Lewyの拡張定理
概要
Lewyの拡張定理（Lewy extension theorem）とは、$\mathbb{C}^n$ の $C^4$ 級の実超曲面 $S=\{\rho=0\}$ の点 $z_0$ で Levi 形式が負になる複素接方向があるとき、$z_0$ の近傍 $\omega'$ を $\rho$ だけで選べて、$S$ の上で接 Cauchy–Riemann 方程式を満たす $u\in C^4(\omega')$ はすべて、$\rho>0$ の側で正則な $U\in C^1(\omega')$ で $S$ の上で $U=u$ となるものをもつという定理である。Levi 形式が恒等的に $0$ でなければ少なくとも片側へ延び、正負両方の値をとればその点の近くで $u$ は $S$ の上で正則関数に一致する。証明は、片側で $0$ になる $\bar\partial$ の解による。
前提知識: 多変数の正則関数, 擬凸領域, Hartogsの拡張定理, Cauchy–Pompeiuの積分公式
$\mathbb{C}^n$（$n\ge2$）の実超曲面 $S$ の上の関数 $u$ が、$S$ に沿った方向の Cauchy–Riemann 方程式（接 Cauchy–Riemann 方程式）を満たすとする。このような $u$ は、$S$ の片側で正則な関数の境界値になるだろうか。$S$ が平らな超平面なら、答えは一般には否である。ところが $S$ が点 $p$ で少しでも「複素方向に曲がって」いれば、すなわち $p$ での $S$ の Levi 形式が恒等的に $0$ でなければ、$S$ と $u$ が $C^4$ 級である限り、$p$ の近くで $u$ は少なくとも片側の正則関数の境界値になる。これを Lewy の拡張定理（Lewy extension theorem）という（H. Lewy, 1956）。
Hartogs–Bochnerの拡張定理 は、有界な領域の境界全体の上のデータを、外側が連結であるという大域的な条件のもとで内側へ延ばす定理であった。Lewy の拡張定理は 1 点の近くだけで成り立つ局所的な定理で、大域的な条件の代わりに Levi 形式の条件を使う。延びる側は Levi 形式の符号で決まり、強擬凸な領域の境界では内側である。証明は、Hartogs–Bochner の拡張定理の証明の「台がコンパクトな $\bar\partial$ の解」を、片側に台をもつ解に置き換えたものである。
実超曲面と Levi 形式
$\mathbb{C}^n$ の座標を $z=(z_1,\dots,z_n)$ とし、$C^1$ 級の関数 $u$ について $\bar\partial u:=\bigl(\frac{\partial u}{\partial\bar z_1},\dots,\frac{\partial u}{\partial\bar z_n}\bigr)$ とおく。$\mathbb{C}^n$ 値の関数 $h$ で各成分が $C^1$ 級のものが $\bar\partial$ 閉 とは $\frac{\partial h_j}{\partial\bar z_k}=\frac{\partial h_k}{\partial\bar z_j}$（すべての $j,k$）のことで、$C^2$ 級の $w$ について $\bar\partial w$ は $\bar\partial$ 閉である。$a,b\in\mathbb{C}^n$ について $a_jb_k=a_kb_j$（すべての $j,k$）を $a\wedge b=0$ と書く。$b\ne0$ なら、$a\wedge b=0$ は $a=\lambda b$（$\lambda=\langle a,b\rangle/|b|^2$、$\langle a,b\rangle:=\sum_ja_j\bar b_j$）と同値である（$b_k\ne0$ となる $k$ について $\lambda=a_k/b_k$ とおけばよい）。開集合の上の $C^1$ 級の関数 $u$ が $\bar\partial u=0$ を満たせば正則である（Hartogsの拡張定理 の命題「多変数の正則関数の基本性質」の 3）。
$\omega\subset\mathbb{C}^n$ を開集合、$\rho\in C^2(\omega)$ を実数値の関数とし、$S:=\{z\in\omega\mid\rho(z)=0\}$ の各点で $d\rho\ne0$ とする。$S$ を（$\rho$ で定まる）実超曲面、$\omega_\pm:=\{z\in\omega\mid\pm\rho(z)>0\}$ を $S$ の両側という。
- $u\in C^1(\omega)$ が $S$ の上で 接 Cauchy–Riemann 方程式 を満たすとは、$S$ の各点で $\bar\partial u\wedge\bar\partial\rho=0$ となることをいう。
