傍接円をもつ四角形

4 点 $A(0,0)$、$B(3,0)$、$C\left(\dfrac{24}{11},\dfrac{12}{11}\right)$、$D(0,2)$ を頂点とする四角形 $ABCD$ と、中心 $I(6,6)$、半径 $6$ の円 $\omega$ を考える。
(1) 辺の直線。直線 $AB$ は $y=0$、直線 $DA$ は $x=0$ である。直線 $BC$ は $4x+3y=12$、直線 $CD$ は $5x+12y=24$ である。実際、$B(3,0)$ は $4\cdot3+0=12$ を、$C$ は $4\cdot\dfrac{24}{11}+3\cdot\dfrac{12}{11}=\dfrac{132}{11}=12$ を満たし、$D(0,2)$ は $0+24=24$ を、$C$ は $5\cdot\dfrac{24}{11}+12\cdot\dfrac{12}{11}=\dfrac{264}{11}=24$ を満たす。$C$ は 2 本の直線 $4x+3y=12$ と $5x+12y=24$ の交点として求めた（1 本目を 4 倍して引くと $11x=24$）。
(2) 円と 4 本の直線の距離。$I(6,6)$ から直線 $y=0$、$x=0$ までの距離はどちらも $6$ である。直線 $BC$、$CD$ までの距離は
$$ \frac{\lvert4\cdot6+3\cdot6-12\rvert}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{30}5=6,\qquad \frac{\lvert5\cdot6+12\cdot6-24\rvert}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{78}{13}=6 $$
である。4 本の直線までの距離がどれも半径 $6$ なので、円 $\omega$ は 4 本の直線に接する。
(3) 接点。$I$ から 4 本の直線に下ろした垂線の足が接点で、直線 $AB$ 上は $P(6,0)$、直線 $BC$ 上は $Q\left(\dfrac65,\dfrac{12}5\right)$、直線 $CD$ 上は $R\left(\dfrac{48}{13},\dfrac6{13}\right)$、直線 $DA$ 上は $S(0,6)$ である。$P$ は辺 $AB$ を $B$ の先へ延ばした所に、$S$ は辺 $AD$ を $D$ の先へ延ばした所にある。$Q$ は $\overrightarrow{BQ}=\left(-\dfrac95,\dfrac{12}5\right)=3\cdot\left(-\dfrac35,\dfrac45\right)$、$\overrightarrow{BC}=\left(-\dfrac9{11},\dfrac{12}{11}\right)=\dfrac{15}{11}\left(-\dfrac35,\dfrac45\right)$ なので、半直線 $BC$ の上で $B$ から距離 $3$、$C$ は距離 $\dfrac{15}{11}$ にある。つまり $Q$ は辺 $BC$ を $C$ の先へ延ばした所にある。同じく $R$ は半直線 $DC$ の上で $D$ から距離 $4$、$C$ は距離 $\dfrac{26}{11}$ にあり、$R$ は辺 $DC$ を $C$ の先へ延ばした所にある。円は四角形の外にあり、頂点 $C$ の向こう側から 4 本の直線に接している。
(4) 頂点から接点までの長さ。
$$ AP=AS=6,\quad BP=BQ=3,\quad CQ=CR=\frac{18}{11},\quad DR=DS=4 $$
である（$CQ=3-\dfrac{15}{11}$、$CR=4-\dfrac{26}{11}$）。
(5) 辺の長さは $AB=3$、$BC=\dfrac{15}{11}$、$CD=\dfrac{26}{11}$、$DA=2$ で、
$$ AB+BC=3+\frac{15}{11}=\frac{48}{11},\qquad AD+DC=2+\frac{26}{11}=\frac{48}{11} $$
と等しい。一方、Pitot の等式は $AB+CD=\dfrac{59}{11}$、$BC+DA=\dfrac{37}{11}$ で成り立たない。この四角形に内接円はない。

