれる小さい座標球で有限個覆う。こうして、添字 $\alpha$ ごとに座標近傍 $(V_\alpha,z_\alpha)$、定数 $c_\alpha>0$、半径 $0< r''_\alpha< r'_\alpha< r_\alpha$ が定まり、次を満たすようにできる。

• $\{|z_\alpha|\le r_\alpha\}$ はコンパクトで、その近傍で $u-c_\alpha|z_\alpha|^2$ は多重劣調和である。
• $B_\alpha:=\{|z_\alpha|< r_\alpha\}$ の族は局所有限で、$B''_\alpha:=\{|z_\alpha|< r''_\alpha\}$ の族は $X$ を覆う。
  以下、$\hat r_\alpha:=\bigl((r'^2_\alpha+r^2_\alpha)/2\bigr)^{1/2}$ とおき、$\lambda_\alpha:=\min_{\overline{B_\alpha}}\lambda>0$ とする。

段階 2：各球の上の関数。 $\delta_\alpha>0$ を $\delta_\alpha< c_\alpha$、$\delta_\alpha(r'^2_\alpha+r^2_\alpha/3)< \lambda_\alpha$ ととり、$\eta_\alpha:=\delta_\alpha\min\{r'^2_\alpha-r''^2_\alpha,\ r^2_\alpha-r'^2_\alpha\}/6$ とおく。座標 $z_\alpha$ で $u$ を表した関数を軟化子 $\rho_s$ で平滑化したものを $u_s$ とする。$|w|^2$ の平滑化は $|w|^2+\int|y|^2\rho_s(y)dy$ なので、$u_s$ は「$u-c_\alpha|z_\alpha|^2$ の平滑化」と「$c_\alpha|z_\alpha|^2+$定数」の和であり、多重劣調和関数 の定理「多重劣調和関数の平滑化」により、$s$ が小さければ $\overline{B_\alpha}$ の近傍で $C^\infty$ 級、$L_{u_s}(t)\ge c_\alpha|t|^2$ である。$u$ は連続なので $\overline{B_\alpha}$ の上で一様に $u_s\to u$ となり、$s$ を小さくして $|u_s-u|< \eta_\alpha$ とできる。
$$ f_\alpha:=u_s+\delta_\alpha\bigl(r'^2_\alpha-|z_\alpha|^2\bigr) $$
とおくと、$f_\alpha$ は $\overline{B_\alpha}$ の近傍で $C^\infty$ 級で $L_{f_\alpha}(t)\ge(c_\alpha-\delta_\alpha)|t|^2$ であり、$\overline{B_\alpha}$ の上で次が成り立つ。

• (i) $f_\alpha+\eta_\alpha< u+\lambda_\alpha$。実際 $f_\alpha+\eta_\alpha\le u+2\eta_\alpha+\delta_\alpha r'^2_\alpha$ で、$2\eta_\alpha\le\delta_\alpha r^2_\alpha/3$ である。
• (ii) $B''_\alpha$ の上で $f_\alpha-\eta_\alpha>u$。実際そこでは $\delta_\alpha(r'^2_\alpha-|z_\alpha|^2)\ge6\eta_\alpha$ である。
• (iii) $\hat r_\alpha\le|z_\alpha|\le r_\alpha$ の上で $f_\alpha+\eta_\alpha< u$。実際そこでは $\delta_\alpha(r'^2_\alpha-|z_\alpha|^2)\le-\delta_\alpha(r^2_\alpha-r'^2_\alpha)/2\le-3\eta_\alpha$ である。