- $p\in S$ での 複素接空間 を $T^{1,0}_pS:=\{w\in\mathbb{C}^n\mid\sum_j\frac{\partial\rho}{\partial z_j}(p)\,w_j=0\}$ とし、$w\in T^{1,0}_pS$ について
$$ L_\rho(p;w):=\sum_{j,k=1}^n\frac{\partial^2\rho}{\partial z_j\partial\bar z_k}(p)\,w_j\bar w_k $$
を $p$ での $S$ の Levi 形式 という。
これは 擬凸領域 の定義「$C^2$ 級の境界と Levi の意味の擬凸性」の複素接空間と Levi 形式を、領域の境界とは限らない超曲面について述べたものである。$\rho$ を $-\rho$ に替えると、$S$・$T^{1,0}_pS$・接 Cauchy–Riemann 方程式は変わらず、両側が入れ替わり、Levi 形式は符号が変わる。$\rho$ を $h\rho$（$h$ は正の $C^2$ 級関数）に替えると、Levi 形式は $h(p)$ 倍になる（同じ記事の定義の後の計算）。
境界で $0$ になる関数の微分は、定義関数の微分の倍数になる。
$\rho\in C^k(\omega)$（$1\le k\le4$）、$S$ を上のとおりとし、$g\in C^k(\omega)$ が $S$ の上で $0$ になるとする。
- $g/\rho$（$\omega\setminus S$ の上）は $\omega$ 上の $C^{k-1}$ 級関数 $h$ に延び、$g=\rho h$ である。
- $S$ の各点 $q$ で $dg(q)=h(q)\,d\rho(q)$、とくに $\bar\partial g(q)=h(q)\,\bar\partial\rho(q)$ である。
要点：$S$ の近くで $\rho$ を実座標の 1 つにとり、その座標について積分で表す。
証明を開く
$q\in S$ をとり、実座標 $x_1,\dots,x_{2n}$ を $\frac{\partial\rho}{\partial x_{2n}}(q)\ne0$ となるように番号づける。$\Phi(x):=(x_1,\dots,x_{2n-1},\rho(x))$ は $q$ で Jacobi 行列が可逆な $C^k$ 級写像なので、逆関数定理により $q$ の開近傍 $N$ から箱 $Q'\times(-c,c)$ への $C^k$ 級の微分同相である。座標 $(y,t)=\Phi(x)$ で $\tilde g:=g\circ\Phi^{-1}$ とおくと $\tilde g(y,0)=0$ なので、微分積分学の基本定理により $\tilde g(y,t)=t\,\tilde h(y,t)$、$\tilde h(y,t):=\int_0^1\frac{\partial\tilde g}{\partial t}(y,\sigma t)\,d\sigma$ である。積分記号下の微分により $\tilde h$ は $C^{k-1}$ 級で、$N\setminus S$ の上で $g/\rho=\tilde h\circ\Phi$ である。こうして 1 を得る。2 は $g=\rho h$ と $\rho(q)=0$ から、$h$ が連続なら $g(q+x)=(d\rho(q)x+o(|x|))(h(q)+o(1))=h(q)d\rho(q)x+o(|x|)$ となることによる。$\bar\partial$ は $dg$ と $d\rho$ の $d\bar z_j$ の係数をとったものである。$\square$
$u\in C^1(\omega)$ とし、$U\in C^1(\omega)$ が $\omega_+$ の上で $\bar\partial U=0$ を満たし、$S$ の上で $U=u$ となるなら、$u$ は $S$ の上で接 Cauchy–Riemann 方程式を満たす。
$S$ の点は $d\rho\ne0$ なので $\omega_+$ の点の極限であり、連続性により $S$ の上でも $\bar\partial U=0$ である。lem-lewy-vanish の 2 を $k=1$、$g:=U-u$ に使うと、$S$ の上で $\bar\partial u=\bar\partial U-h\,\bar\partial\rho=-h\,\bar\partial\rho$ なので、$\bar\partial u\wedge\bar\partial\rho=0$ である。$\square$
主定理