4 点 $A(0,0)$、$B(3,0)$、$C\left(\dfrac{12}7,\dfrac{12}7\right)$、$D(0,3)$ を頂点とする凧形（$AB=AD=3$、$CB=CD=\dfrac{15}7$）を考える。直線 $BC$ は $4x+3y=12$、直線 $CD$ は $3x+4y=12$ で、交点が $C$ である。
(1) 中心 $(6,6)$、半径 $6$ の円は、ex-ext-start と同じ計算で 4 本の直線に接し、頂点 $C$ の向こう側にある。$AB+BC=3+\dfrac{15}7=AD+DC$ である。
(2) 中心 $(1,1)$、半径 $1$ の円も 4 本の直線に接する。直線 $BC$ までの距離は $\dfrac{\lvert4+3-12\rvert}5=1$、直線 $CD$ までも $\dfrac{\lvert3+4-12\rvert}5=1$ である。この円は四角形の内接円で、$AB+CD=3+\dfrac{15}7=BC+DA$ も成り立つ。
凧形では $AB=AD$、$CB=CD$ なので、2 つの等式がどちらも成り立つ。

1. ex-ext-kite の内接円（中心 $(1,1)$、半径 $1$）は条件 (i)(ii) を満たすが、中心で $4x+3y-12$ の値は $-5$ で $A$ と同じ側にあり、条件 (iii) を満たさない。頂点 $C$ の先の傍接円ではない。
2. ex-ext-start の円は、頂点 $A$ の先の傍接円ではない。頂点 $A$ の先の傍接円は角 $\angle BCD$ の内側になければならないが、中心 $(6,6)$ は直線 $BC$ について $D$ と反対側（$4x+3y-12$ の値が $D$ で $-6$、中心で $30$）にあり、角 $\angle BCD$ の内側にない。

ex-ext-start の四角形で、辺の長さだけから prf-ext-main の段 4〜段 6 の点を作る。$\angle A=90^\circ$、$\cos\angle B=\dfrac35$ で $\angle B<90^\circ$ なので、$\angle A+\angle B<180^\circ$ である。
(1) $BE'=BC=\dfrac{15}{11}$ なので $E'\left(\dfrac{48}{11},0\right)$、$DF'=DC=\dfrac{26}{11}$ なので $F'\left(0,\dfrac{48}{11}\right)$ である。$AE'=AF'=\dfrac{48}{11}$ で、仮定の等式と合っている。
(2) $\angle A$ の二等分線は $y=x$ である。$\angle B$ の外角は、半直線 $BE'$（向き $(1,0)$）と半直線 $BC$（向き $\left(-\dfrac35,\dfrac45\right)$）がなす角で、2 つの長さ $1$ のベクトルの和 $\left(\dfrac25,\dfrac45\right)$ が外角の二等分線の向きである。直線 $(3,0)+s(1,2)$ と $y=x$ の交点は、$2s=3+s$ から $s=3$ で、$I(6,6)$ である。
(3) $IC^2=\left(6-\dfrac{24}{11}\right)^2+\left(6-\dfrac{12}{11}\right)^2=\dfrac{42^2+54^2}{121}=\dfrac{4680}{121}$、$IE'^2=\left(6-\dfrac{48}{11}\right)^2+6^2=\dfrac{18^2+66^2}{121}=\dfrac{4680}{121}$、$IF'^2$ も同じく $\dfrac{4680}{121}$ で、3 点は $I$ から等しい距離にある（図 3 の緑の線分）。
(4) $I$ から 4 本の直線までの距離は ex-ext-start の (2) で求めたとおりすべて $6$ である。

