Keplerの法則（高校数学）

各成分を微分すると $0$ になり、$\vec L\cdot\vec p=0$ が展開で確かめられる。

1。$r^2=x^2+y^2$ を微分して $rr'=xx'+yy'$ である。商の微分により
$$ u_1'=\Bigl(\frac xr\Bigr)'=\frac{x'r-xr'}{r^2}=\frac{x'r^2-x(xx'+yy')}{r^3}=\frac{x'y^2-xyy'}{r^3}=\frac{-y(xy'-yx')}{r^3}=\frac h{r^2}\Bigl(-\frac yr\Bigr) $$
で、これは $\frac h{r^2}w_1$ である。同じ計算で $u_2'=\frac h{r^2}\cdot\frac xr=\frac h{r^2}w_2$ である。$\vec w\,'=(-u_2',u_1')=\frac h{r^2}(-u_1,-u_2)$ も分かる。
2。$\vec u(0)$ は単位ベクトルなので、$\vec u(0)=(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ となる $\theta_0$ がある。$\theta(t)=\theta_0+\displaystyle\int_0^t\frac h{r(s)^2}\,ds$ と定めると、$\theta'=\frac h{r^2}$ である（定積分で表された関数 の定理「積分の上端についての微分」。$\frac h{r^2}$ は連続である）。$\vec U=(\cos\theta,\sin\theta)$ とおき、$\vec D=\vec u-\vec U$ の長さの 2 乗を微分すると $0$ になることから、$\vec u=\vec U$ が分かる。

方針：掃く部分を極方程式の曲線で囲まれた部分として書き、極座標で表された図形の面積 の公式を、偏角から時刻への置換積分で書き直す。
段 1（掃く部分を極方程式で書く）。$\theta$ は連続な増加関数なので、逆関数 $t=\tau(\varphi)$ をもち、$\tau$ も連続である。$f(\varphi)=r(\tau(\varphi))$ とおくと、偏角が $\varphi$ のときの惑星と原点の距離が $f(\varphi)$ である。時刻 $t_1$ から $t_2$ までに線分が通る部分は、極座標で表された図形の面積 の定義「極方程式の曲線と 2 本の半直線で囲まれた部分」の $D(\theta(t_1),\theta(t_2))$ である。
段 2（面積の公式）。同じ記事の定理「極座標で表された図形の面積の公式」により、面積は $\dfrac12\displaystyle\int_{\theta(t_1)}^{\theta(t_2)}f(\varphi)^2\,d\varphi$ である。
段 3（置換積分）。$\varphi=\theta(t)$ と置換すると、$d\varphi=\theta'(t)\,dt$、$f(\theta(t))=r(t)$ なので、lem-kep-angle の 2 の $r^2\theta'=h$ を使って
$$ \frac12\int_{\theta(t_1)}^{\theta(t_2)}f(\varphi)^2\,d\varphi=\frac12\int_{t_1}^{t_2}r(t)^2\,\theta'(t)\,dt=\frac12\int_{t_1}^{t_2}h\,dt=\frac h2(t_2-t_1) $$
である（置換積分）。$\square$

$\vec p=r\vec u$ を積の微分で微分し、lem-kep-angle の 1 を使うと $\vec v=r'\vec u+r\vec u\,'=r'\vec u+\frac hr\vec w$ である。$\vec u\cdot\vec w=0$、$\vec w\cdot\vec w=1$ なので、$\vec w$ との内積をとると $\vec v\cdot\vec w=\frac hr$ である。$\square$

(E) から $\vec v\,'=-\frac\mu{r^2}\vec u$ である。lem-kep-angle の 1 の $\vec w\,'=-\frac h{r^2}\vec u$ を使うと $-\frac\mu{r^2}\vec u=\frac\mu h\vec w\,'$ なので、$\vec v\,'=\frac\mu h\vec w\,'$、つまり $\vec C\,'=\vec v\,'-\frac\mu h\vec w\,'=\vec0$ である。各成分の導関数が $0$ なので、$\vec C$ は一定である。$\square$