$\omega\subset\mathbb{C}^n$ を開集合、$\rho\in C^4(\omega)$ を実数値の関数とし、$z_0\in\omega$ で $\rho(z_0)=0$、$d\rho(z_0)\ne0$ とする（$\omega$ を $z_0$ の近傍に縮めて、$S$ の各点で $d\rho\ne0$ としておく）。ある $w\in T^{1,0}_{z_0}S$ について $L_\rho(z_0;w)< 0$ であるとする。このとき $z_0$ の開近傍 $\omega'\subset\omega$ があって、接 Cauchy–Riemann 方程式を $S\cap\omega'$ の上で満たすすべての $u\in C^4(\omega')$ に対し、$U\in C^1(\omega')$ で、$S\cap\omega'$ の上で $U=u$、$\omega'_+:=\{z\in\omega'\mid\rho(z)>0\}$ の上で $\bar\partial U=0$ となるものが存在する。とくに $U$ は $\omega'_+$ の上で正則である。
近傍 $\omega'$ は $\rho$ だけで決まり、$u$ によらない。仮定から $T^{1,0}_{z_0}S\ne0$ なので $n\ge2$ である。証明は 4 つの段からなる。座標を選んで $\rho$ を標準形にし（lem-lewy-normal）、$t$ 方向の円板の中で $\rho< 0$ の部分が連結になる円筒 $D$ をとり（lem-lewy-cylinder）、$D$ の上で $\rho< 0$ の側で $0$ になる $\bar\partial$ の解を作る（lem-lewy-solution）。最後に Hartogs–Bochner の拡張定理と同じ境界での補正を組み合わせる（prf-lewy-main）。
定理の仮定のもとで、$z_0$ の近傍から $0$ の近傍への双正則写像 $\Psi$ で $\Psi(z_0)=0$ となるものがあって、座標 $\zeta=\Psi(z)$ で
$$
\rho=\operatorname{Im}\zeta_n+\sum_{j,k=1}^nA_{jk}\zeta_j\bar\zeta_k+R(\zeta),\qquad |R(\zeta)|\le C|\zeta|^3,\qquad A_{11}< 0
$$
となる。ここで $(A_{jk})$ は Hermite 行列である。
要点：線形な座標変換で 1 次の項を $\operatorname{Im}\zeta_n$ に、負の方向を第 1 座標にし、2 次の正則な項を $\zeta_n$ に吸収する。
証明を開く
$z_0=0$ とし、$\rho_j:=\frac{\partial\rho}{\partial z_j}(0)$ とおく。$|w|=1$ としてよい。$T:=T^{1,0}_0S$ の基底 $v_1=w,v_2,\dots,v_{n-1}$ と、$\sum_j\rho_jv_{n,j}=\frac1{2i}$ となる $v_n$ をとり、$z=\sum_k\zeta_kv_k$ で座標 $\zeta$ を定める。すると $\sum_j\rho_jz_j=\zeta_n/(2i)$ なので、$\rho$ の 1 次の部分は $2\operatorname{Re}\sum_j\rho_jz_j=\operatorname{Im}\zeta_n$ であり、Taylor の定理（$\rho$ は $C^3$ 級）により $\rho=\operatorname{Im}\zeta_n+\sum A_{jk}\zeta_j\bar\zeta_k+\operatorname{Re}\sum B_{jk}\zeta_j\zeta_k+O(|\zeta|^3)$、$A_{jk}=\frac{\partial^2\rho}{\partial\zeta_j\partial\bar\zeta_k}(0)$、$B_{jk}=\frac{\partial^2\rho}{\partial\zeta_j\partial\zeta_k}(0)$ である。$\frac{\partial}{\partial\zeta_1}=\sum_jw_j\frac{\partial}{\partial z_j}$ なので $A_{11}=L_\rho(0;w)< 0$ である。次に $\zeta'_j:=\zeta_j$（$j< n$）、$\zeta'_n:=\zeta_n+i\sum B_{jk}\zeta_j\zeta_k$ とおくと、この多項式写像は $0$ での微分が恒等写像なので、複素解析空間の特異点 の補題「正則写像の逆関数定理」により $0$ の近くで双正則であり、逆写像は $\zeta=\zeta'+O(|\zeta'|^2)$ の形である。$\operatorname{Im}\zeta'_n=\operatorname{Im}\zeta_n+\operatorname{Re}\sum B_{jk}\zeta_j\zeta_k$ なので、$\rho=\operatorname{Im}\zeta'_n+\sum A_{jk}\zeta'_j\bar\zeta'_k+O(|\zeta'|^3)$ となる（Hermite 形式の部分の $\zeta$ と $\zeta'$ の違いは 3 次以上）。$\square$