段階 3：貼り合わせ。 $x\in X$ について $I(x):=\{\alpha\mid x\in B_\alpha\}$ は有限集合で、空でない。
$$ \tilde u(x):=M_{(\eta_\alpha)_{\alpha\in I(x)}}\bigl((f_\alpha(x))_{\alpha\in I(x)}\bigr) $$
と定める。lem-rich-regmax の 2 により、$x\in B''_\beta$ となる $\beta$ をとると $\tilde u(x)\ge f_\beta(x)>u(x)+\eta_\beta>u(x)$ であり、(i) から $\tilde u(x)\le\max_{\alpha\in I(x)}(f_\alpha(x)+\eta_\alpha)< u(x)+\lambda(x)$ である。
段階 4：滑らかさと強多重劣調和性。 $x_0\in X$ を固定する。$J:=\{\alpha\mid x_0\in\overline{B_\alpha}\}$ は有限で、$J_1:=\{\alpha\in J\mid|z_\alpha(x_0)|\le\hat r_\alpha\}$、$J_2:=J\setminus J_1$ とおく。$x_0\in B''_{\beta_0}$ となる $\beta_0$ は $J_1$ に属する。局所有限性により、$x_0$ の開近傍 $W$ を、$J$ に属さない $\alpha$ の $B_\alpha$ と交わらず、$W\subset B''_{\beta_0}$、$\alpha\in J_1$ なら $W\subset B_\alpha$、$\alpha\in J_2$ なら $W\subset V_\alpha$ かつ $W$ の上で $|z_\alpha|>\hat r_\alpha$ となるようにとれる。$x\in W$ について $I(x)=J_1\cup\{\alpha\in J_2\mid x\in B_\alpha\}$ で、後者の $\alpha$ については (iii) と (ii) から
$$ f_\alpha(x)+\eta_\alpha< u(x)< f_{\beta_0}(x)-\eta_{\beta_0} $$
である。lem-rich-regmax の 4 を使ってこれらの成分を 1 つずつ除くと（$\beta_0$ は除かれずに残る）、$W$ の上で
$$ \tilde u=M_{(\eta_\alpha)_{\alpha\in J_1}}\bigl((f_\alpha)_{\alpha\in J_1}\bigr) $$
となる。右辺は $W$ の上で $C^\infty$ 級である。$x_0$ の 1 つの座標で見ると、各 $f_\alpha$（$\alpha\in J_1$）の Levi 形式は正定値で、lem-rich-regmax の 5 と 3 により $L_{\tilde u}$ は正定値な形式の凸結合以上なので正定値である。よって $\tilde u$ は $C^\infty$ 級の強多重劣調和関数である。$\square$

prf-rich-main を $X=U$、座標を $\mathbb C^n$ の座標の平行移動、$u=h$ として繰り返す。変えるのは段階 1 と 2 の次の点だけである。段階 1 の $c_\alpha$ は要らず、代わりに $\tau_\alpha:=\min_{\overline{B_\alpha}}\tau$ とおく。段階 2 では $\delta_\alpha\le\tau_\alpha/4$ ととる。$h_s:=h*\rho_s$ について、各 $t$ で $L_{h_s}(t)$ は超関数 $L_h(t)$ と $\rho_s\ge0$ の畳み込みなので、仮定から $L_{h_s}(t)\ge\sum_{j,k}(\beta_{jk}*\rho_s)t_j\bar t_k$ である。$\beta$ は $\overline{B_\alpha}$ の近傍で一様連続なので、$s$ を小さくすれば $\overline{B_\alpha}$ の上で $\sum(\beta_{jk}*\rho_s)t_j\bar t_k\ge\sum\beta_{jk}t_j\bar t_k-\frac{\tau_\alpha}4|t|^2$ となり、$f_\alpha:=h_s+\delta_\alpha(r'^2_\alpha-|z-a_\alpha|^2)$（$a_\alpha$ は球の中心）は $\overline{B_\alpha}$ の上で
$$ L_{f_\alpha}(t)\ge\sum\beta_{jk}t_j\bar t_k-\tfrac{\tau_\alpha}2|t|^2\ge\sum\beta_{jk}t_j\bar t_k-\tfrac\tau2|t|^2 $$
を満たす。(i)〜(iii) と段階 3・4 はそのまま成り立つ。段階 4 で、lem-rich-regmax の 5 と 3 により、$L_{\tilde h}(t)$ は右辺の形の下界の凸結合以上なので、$\sum\beta_{jk}t_j\bar t_k-\frac\tau2|t|^2$ 以上である。$\square$

thm-rich-main を $\lambda=1$ で使って $\tilde u$ を得る。$u< \tilde u$ なので $\{\tilde u< c\}\subset\{u< c\}$ であり、右辺は相対コンパクトである。$\square$

$\sup_X|\tilde u_m-u|\le1/m$ なので $u$ は連続関数の列の一様極限であり、連続である。$\square$