方針：$\vec C\cdot\vec w$ を 2 通りに計算して、$r$ を $\theta$ で表す。
段 1（内積の計算）。lem-kep-velocity と $|\vec w|=1$ から
$$ \vec C\cdot\vec w=\vec v\cdot\vec w-\frac\mu h\,\vec w\cdot\vec w=\frac hr-\frac\mu h $$
である。
段 2（座標軸を回す）。$c=|\vec C|$ とおく。座標軸を原点のまわりに回しても、(E) の形、$r$、$h$ は変わらず、偏角 $\theta$ が定数だけずれるだけである。そこで、$c>0$ なら $\vec C=(0,-c)$ となるように軸を回しておく（$c=0$ なら回さない）。どちらの場合も $\vec C=(0,-c)$ で、$\vec w=(-\sin\theta,\cos\theta)$ なので $\vec C\cdot\vec w=-c\cos\theta$ である。
段 3（$r$ を解く）。段 1 と段 2 から $\frac hr=\frac\mu h-c\cos\theta$ である。両辺に $\frac{hr}\mu$ を掛けると $\ell=r\bigl(1-e\cos\theta\bigr)$ となる（$e=\frac{hc}\mu$）。$\ell>0$、$r>0$ なので $1-e\cos\theta>0$ で、$r=\frac\ell{1-e\cos\theta}$ である。
段 4（曲線）。$e=0$ なら $r=\ell$ で一定なので、1 が成り立つ。$e>0$ なら $d=\frac\ell e$ とおくと、段 3 の式は $r=e(r\cos\theta+d)=e(x+d)$ と書ける。$r>0$ なので $x+d>0$ で、点 $\mathrm P(x,y)$ から準線 $x=-d$ までの距離は $\mathrm{PH}=x+d$ である。$\mathrm{PF}=r$ なので $\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}$ となる（2次曲線の焦点と準線 の命題「焦点を極とする極方程式」と同じ式である）。この曲線が $e$ の値によって楕円・放物線・双曲線になり、太陽 $\mathrm F$ がその焦点であることは、同じ記事の定理「離心率による 2 次曲線の分類」による。$e>1$ のとき、$x>-d$ の点だけを考えているので、双曲線の片方の枝である。$\square$

$|\vec C|^2=2E+\frac{\mu^2}{h^2}$ を示せば、両辺に $\frac{h^2}{\mu^2}$ を掛けて $e^2=\frac{2h^2}{\mu^2}E+1$ となる。

thm-kep-first の式で $1-e\cos\theta\ge1-e>0$ なので、$r\le R$（$R=\frac\ell{1-e}$）である。よって $\theta'=\frac h{r^2}\ge\frac h{R^2}>0$ で、$t\ge t_1$ では $\theta(t)-\theta(t_1)=\displaystyle\int_{t_1}^t\theta'(s)\,ds\ge\frac h{R^2}(t-t_1)$ となる。右辺は $t\to\infty$ でいくらでも大きくなるので、$\theta(t)-\theta(t_1)>2\pi$ となる $t$ がある。$\theta$ は連続な増加関数なので、中間値の定理（中間値の定理（高校数学））により $\theta(t_2)=\theta(t_1)+2\pi$ となる $t_2$ がただ 1 つある。$\cos\theta$ と $\sin\theta$ は周期 $2\pi$ をもつので、thm-kep-first の式から $r(t_2)=r(t_1)$、また $\vec u(t_2)=\vec u(t_1)$ である。よって $\vec p(t_2)=r\vec u$ は $\vec p(t_1)$ と同じ点である。$\square$

方針：1 周で掃く部分は楕円の内部全体なので、prop-kep-second で面積と時間を結ぶ。楕円の面積を $\ell$ と $e$ で書き、$h^2=\mu\ell$ を使う。
段 1（長半径と短半径）。$e>0$ のとき、2次曲線の焦点と準線 の定理「離心率による 2 次曲線の分類」の 2 で $ed=\ell$ とすると、軌道は長半径 $a=\dfrac{\ell}{1-e^2}$、短半径 $b=\dfrac{\ell}{\sqrt{1-e^2}}$ の楕円である。$e=0$ なら半径 $\ell$ の円で、$a=b=\ell$ である。どちらの場合も $a=\frac\ell{1-e^2}$、$b^2=a\ell$ が成り立つ。
段 2（1 周で掃く面積）。$t_1< t_2$ を lem-kep-period のとおりにとる。時刻 $t_1$ から $t_2$ までに太陽と惑星を結ぶ線分は、太陽から出るすべての向きをちょうど 1 回ずつ通り、その向きの軌道上の点まで届く。楕円の周と内部を合わせた図形はへこみのない図形（凸な図形）で、太陽はその内部にあるので、太陽から出る半直線は楕円の周とただ 1 点で交わり、太陽とその点を結ぶ線分は楕円の内部に入る。よって、通る部分は楕円の周と内部の全体である。その面積は $\pi ab$ である（靴ひも公式 の例「楕円の面積」。平行移動しても面積は変わらない）。
段 3（周期）。prop-kep-second により、この面積は $\frac h2(t_2-t_1)$ に等しい。よって $T=t_2-t_1=\dfrac{2\pi ab}h$ で、これは $t_1$ によらない。2 乗して段 1 の $b^2=a\ell$ と $h^2=\mu\ell$ を使うと
$$ T^2=\frac{4\pi^2a^2b^2}{h^2}=\frac{4\pi^2a^3\ell}{\mu\ell}=\frac{4\pi^2}\mu\,a^3 $$
である。$\square$