以下、標準形の座標を $(t,b)$、$t:=\zeta_1$、$b:=(\zeta_2,\dots,\zeta_n)\in\mathbb{C}^{n-1}$ と書き、$B_\varepsilon:=\{b\mid|b|< \varepsilon\}$ とおく。
標準形の座標で、$\delta>0$ と $\varepsilon>0$ を十分小さくとると、$D:=\{|t|< \delta\}\times B_\varepsilon$ は次を満たす。
- $D$ の上で $d\rho\ne0$、$\frac{\partial^2\rho}{\partial t\partial\bar t}< 0$ である。
- $\{\delta/2\le|t|< \delta\}\times B_\varepsilon$ の上で $\rho< 0$ である。
- 各 $b\in B_\varepsilon$ について、$E_b:=\{t\mid|t|< \delta,\ \rho(t,b)< 0\}$ は連結である。
- 空でない開集合 $V\subset B_\varepsilon$ があって、$b\in V$ なら $|t|< \delta$ のすべての $t$ で $\rho(t,b)< 0$ である。
要点：$t$ 方向には $\rho$ は $-a|t|^2$ のように振る舞い、$b$ を $\operatorname{Im}\zeta_n< 0$ の方へ少しずらすと円板全体で負になる。円板の中の負の部分が連結なのは、$t$ について優調和だからである。
証明を開く
$a:=-A_{11}>0$ とし、$0$ の近くで $|A_{jk}|\le C$、$|R|\le C|\zeta|^3$ とする。$\delta$ を小さくとって、$\{|t|\le\delta,|b|\le\delta\}$ の上で 1 が成り立ち、$\rho(t,0)=-a|t|^2+R(t,0)\le-\frac a2|t|^2$（$|t|\le\delta$）、$4C\delta\le\frac a4$ となるようにする。コンパクト集合 $\{\delta/2\le|t|\le\delta\}\times\{0\}$ の上で $\rho\le-a\delta^2/8$ なので、一様連続性により $\varepsilon\le\delta$ をとって 2 が成り立つようにできる。
3：$E_b$ は 2 により円環 $\{\delta/2< |t|< \delta\}$ を含む。円環と交わらない $E_b$ の連結成分 $E$ があるとすると、$E$ の閉包は $\{|t|\le\delta/2\}$ に含まれ、$E$ の境界の点では $\rho(\cdot,b)=0$ である（$\rho< 0$ の点なら $E$ に属してしまう）。$\rho(\cdot,b)$ は $\overline E$ の上で負の最小値を $E$ の内部の点でとるが、そこでは $\frac{\partial^2\rho}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\rho}{\partial y^2}\ge0$（$t=x+iy$）でなければならず、これは $4\frac{\partial^2\rho}{\partial t\partial\bar t}< 0$ に反する。よって $E_b$ の連結成分はすべて連結な円環と交わり、$E_b$ は連結である。
4：$0< \tau< \varepsilon$ について $b_\tau:=(0,\dots,0,-i\tau)$ とおくと、$\zeta=(t,b_\tau)$ で $\operatorname{Im}\zeta_n=-\tau$ であり、$\rho(t,b_\tau)=-\tau-a|t|^2+2\operatorname{Re}(iA_{1n}\tau t)+A_{nn}\tau^2+R$ である（$n=2$ でも同じ）。$|2\operatorname{Re}(iA_{1n}\tau t)|\le2C\tau|t|\le\frac a4|t|^2+\frac{4C^2}a\tau^2$、$|R|\le4C(|t|^3+\tau^3)\le\frac a4|t|^2+4C\tau^3$ なので、$\rho(t,b_\tau)\le-\tau-\frac a2|t|^2+C'\tau^2+4C\tau^3$（$C':=C+4C^2/a$）である。$\tau$ を小さくとると右辺は $|t|\le\delta$ で $-\tau/2$ 以下になる。コンパクト集合 $\{|t|\le\delta\}$ の上での連続性により、$b_\tau$ の近傍 $V$ で 4 が成り立つ。$\square$