ex-ext-start の 4 点に、名前を付けかえる。$A\left(\dfrac{24}{11},\dfrac{12}{11}\right)$、$B(3,0)$、$C(0,0)$、$D(0,2)$ とする（もとの $A$ と $C$ を入れかえた）。辺の長さは $AB=\dfrac{15}{11}$、$BC=3$、$CD=2$、$DA=\dfrac{26}{11}$ で、
$$ AB+BC=\frac{15}{11}+3=\frac{48}{11}=\frac{26}{11}+2=AD+DC $$
と等式は成り立つ。角は $\angle C=90^\circ$、$\cos\angle D=\dfrac5{13}$ で $\angle D<90^\circ$ なので $\angle C+\angle D<180^\circ$、つまり $\angle A+\angle B>180^\circ$ である（$\cos\angle D$ は $\overrightarrow{DC}=(0,-2)$ と $\overrightarrow{DA}=\left(\dfrac{24}{11},-\dfrac{10}{11}\right)$ の内積 $\dfrac{20}{11}$ を $2\cdot\dfrac{26}{11}$ で割って求めた）。cor-ext-which により、傍接円は頂点 $A$ の先にある。実際、中心 $(6,6)$、半径 $6$ の円は、角 $\angle BCD$（第 1 象限）の中で、頂点 $A\left(\dfrac{24}{11},\dfrac{12}{11}\right)$ の向こう側にある。この名前の付け方では、円は頂点 $C$ の先にはない。

ひし形 $A(-4,0)$、$B(0,-3)$、$C(4,0)$、$D(0,3)$ の 4 辺はどれも長さ $5$ で、$AB+BC=AD+DC=10$ が成り立つ。$\overrightarrow{AD}=(4,3)=\overrightarrow{BC}$ なので $AD\parallel BC$ で、$\angle A+\angle B=180^\circ$ である（平行線の同側内角）。
4 本の直線に接する円は、平行な 2 直線 $AB$、$DC$ の両方に接するので、中心はその 2 直線からの距離が等しい直線（2 直線の真ん中の直線）の上にある。もう 1 組の平行な 2 直線 $AD$、$BC$ についても同じである。2 本の真ん中の直線はどちらも原点を通るので、中心は原点で、半径は原点から辺の直線 $3x+4y+12=0$ までの距離 $\dfrac{12}5$ である。この円は内接円（図 4）で、条件 (iii) を満たさない。傍接円はない。
平行四辺形ではいつも $AB=DC$、$BC=AD$ なので $AB+BC=AD+DC$ が成り立つが、cor-ext-which が平行四辺形を除いているのはこのためである。

4 点 $A(0,0)$、$B(-1,2)$、$C(5,0)$、$D(-1,-2)$ を順に結ぶと、$A$ が三角形 $BCD$ の内部に入り込んだ、へこんだ四角形（凸でない）になる。$AB=AD=\sqrt5$、$CB=CD=2\sqrt{10}$ なので $AB+BC=AD+DC$ が成り立つ。角を $180^\circ$ 未満の側で測ると、$\cos\angle BAD=\dfrac{(-1)(-1)+2\cdot(-2)}{\sqrt5\cdot\sqrt5}=-\dfrac35$ から $\angle BAD\fallingdotseq126.9^\circ$、$\cos\angle ABC=\dfrac{1\cdot6+(-2)(-2)}{\sqrt5\cdot2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt2}2$ から $\angle ABC=45^\circ$ で、和は $180^\circ$ より小さく、角の条件の式も満たす（四角形の内側で測った $A$ の角は $360^\circ-\angle BAD\fallingdotseq233.1^\circ$ である）。
4 本の直線 $y=-2x$（$AB$）、$x+3y=5$（$BC$）、$x-3y=5$（$CD$）、$y=2x$（$DA$）に接する円は、ちょうど 2 つある。中心は $\left(\dfrac{10\sqrt2-5}7,0\right)\fallingdotseq(1.31,0)$ と $\left(-\dfrac{10\sqrt2+5}7,0\right)\fallingdotseq(-2.73,0)$ である。

Pitotの定理 の最初の例の台形 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(4,3)$、$D(0,6)$ は、中心 $(2,2)$、半径 $2$ の内接円をもつ。辺は $AB=4$、$BC=3$、$CD=5$、$DA=6$ で、$AB+CD=BC+DA=9$ は成り立つが、$AB+BC=7$、$AD+DC=11$ で、この記事の等式は成り立たない。内接円の接点は辺の上にあり、辺は接線の長さの和になるので、引き算の等式は出てこない。この台形は $\angle A+\angle B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$ なので、thm-ext-main の順向きからも頂点 $C$ の先の傍接円はない。