$D$ を lem-lewy-cylinder の円筒とし、$f=(f_1,\dots,f_n)$ を $D$ の上の $C^1$ 級で $\bar\partial$ 閉な $\mathbb{C}^n$ 値関数で、$D\cap\{\rho< 0\}$ の上で $f=0$ となるものとする。このとき $v\in C^1(D)$ で、$D$ の上で $\bar\partial v=f$、$D\cap\{\rho\le0\}$ の上で $v=0$ となるものがある。
$f$ は円環 $\{\delta/2< |t|< \delta\}\times B_\varepsilon$ の上で $0$ なので（lem-lewy-cylinder の 2）、$|t|\ge\delta$ で $0$ とおいて $\mathbb{C}\times B_\varepsilon$ 上の $C^1$ 級で $\bar\partial$ 閉な関数 $F$ に延びる。$F$ の $t$ についての台は $\{|t|\le\delta/2\}$ に入る。
$$
v(t,b):=\frac1\pi\int_{\mathbb{C}}F_1(t-\lambda,b)\,\frac{dA(\lambda)}{\lambda}
$$
とおく。Hartogsの拡張定理 の補題「台がコンパクトな解」の証明と同じく（$b$ の範囲は各点の近くのコンパクト集合に限ればよい）、$v$ は $C^1$ 級で、同じ記事の補題「台がコンパクトな関数の Cauchy–Pompeiu の公式」と $\bar\partial$ 閉であることから $\bar\partial v=F$ である。
$v$ が $\rho\le0$ の側で $0$ になることを示す。$b\in V$（lem-lewy-cylinder の 4）なら $F(\cdot,b)=0$ なので $v(\cdot,b)=0$ である。$|t|>\delta$ を固定すると、$b$ について $\bar\partial v=F=0$ なので $b\mapsto v(t,b)$ は連結な $B_\varepsilon$ の上で正則で、開集合 $V$ の上で $0$ だから、一致の定理 により $B_\varepsilon$ 全体で $0$ である。次に $b\in B_\varepsilon$ を固定する。$G_b:=E_b\cup\{|t|>\delta/2\}$ は、連結な $E_b$（lem-lewy-cylinder の 3）と連結な $\{|t|>\delta/2\}$ が円環で交わるので連結である。$G_b$ の上では $F(\cdot,b)=0$ なので $t\mapsto v(t,b)$ は正則で、$|t|>\delta$ で $0$ だから、$G_b$ 全体で $0$ である。よって $D\cap\{\rho< 0\}$ の上で $v=0$ であり、$d\rho\ne0$ なので $S\cap D$ の点は $\rho< 0$ の点の極限だから、連続性により $D\cap\{\rho\le0\}$ の上でも $v=0$ である。$\square$
$t$ 方向にしか積分しないので、$f$ の台が全体でコンパクトである必要はない。必要なのは、$t$ の円板の縁の近くで $f=0$ であること（2）と、解が $0$ になる場所を広げるための $b$ の開集合 $V$（4）と $E_b$ の連結性（3）である。ここで負の Levi 方向が使われる。
次の箱が thm-lewy-main の証明である。
lem-lewy-normal の $\Psi$ と lem-lewy-cylinder の $D$ をとり、$\omega':=\Psi^{-1}(D)$ とおく。$\Psi$ は双正則なので、$\bar\partial(g\circ\Psi^{-1})$ は $(\bar\partial g)\circ\Psi^{-1}$ に可逆な行列（$\Psi^{-1}$ の Jacobi 行列の共役）を右から掛けたものであり、接 Cauchy–Riemann 方程式、$C^k$ 級であること、$\bar\partial U=0$ であることは座標を替えても保たれる。よって $D$ の上で示せばよい。$u\in C^4(D)$ が $S\cap D$ の上で接 Cauchy–Riemann 方程式を満たすとする。
1. 境界での補正。 $b_0:=\bar\partial\rho$ は $D$ の上で $0$ でない（$\rho$ は実数値で $d\rho\ne0$）。$a:=\bar\partial u$、$l_0:=\langle a,b_0\rangle/|b_0|^2\in C^3(D)$ とおくと、$S$ の上で $a=l_0b_0$ なので、lem-lewy-vanish の 1 により $a-l_0b_0=\rho h_1$、$h_1\in C^2(D)$ である。$h_2:=h_1-\bar\partial l_0\in C^2(D)$ とおくと $\bar\partial(u-l_0\rho)=\rho h_2$ であり、これが $\bar\partial$ 閉であることを成分で書いて $S$ に制限すると $S$ の上で $h_2\wedge b_0=0$ となる。$l_3:=\langle h_2,b_0\rangle/|b_0|^2\in C^2(D)$ について $h_2-l_3b_0=\rho h_4$、$h_4\in C^1(D)$ と書けるので、
$$
U_0:=u-l_0\rho-\tfrac12l_3\rho^2\in C^2(D),\qquad\bar\partial U_0=\rho^2F,\quad F:=h_4-\tfrac12\bar\partial l_3\in C^1(D)
$$
であり、$S$ の上で $U_0=u$ である（Hartogs–Bochnerの拡張定理 の主定理の証明の 1・2 と同じ計算）。
2. 片側へ $0$ で延ばす。 $\rho_+:=\max(\rho,0)$ とし、$f:=\rho_+^2F$ とおく。$s\mapsto\max(s,0)^2$ は $C^1$ 級で微分が $2\max(s,0)$ なので、$f\in C^1(D)$ であり、$S$ の上で $f$ の 1 階の偏導関数はすべて $0$ である。$f$ は $\rho>0$ では $\bar\partial U_0$ に等しいので $\bar\partial$ 閉、$\rho< 0$ では $0$、$S$ の上では 1 階の偏導関数がすべて $0$ なので、$D$ 全体で $\bar\partial$ 閉である。また $\rho< 0$ の側で $f=0$ である。
3. 延長。 lem-lewy-solution の $v$ をとり、$U:=U_0-v\in C^1(D)$ とおく。$S\cap D$ の上で $v=0$ なので $U=u$ であり、$D\cap\{\rho>0\}$ の上で $\bar\partial U=\rho^2F-f=0$ である。$C^1$ 級で $\bar\partial U=0$ なので、$U$ はそこで正則である。$\square$
証明の筋は Hor90 Theorem 2.6.13（pp. 51–52）と同じである（同書の第 II 章の Notes、p. 60 は、この定理を本質的に Lewy によるとしている）。同書は、$t$ の円板の中で $\rho< 0$ の部分が連結であることを述べた後、片側に台をもつ解の構成と境界での補正を Theorem 2.3.1・2.3.2′ の証明の繰り返しとして述べている。この記事の lem-lewy-cylinder の 2・4 と lem-lewy-solution はその部分を書き下したものである。
系：Levi 形式が 0 でない点での延長
主定理は負の方向をもつことを仮定するが、$\rho$ を $-\rho$ に替えれば正の方向も使える。
$\rho\in C^4(\omega)$、$p\in S$、$d\rho(p)\ne0$ とし、Levi 形式 $L_\rho(p;\cdot)$ は $T^{1,0}_pS$ の上で恒等的に $0$ ではないとする。$u\in C^4(\omega)$ が $S$ の上で接 Cauchy–Riemann 方程式を満たすとする。
- $\sigma=\rho$ か $\sigma=-\rho$ のどちらかについて、$p$ の開近傍 $\omega'$ と $U\in C^1(\omega')$ で、$S\cap\omega'$ の上で $U=u$、$\{z\in\omega'\mid\sigma(z)>0\}$ の上で $U$ が正則となるものがある。$L_\rho(p;w)< 0$ となる $w$ があれば $\sigma=\rho$ に、$L_\rho(p;w)>0$ となる $w$ があれば $\sigma=-\rho$ にとれる。
- $L_\rho(p;\cdot)$ が正の値と負の値の両方をとるなら、$p$ の開近傍 $\omega''$ の上の正則関数 $H$ で、$S\cap\omega''$ の上で $H=u$ となるものがある。
- Hermite 形式 $L(v,w):=\sum_{j,k}\frac{\partial^2\rho}{\partial z_j\partial\bar z_k}(p)v_j\bar w_k$ が $T^{1,0}_pS$ の上で $L(w,w)=0$ をすべての $w$ について満たすなら、$4L(v,w)=\sum_{m=0}^3i^mL(v+i^mw,v+i^mw)$ により $L=0$ となる。よって $L_\rho(p;w)\ne0$ となる $w$ がある。$L_\rho(p;w)< 0$ なら thm-lewy-main を $\rho$ に、$L_\rho(p;w)>0$ なら $L_{-\rho}(p;w)=-L_\rho(p;w)< 0$ なので $-\rho$ に使う（接 Cauchy–Riemann 方程式は $\bar\partial(-\rho)=-\bar\partial\rho$ なので変わらない）。
- 1 により $\rho$ と $-\rho$ の両方について延長 $U_1\in C^1(\omega'_1)$、$U_2\in C^1(\omega'_2)$ があり、$U_1$ は $\rho\ge0$ の側で、$U_2$ は $\rho\le0$ の側で $\bar\partial U=0$ を満たす（$S$ の上では連続性による）。$\omega'':=\omega'_1\cap\omega'_2$ の上で $g:=U_1-U_2$ は $C^1$ 級で $S$ の上で $0$ だから、lem-lewy-vanish の 2 により $S$ の上で $dg=h\,d\rho$、$\bar\partial g=h\,\bar\partial\rho$ である。$S$ の上では $\bar\partial g=0-0=0$ で $\bar\partial\rho\ne0$ なので $h=0$、したがって $S$ の上で $dg=0$ である。$H$ を $\rho\ge0$ では $U_1$、$\rho< 0$ では $U_2$ とおく。$q\in S$ について、$g$ は $C^1$ 級で $g(q)=0$、$dg(q)=0$ なので $g(z)=o(|z-q|)$ であり、$H-U_1$ は $\rho\ge0$ で $0$、$\rho< 0$ で $-g$ なので、$H$ は $q$ で微分可能で $dH(q)=dU_1(q)=dU_2(q)$ である。$dH$ は $\rho\ge0$ で $dU_1$、$\rho< 0$ で $dU_2$ に等しく、$S$ の上で両者が一致するので連続である。よって $H\in C^1(\omega'')$ で、$\bar\partial H=0$ が $\omega''$ 全体で成り立ち、$H$ は正則である。$\square$
例
- 球面。 $\rho=|z|^2-1$（$n\ge2$）では $\frac{\partial^2\rho}{\partial z_j\partial\bar z_k}=\delta_{jk}$ なので、$L_\rho(p;w)=|w|^2>0$（$w\ne0$）である。cor-lewy-one-side の 1 により $\sigma=-\rho$ にとれ、接 Cauchy–Riemann 方程式を満たす $C^4$ 級の関数は、球面の各点の近くで球の内側 $\{-\rho>0\}$ へ延びる。これは Hartogs–Bochnerの拡張定理 で球全体の内側へ延びることの局所版である。
- 符号が混ざる超曲面。 $n=3$、$\rho=\operatorname{Im}z_3+|z_1|^2-|z_2|^2$ では、原点で $T^{1,0}_0S=\{w_3=0\}$ の上の Levi 形式は $|w_1|^2-|w_2|^2$ で、正の値も負の値もとる。cor-lewy-one-side の 2 により、$S$ の上で接 Cauchy–Riemann 方程式を満たす $C^4$ 級の関数は、原点の近くで正則関数の制限である。
- 平らな超平面。 $\rho=\operatorname{Im}z_n$ では Levi 形式は恒等的に $0$ であり、主定理も系も使えない。実際、延長がない例がある（下の表の 2 行目）。
反例：仮定を外した場合
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 負の方向がある（主定理） | $n=2$、$\rho=\lvert z_1\rvert^2-\operatorname{Im}z_2$、$z_0=0$ | どの近傍 $\omega'$ をとっても、$\omega'_+$ へ延びない $u$ がある |
| Levi 形式が恒等的に $0$ でない（系の 1） | $n=2$、$\rho=\operatorname{Im}z_2$、$u=s(\operatorname{Re}z_2)$（$s(x)=e^{-1/x^2}$（$x>0$）、$s(x)=0$（$x\le0$）） | どちら側にも延長がない |
| 接 Cauchy–Riemann 方程式 | $n=2$、$\rho=\operatorname{Im}z_2-\lvert z_1\rvert^2$、$u=\bar z_1$ | $\omega'_+$ への延長がない |
各行で、外した条件以外が満たされていることと、延長がないことを確かめる。
3 つの反例の確かめを開く
1 行目：$d\rho\ne0$ で、$\frac{\partial\rho}{\partial z_2}(0)=\frac i2$、$\frac{\partial\rho}{\partial z_1}(0)=0$ なので $T^{1,0}_0S=\{w_2=0\}$、Levi 形式は $|w_1|^2\ge0$ で負の方向がない。近傍 $\omega'$ を任意にとり、$\{(0,\zeta)\mid|\zeta|\le2\varepsilon\}\subset\omega'$ となる $\varepsilon>0$ をとる。$\chi\in C^\infty(\mathbb{R})$ を $y\ge-\varepsilon/3$ で $1$、$y\le-2\varepsilon/3$ で $0$ とし、$u:=\chi(\operatorname{Im}z_2)/(z_2+i\varepsilon)$ とおくと $u\in C^\infty(\mathbb{C}^2)$ である。$S\subset\{\operatorname{Im}z_2\ge0\}$ の近くで $u=1/(z_2+i\varepsilon)$ は正則なので、方程式を満たす。延長 $U$ があるとし、$h(\zeta):=U(0,\zeta)$ とおく。直線 $z_1=0$ の上で $\omega'_+$ は $\operatorname{Im}\zeta< 0$ の側、$S$ は実軸である。$\varphi(\zeta):=h(-\zeta)-1/(-\zeta+i\varepsilon)$ は、$\Omega:=\{|\zeta|< 2\varepsilon\}\setminus\{\pm i\varepsilon\}$ の上半分 $\Omega^+$（連結）で正則、$\Omega^+$ と実軸の区間で連続で、実軸の上で $0$ である。Schwarzの鏡像原理 の系「境界の線分で 0 になる正則関数」により $\Omega^+$ で $\varphi=0$、すなわち $|\zeta|< 2\varepsilon$、$\operatorname{Im}\zeta< 0$、$\zeta\ne-i\varepsilon$ で $h(\zeta)=1/(\zeta+i\varepsilon)$ である。$h$ は $-i\varepsilon$ で連続だから近くで有界だが、右辺は有界でなく、矛盾する。
2 行目：Levi 形式は $0$ である。$s$ は $C^\infty$ 級で、$\bar\partial u=(0,\frac12s'(\operatorname{Re}z_2))$、$\bar\partial\rho=(0,\frac i2)$ なので方程式を満たす。原点の近傍 $\omega'$ と、$\omega'_+$ の上で正則で $S$ まで連続な $U$ で $S$ の上で $U=u$ となるものがあるとする。$\{(0,\zeta)\mid|\zeta|< r\}\subset\omega'$ とし、$\psi(\zeta):=U(0,\zeta)$ を上半円板で考えると、実軸の区間 $(-r,0)$ の上で $\psi=s=0$ なので、Schwarzの鏡像原理 の同じ系により上半円板で $\psi=0$、連続性により $(0,r)$ でも $\psi=0$ となるが、そこでは $s>0$ である。反対側 $\omega'_-$ への延長については $U(0,-\zeta)$ を上半円板で考えれば同じである。
3 行目：$\frac{\partial\rho}{\partial\bar z_1}=-z_1$、$\frac{\partial\rho}{\partial\bar z_2}=\frac i2$ で、$T^{1,0}_0S=\{w_2=0\}$ の上の Levi 形式は $-|w_1|^2$ なので、負の方向 $w=(1,0)$ がある。$\bar\partial u=(1,0)$ なので、外積の成分は $1\cdot\frac i2-0\cdot(-z_1)=\frac i2\ne0$ であり、方程式はどの点でも成り立たない。cor-lewy-necessity により、どの近傍でも片側への延長はない。
1 行目の $\rho$ は $-\rho$ について負の方向をもつので、cor-lewy-one-side の 1 により、延長は反対側 $\{\operatorname{Im}z_2>|z_1|^2\}$ へはある。1 行目と 3 行目の $\rho$ は符号だけが違う。
補足
延長が得られる側 $\{\rho>0\}=\{-\rho< 0\}$ は、定義関数 $-\rho$ の Levi 形式が方向 $w$ で正になる側である。擬凸領域 の定義「$C^2$ 級の境界と Levi の意味の擬凸性」の言葉では、強擬凸な領域の境界の上の関数は内側へ延び、境界の外側へは一般には延びない（表の 1 行目、および ex-lewy-examples の 1）。延長は $p$ の近くの局所的なもので、Hartogs–Bochnerの拡張定理 のような大域的な仮定は使わない。
関連項目
参考文献
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